1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷 )数学理 一、 选择题：本大题共 10 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 ， 集合 ，则 ( ) A.x|-1x3 B.x|-1x1 C.x|1x2 D.x|2x3 解析： 答案： A 2.设 i 是虚数单位，则复数 ( ) A.-i B.-3i C.i D.3i 解析： . 答案： C 3.执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是 ( ) A. B. C.- D. 解析： 这是一个循环结构，每次循环的结果依次为： ，大于 4，所以输出的 . 答案： D 4.下
2、列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是 ( ) A. B. C. D. 解析： 对于选项 A，因为 ，且图象关于原点对称 . 答案： A 5.过双曲线 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A， B 两点，则 ( ) A. B. C.6 D. 解析： 双曲线的右焦点为 F(2， 0)，过 F与 x轴垂直的直线为 x=2，渐近线方程为 ，将 x=2 代入 ，得 y2=12， y= 2 3 . 答案： D 6.用数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有 ( ) A. 144 个 B. 120 个 C. 96 个
3、 D. 72 个 解析： 据题意，万位上只能排 4、 5.若万位 上排 4，则有 个；若万位上排 5，则有个 .所以共有 个 . 答案： B 7.设四边形 ABCD 为平行四边形， ， .若点 M， N 满足 ，则 ( ) A. 20 B. 15 C. 9 D. 6 解析： 因为 ， 所以. 答案： C 8.设 a， b 都是不等于 1 的正数，则 “ ” 是 “ ” 的 ( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 若 ，则 a b 1，从而有 ，故为充分条件，若 ，不一定有 a b 1，比如： a=13， b=3，从而 3a 3b
4、3，不成立 . 答案： B 9.如果函数 在区间 单调递减，则mn 的最大值为 ( ) A.16 B. 18 C.25 D. 解析： 时，抛物线的对称轴为 .据题意，当 时， 即. . 由 且 得.当 时，抛物线开口向下，据题意得， 即 .由 且 得 ，故应舍去 .要使得 取 得 最 大 值 ， 应 有 . 所以，所以最大值为 18. 答案： B 10.设直线 l 与抛物线 相交于 A， B 两点，与圆 相切于点M，且 M 为线段 AB 的中点 .若这样的直线 l 恰有 4条，则 r的取值范围是 ( ) A.(1， 3) B.(1， 4) C.(2， 3) D.(2， 4) 解析： 设 A(x
5、1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)，则 斜率存在时，设斜率为 k，则 y12=4x1， y22=4x2，利用点差法可得 ky0=2， 因为直线与圆相切，所以 ，所以 x0=3， 即 M 的轨迹是直线 x=3， 代入抛物线方程可得 y= 2 3 ，所以交点与圆心 (5， 0)的距离为 4， 所以 2 r 4 时，直线 l 有 2 条； 斜率不存在时，直线 l 有 2 条； 所以直线 l 恰有 4 条， 2 r 4. 答案： D 二、填空题 (每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上 ) 11.在 的展开式中，含 的项的系数是 (用数字作答 ). 解析： ，所以 的系
6、数为 . 答案： -40 12. . 解析： . 答案： 13.某食品的保鲜时间 y(单位：小时 )与储藏温度 x(单位： )满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数， k、 b 为常数 ).若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是 小时 . 解析： 由题意可得， x=0 时， y=192； x=22 时， y=48. 代入函数 y=ekx+b， 可得 eb=192， e22k+b=48， 即有 e11k= 12， eb=192， 则当 x=33 时， y=e33k+b=18 192=24. 答案： 24 14
7、.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ上， E、 F 分别为 AB、 BC 的中点，设异面直线 EM 与 AF 所成的角为，则 cos的最大值为 . 解析 ：根据已知条件， AB， AD， AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为 x， y， z 轴，建立如图所示空间直接坐标系，设 AB=2，则： A(0， 0， 0)， E(1， 0， 0)， F(2， 1， 0)； M 在线段 PQ 上，设 M(0， y， 2)， 0 y 2； EM =(-1， y， 2)， AF =(2， 1， 0)； cos =|cos EM ， AF |= ；
8、 cos2 = ，设 t= ，整理得： (5t-1)y2+4y+25t-4=0，将该式看成关于 y 的方程； (1)若 t=15，则 y=-14，不符合 0 y 2，即这种情况不存在； (2)若 t 15，便是关于 y 的一元二次方程，该方程有解； =16-4(5t-1)(25t-4) 0；解得 0 t 425； t 的最大值为 425； cos2的最大值为 425， cos最大值为 25. 故答案为： 2515.已知函数 f(x)=2x， g(x)=x2+ax(其中 a R).对于不相等的实数 x1、 x2，设 m= ，n= .现有如下命题： 对于任意不相等的实数 x1、 x2，都有 m 0
