1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 天津卷 ） 数学文 一、选择题 (每小题 5 分 ,共 40 分 ) 1.已知全集 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6U = ,集合 2,3,5A = ,集合 1,3, 4, 6B = ,则集合 AU B =（ ）( ) A. 3 B. 2,5 C. 1,4,6 D. 2,3,5 解析： 2,3,5A = , 2,5U B =,则 A 2 , 5U B =（ ）,故选 B. 2.设变量 ,yx 满足约束条件 20202 8 0xxyxy -? -? + - ?,则目标函数 3yzx=+的最大值为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.14 解析：
2、 取得最大值 9.故选 C. 3.阅读下边的程序框图 ,运行相应的程序 ,则输出 i 的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 ：由程序框图可知： 2 , 8 ; 3 , S 5 ; 4 , 1 .i S i i S 故选 C. 4.设 x R ,则 “ 12x 的一个焦点为 (2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆( ) 2 22 y 3x - + = 相切 ,则双曲线的方程为 ( ) A. 2219 13xy-=B. 22113 9xy-=C. 2 2 13x y-=D. 22 13yx -=解析：由双曲线的渐近线 0bx ay与圆 2 223xy 相切得 222 3bab ，由2
3、22c a b ，解得 a=1， b= 3 .故选 D. 6. 如图 ,在圆 O 中 ,M,N 是弦 AB 的三等分点 ,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为 ( ) A. 83B.3 C. 103D. 52解析 ：由相交弦定理可 18 ,33 C M M DC M M D C N N E A B A B N E CN 故选 A. 7. 已知定义在 R 上的函数 |( ) 2 1 ( )xmf x m-=- 为 实 数为偶函数 ,记0.5(log 3),af=2b ( l o g 5 ) , c ( 2 )f f m=,则 ,abc,的大小
4、关系为 ( ) A. bca,函数 ( ) 3 ( 2 )g x f x= - -,则函数 y ( ) ( )f x g x=-的零点的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：当 x 0 时 22f x x，此时方程 21f x g x x x 的小于零的零点为152x ；当 0 x 2时， 2 2 2f x x x ，方程 22f x g x x x 无零点；当 x 2 时， 2 2 2 4f x x x ，方程 2 21 2 7 3 3f x g x x x x x 大于 2 的 零点有一个 .故选 A. 二、填空题：本大题共 6 小题 ,每小题 5 分 ,共 30 分 .
5、9. i 是虚数单位 ,计算 1 2i2i的结果为 解析 ： 2 i i 21 2 i i 2 i i2 i 2 i 2 i . 10. 一个几何体的三视图如图所示 (单位： m),则该几何体的体积为 3m . 解析 ：该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2 圆柱组合而成 ,所以 该几何体的体积为318 2 1 2 ( m )33 . 答案： 8311. 已知函数 ln , 0 ,f x a x x x ,其中 a 为实数 , fx 为 fx的导函数 ,若 13f ,则 a 的值为 解析 ：因为 1 lnf x a x ,所以 13fa . 12. 已知 0 , 0 , 8 ,a b
6、a b 则当 a 的值为 时 22log log 2ab取得最大值 . 解析 ： 22222 2 2 2l o g l o g 2 11l o g l o g 2 l o g 2 l o g 1 6 4 ,2 4 4aba b a b 当2ab 时取等号 ,结合 0 , 0 , 8 ,a b a b 可得 4, 2.ab 13. 在等腰梯形 ABCD中 ,已知 AB DC , 2 , 1 , 6 0 ,A B B C A B C 点 E和点 F分别在线段 BC 和 CD 上 ,且 21,36B E B C D F D C则 AE AF 的值为 解析 ：在等腰梯形 ABCD 中 ,由 AB DC
7、 , 2 , 1 , 6 0 ,A B B C A B C 得 12AD BC,1AB AD, 12DC AB,所以 A E A F A B B E A D D F 22 1 2 1 1 1 1 1 2 913 1 2 3 1 2 1 8 3 3 1 8 1 8A B B C A D A B A B A D B C A D A B B C A B 答案： 291814. 已知函数 s i n c o s 0 , ,f x x x x R 若函数 fx在区间 , 内单调递增 ,且函数 fx的图像关于直线 x 对称 ,则 的值为 解析 ：由 fx在区间 , 内单调递增 ,且 fx的图像关于直线 x
8、 对称 ,可得2 ,且 2 2 2 s i n c o s 2 s i n 14f , 所以 2 .4 2 2 答案： 2三、解答题：本大题共 6 小题 ,共 80 分 . 15.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛 . (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数； (2)将抽取的 6名运动员进行编号 ,编号分别为1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A,从这 6名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛 . 用所给编号列出所有可能的结果； 设 A 为事件 “ 编号为56,AA的两名运动员
9、至少有一人被抽到 ”, 求事件 A 发生的概率 . 解析： (1)应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2； (2) 从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛 ,所有可能的结果为 12,AA, 13,AA , 14,AA , 15,AA , 16,AA , 23,AA , 24,AA , 25,AA , 26,AA , 34,AA , 35,AA , 36,AA , 45,AA , 46,AA , 56,AA ,共 15 种 . 编号为56,AA的两名运动员至少有一人被抽到的结果为 15,AA, 16,AA, 25,AA, 26,AA , 35,AA , 36,
10、AA , 45,AA , 46,AA , 56,AA ,共 9种 ,所以事件 A发生的概率 93.1 5 5PA答案 ： (1)由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2； (2) 一一列举 ,共 15 种； 符合条件的结果有 9 种 ,所以 93.1 5 5PA. 16. ABC 中 ,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 ABC 的面积为 3 15 ,12 , c o s ,4b c A (1)求 a 和 sinC 的值； (2)求 cos 26A 的值 . 解析： (1)由面积公式可得 bc=24，结合 b-c=2，可求得解得 b=6，
11、 c=4.再由余弦定理求得 a=8.最后由正弦定理求 sinC 的值 . (2)直接展开求值 . 答案： (1) ABC 中，由 cosA= 14 ，得 sinA= 154 ，由 1 2 bcsinA=35，得 bc=24.又由 b-c=2，解得 b=6， c=4.由 2 2 2 2 c o sa b c a b A ，可得 a=8. sin sinacAC ，得 sinC= 158 . (2) 23 1 5 7 3c o s 2 c o s 2 c o s s i n 2 s i n 2 c o s 1 s i n c o s6 6 6 2 1 6A A A A A A 17.如图 ,已知1
12、AA平面 ABC,11/ / ,BB AAAB=AC=3, 12 5 , 7B C A A, 1 2 7,BB 点 E,F 分别是 BC,1AC的中点 . (1)求证： EF/平面11ABBA. (2)求证：平面1AEA平面1BCB. (3)求直线11AB与平面1BCB所成角的大小 . 解析 ： (1)要证明 EF/平面11ABBA, 只需证明1/EF BA且 EF 平面11ABBA. (2)要证明平面1AEA平面1BCB,可证明 AE BC ,1BB AE. (3)取1BC中点 N,连接1AN,则11ABN就是直线11AB与平面1BCB所成角 ,Rt11ANB中 ,由11111s i n ,
13、2ANA B N AB 得直线 11AB 与平面 1BCB 所成角为 30 . 答案 ： (1)证明：如图 , 连接1AB,在 1ABC中 , 因为 E 和 F 分别是 BC,1AC的中点 , 所以1/EF BA, 又因为 EF 平面11ABBA, 所以 EF/平面11ABBA. (2)因为 AB=AC,E 为 BC 中点 , 所以 AE BC , 因为1AA平面 ABC,11/ / ,BB AA所以1BB平面 ABC,从而1BB AE, 又1BC BB B,所以 AE 平面1BCB, 又因为 AE 平面1AEA,所以平面1AEA平面1BCB. (3)取1BB中点 M 和1BC中点 N，连接1
14、AM，1AN. 因为 N 和 E 分别为1BC， BC 中点， 所以 NE/1BB， NE=112BB.故 NE/1AA， NE=1AA， 所以1AN/AE，1AN=AE. 又因为 AE平面1BCB， 所以1AN平面1BCB，从而11ABN就是直线11AB与平面1BCB所成角 . 在 ABC 中，可得 AE=2，所以1AN=AE=2. 因为 BM/1AA， BM=1AA， 所以1AM/AB，1AM=AB， 又由 AB1BB，有1AM1BB. 在 Rt11AMB中，可得11AB=4. 在 Rt11ANB中， sin11ABN=111=2ANAB ，因此 11ABN =30 ， 所以直线11AB与
15、平面1BCB所成角为 30 . 18.已知 na是各项均为正数的等比数列 ,nb是等差数列 ,且1 1 2 3 31 , 2a b b b a= = + =,5237ab-=. (1)求 na和 nb的通项公式 . (2)设 *,n n nc a b n N=?,求数列 nc的前 n 项和 . 解析 ： (1)列出关于 q 与 d 的方程组 ,通过解方程组求出 q,d,即可确定通项 . (2)用错位相减法求和 . 答案 ： (1)设 na的公比为 q,nb的公差为 d,由题意 0q ,由已知 ,有 242 3 2,3 10,qdqd 消去 d 得 422 8 0 ,qq 解得 2, 2qd ,