9、； 对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1、 x2，都有 n 0； 对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、 x2，使得 m=n； 对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、 x2，使得 m=-n. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号 ). 解析 ： 对于，由于 2 1，由指数函数的单调性可得 f(x)在 R 上递增，即有 m 0，则正确； 对于，由二次函数的单调性可得 g(x)在 (-， -2a)递减，在 (2a， + )递减，则 n 0 不恒成立， 则错误； 对于，由 m=n，可得 f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2)，考查函数 h(x)=x2+ax-2x， h (x)=2x
10、+a-2xln2，当 a -， h (x)小于 0， h(x)单调递减，则错误； 对于，由 m=-n，可得 f(x1)-f(x2)=-g(x1)-g(x2)，考查函数 h(x)=x2+ax+2x， h (x)=2x+a+2xln2，对于任意的 a， h (x)不恒大于 0 或小于 0，则正确 . 故答案为： 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 16.设数列 an(n=1， 2， 3， )的前 n 项和 Sn满足 Sn=2an-a1，且 a1， a2+1， a3成等差数列 . ( )求数列 an的通项公式； ( )记数列 1na的前 n
11、 项和为 Tn，求使得 |Tn-1| 11000成立的 n 的最小值 . 解析： ( )由已知数列递推式得到 an=2an-1(n 2)，再由已知 a1， a2+1， a3成等差数列求出数列首项，可得数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则其通项公式可求； ( )由 ( )求出数列 1na的通项公式，再由等比数列的前 n 项和求得 Tn，结合 |Tn-1|11000 求解指数不等式得 n 的最小值 . 答案 ： ( )由已知 Sn=2an-a1，有 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n 2)， 即 an=2an-1(n 2)， 从而 a2=2a1， a3=2a2=4a1， 又
12、 a1， a2+1， a3成等差数列， a1+4a1=2(2a1+1)，解得： a1=2. 数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 .故 an=2n. ( )由 ( )得： ， . 由 |Tn-1| 11000，得 ，即 2n 1000. 29=512 1000 1024=210， n 10. 于是，使 |Tn-1| 11000成立的 n 的最小值为 10. 17.某市 A、 B 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐了 3 名男生、 2 名女生， B 中学推荐了 3 名男生、 4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训 .由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人
13、，女生中随机抽取 3 人组成代表队 . ( )求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率； ( )某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望 . 解析： ( )求出 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可； ( )求出 X 表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到 X 的分布列，然后求解数学期望 . 答案 ： ( )由题意，参加集训的男、女学生个有 6 人，参赛学生全从 B 中抽出 (等价于 A 中没有学生入选代表队 )的概率为： ，因此 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为： .
14、 ( )某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛， X 表示参赛的男生人数， 则 X 的可能取值为： 1， 2， 3， P(X=1)= ， P(X=2)= ， P(X=3)= . X 的分布列： 和数学期望 EX=1 15+2 35+3 15=2. 18. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示 .在正方体中，设 BC的中点为 M、 GH 的中点为 N. ( )请将字母 F、 G、 H 标记在正方体相应的顶点处 (不需说明理由 )； ( )证明：直线 MN平面 BDH； ( )求二面角 A-EG-M 的余弦值 . 解析： ( )根据展开图和直观图之间的关系进行
15、判断即可； ( )利用线面平行的判定定理即可证明直线 MN平面 BDH； ( )利用定义法求出二面角的平面角进行求解 . 答案 ： ( )F、 G、 H 的位置如图 . ( )证明：连接 BD，设 O 是 BD 的中点， BC 的中点为 M、 GH 的中点为 N， OM CD， OM=12CD， HN CD， HN=12CD， OM HN， OM=HN， 即四边形 MNHO 是平行四边形， MN OH， MN 平面 BDH； OH?面 BDH，直线 MN平面 BDH. ( )连接 AC，过 M 作 MH AC 于 P， 则正方体 ABCD-EFGH 中， AC EG， MP EG， 过 P 作
16、 PK EG 于 K，连接 KM， KM平面 PKM 则 KM EG， 则 PKM 是二面角 A-EG-M 的平面角， 设 AD=2，则 CM=1， PK=2， 在 Rt CMP 中， PM=CMsin45 = 22， 在 Rt PKM 中， KM= 22PK PM =322， cos PKM= PKKM=2 23， 即二面角 A-EG-M 的余弦值为 2 23. 19.如图， A、 B、 C、 D 为平面四边形 ABCD 的四个内角 . ( )证明： ； ( )若 A+C=180， AB=6， BC=3， CD=4， AD=5，求 的值 . 解析： ( )直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明