16、所以 na的通项公式为 12,nnanN, nb 的通项公式为 2 1,nb n n N. (2)由 (1)有 12 1 2 nncn ,设 nc的前 n 项和为nS,则 0 1 2 11 2 3 2 5 2 2 1 2 ,nnSn 1 2 32 1 2 3 2 5 2 2 1 2 ,nn 两式相减得 231 2 2 2 2 1 2 2 3 2 3 ,n n nnS n n 所以 2 3 2 3nnSn . 19. 已知椭圆 2222 1 ( a b 0 )xyab+ = 的上顶点为 B,左焦点为 F ,离心率为 55 , (1)求直线 BF 的斜率 . (2)设直线 BF 与椭圆交于点 P(
17、P 异于点 B),故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异于点 B)直线 PQ 与 x 轴交于点 M,| |= | |PM MQl . 求 l 的值 . 若 75| |s in =9P M B Q P,求椭圆的方程 . 解析 ： (1)先由 55ca及 2 2 2 ,a b c 得 5 , 2a c b c,直线 BF 的斜率 0 20 bbk cc . (2)先把直线 BF,BQ 的方程与椭圆方程联立 ,求出点 P,Q 横坐标 ,可得 PMMQ7 .8M P PQ M Qx x xx x x 先由 75| |s in =9P M B Q P得 = | |s inB P P Q
18、 B Q P =1 5 5 5| |s i n73P M B Q P? ,由此求出 c=1,故椭圆方程为 221.54xy 答案 ： (1) ,0Fc ,由已知 55ca及 2 2 2 ,a b c 可得 5 , 2a c b c ,又因为 0,Bb ,故直线 BF 的斜率 0 20 bbk cc . (2)设点 , , , , ,P P Q Q M MP x y Q x y M x y, 由 (1)可得椭圆方程为 221,54xycc直线 BF 的方程为 22y x c ,两方程联立消去 y 得 23 5 0,x cx 解得 53P cx .因为BQ BP ,所以直线 BQ 方程为 1 22
19、y x c ,与椭圆方程联立消去 y 得221 40 0x cx ,解得 4021Q cx .又因为 PMMQ,及 0Mx 得7 .8M P PQ M Qx x xx x x 由 得 78PMMQ,所以 777 8 1 5PMP M M Q ,即 157PQ PM,又因为75| |s in = 9P M B Q P ,所以 = | |s inB P P Q B Q P =1 5 5 5| |s i n73P M B Q P? . 又因为 4223PPy x c c , 所以 225 4 5 5023 3 3ccB P c c ,因此5 5 5 5 , 1,33cc 所以椭圆方程为 221.54
20、xy 20.已知函数 4( ) 4 , ,f x x x x R= - ? (1)求 ()fx的单 调性 . (2)设曲线 ()y f x= 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 ()y g x= ,求证：对于任意的正实数 x ,都有 ( ) ( )f x g x . (3)若方程 ( ) = ( )f x a a为 实 数有两个正实数根12xx， ，且12xx,求证： 1321-43axx - +. 解析： (1)由 344f x x ，可得 fx的单调递增区间是 1， ，单调递减区间是 1,+ . (2) 00g x f x x x, F x f x g x，证明 F
21、x 在 0,x单调递增 ,在 0,x 单调递减 ，所以对任意的实数 x, 0 0F x F x ,对于任意的正实数 x ,都有( ) ( )f x g x . (3)设方程 g x a 的根为 2x ，可得132 412ax .由 gx在 ， 单调递减， 得 2 2 2g x f x a g x ，所以 22xx .设曲线 y f x 在原点处的切线为 y h x ，方程 h x a 的根为 1x ，可得 1 4ax ， 由 4h x x 在 ， 单调递增且 1 1 1h x a f x h x ， 可得 11xx ， 所以132 1 2 1 43ax x x x . 答案 ： (1)由 4(
22、 ) 4f x x x=-,可得 3( ) 4 4f x x =- ,当 0fx ,即 1x 时 ,函数 fx 单调递增；当 0fx ,即 1x 时 ,函数 fx 单调递减 .所以函数 fx 的单调递增区间是 ,1 ,单调递减区间是 1, . (2)设 0,0Px,则 130 4x , 0 12,fx 曲线 y f x 在点 P 处的切线方程为 00y f x x x ,即 00g x f x x x,令 F x f x g x 即 0F x f x f x x x 则 0F x f x f x . 由于 3( ) 4 4f x x=- 在 , 单调递减 ,故 Fx 在 , 单调递减 ,又因为
23、 0 0Fx ,所以当 0,xx 时 , 0Fx ,所以当 0,xx 时 , 0Fx ,所以 Fx 在 0,x 单调递增 ,在 0,x 单调递减 ,所以对任意的实数 x, 0 0F x F x ,对于任意的正实数 x ,都有 ( ) ( )f x g x . (3)由 (2)知 131 2 4g x x ，设方程 g x a 的根为 2x ，可得132 412ax . 因为 gx在 ， 单调递减，又由 (2)知 2 2 2g x f x a g x ， 所以 22xx . 类似的设曲线 y f x 在原点处的切线为 y h x ，可得 4h x x ，对任意的 x ， ，有 4 0f x h x x 即 f x h x . 设方程 h x a 的根为 1x ，可得 1 4ax ， 因为 4h x x 在 ， 单调递增且 1 1 1h x a f x h x ，因此， 11xx ， 所以132 1 2 1 43ax x x x .