17、即可 . ( )通过 A+C=180，得 C=180 -A， D=180 -B，利用 ( )化简= ， 连接 BD，在 ABD 中，利用余弦定理求出 sinA，连结 AC，求出 sinB，然后求解即可 . 答案 ： ( ) .等式成立 . ( )由 A+C=180，得 C=180 -A， D=180 -B，由 ( )可知： = ， 连结 BD，在 ABD 中， 有 BD2=AB2+AD2-2AB ADcosA， AB=6， BC=3， CD=4， AD=5， 在 BCD 中，有 BD2=BC2+CD2-2BC CDcosC， 所以 AB2+AD2-2AB ADcosA=BC2+CD2-2BC
18、CDcosC， 则： cosA= . 于是 sinA= ， 连结 AC，同理可得： cosB= ， 于是 sinB= . 所以 . 20.如图，椭圆 E： (a b 0)的离心率是 22，过点 P(0， 1)的动直线 l 与椭圆相交于 A、 B 两点，当直线 l 平行于 x 轴时，直线 l被椭圆 E截得的线段长为 2 2 . ( )求椭圆 E 的方程； ( )在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： ( )通过直线 l 平行于 x 轴时被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 及离心率是 22，计算即得
19、结论； ( )通过直线 l 与 x 轴平行、垂直时，可得若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件，则 Q 点坐标只能是 (0， 2).然后分直线 l 的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线 l，均有 即可 . 答案 ： ( )直线 l 平行于 x 轴时，直线 l 被椭圆 E截得的线段长为 2 2 ， 点 ( 2 ， 1)在椭圆 E 上， 又离心率是 22， ，解得 a=2， b= 2 ， 椭圆 E 的方程为： . ( )结论：存在与点 P 不同的定点 Q(0， 2)，使得 恒成立 . 理由如下： 当直线 l 与 x 轴平行时，设直线 l 与椭圆相交于 C、
20、D两点， 如果存在定点 Q 满足条件，则有 =1，即 |QC|=|QD|. Q 点在直线 y 轴上，可设 Q(0， y0). 当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线 l 与椭圆相交于 M、 N两点， 则 M、 N 的坐标分别为 (0， 2 )、 (0， - 2 )， 又 ， ，解得 y0=1 或 y0=2. 若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件，则 Q 点坐标只能是 (0， 2). 下面证明：对任意直线 l，均有 . 当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立 . 当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y=kx+1， A、 B 的坐标分别为 A(x1， y1)、 B(x2，
21、y2)， 联立 ，消去 y 并整理得： (1+2k2)x2+4kx-2=0， =(4k)2+8(1+2k2) 0， x1+x2=- ， x1x2=- ， =2k， 已知点 B 关于 y 轴对称的点 B的坐标为 (-x2， y2)， 又 kAQ= ， kQB = ， kAQ=kQB ，即 Q、 A、 B三点共线， . 故存在与点 P 不同的定点 Q(0， 2)，使得 恒成立 . 21.已知函数 f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a，其中 a 0. ( )设 g(x)是 f(x)的导函数，讨论 g(x)的单调性； ( )证明：存在 a (0， 1)，使得 f(x) 0 在区间
22、(1， + )内恒成立，且 f(x)=0 在区间 (1，+ )内有唯一解 . 解析： ( )求出函数 f(x)的定义域，把函数 f(x)求导得到 g(x)再对 g(x)求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数 g(x)的单调期间； ( )由 f(x)的导函数等于 0 把 a 用含有 x 的代数式表示，然后构造函数 (x)= ，由函数零点存在定理得到 x0 (1， e)，使得 (x0)=0.令 a0= ， u(x)=x-1-lnx(x 1)，利用导数求得 a0 (0， 1)，然后进一步利用导数说明当 a=a0时，若 x (1， + )，有 f(x) 0，即可得到存在 a
23、 (0， 1)，使得 f(x) 0 在区间 (1， + )内恒成立，且 f(x)=0 在区间 (1， + )内有唯一解 . 【解答】 ( )由已知，函数 f(x)的定义域为 (0， + )， g(x)=f (x)=2(x-a)-2lnx-2(1+ax)， g (x)= . 当 0 a 14时， g(x)在 (0， )， ( ， + )上单调递增， 在区间 ( ， )上单调递减； 当 a 14时， g(x)在 (0， + )上单调递增 . ( )由 f (x)=2(x-a)-2lnx-2(1+ax)=0，解得 a= ， 令 (x)= ， 则 (1)=1 0， (e)=- 0. 故存在 x0 (1
24、， e)，使得 (x0)=0. 令 a0= ， u(x)=x-1-lnx(x 1)， 由 u (x)=1-1x 0 知，函数 u(x)在 (1， + )上单调递增 . 0= 1. 即 a0 (0， 1)， 当 a=a0时，有 f (x0)=0， f(x0)= (x0)=0. 由 ( )知， f (x)在 (1， + )上单调递增， 故当 x (1， x0)时， f (x) 0，从而 f(x) f(x0)=0； 当 x (x0， + )时， f (x) 0，从而 f(x) f(x0)=0. 当 x (1， + )时， f(x) 0. 综上所述，存在 a (0， 1)，使得 f(x) 0 在区间 (1， + )内恒成立，且 f(x)=0 在区间 (1，+ )内有唯一解 .
