1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 天津卷 ） 数学理 一 .选择题 (在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，集合 A=2， 3， 5， 6，集合 B=1， 3， 4， 6，7，则集合 AUB=( ) A. 2， 5 B. 3， 6 C. 2， 5， 6 D. 2， 3， 5， 6， 8 解 析 ： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，集合 A=2， 3， 5， 6，集合 B=1， 3， 4， 6，7， UB=2， 5， 8， 则 AUB=2， 5. 故选： A. 2.设变量 x，
2、 y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+6y 的最大值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 18 D. 40 解 析 ： 作出不等式组对应的平面区域如图： (阴影部分 ). 由 z=x+6y 得 y=- x+ z， 平移直线 y=- x+ z， 由图象可知当直线 y=- x+ z 经过点 A 时，直线 y=- x+ z 的截距最大， 此时 z 最大 . 由 ，解得 ，即 A(0， 3) 将 A(0， 3)的坐标代入目标函数 z=x+6y， 得 z=36=18. 即 z=x+6y 的最大值为 18. 故选： C. 3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为 ( ) A. -10
3、 B. 6 C. 14 D. 18 解 析 ： 模拟执行程序框图，可得 S=20， i=1 i=2， S=18 不满足条件 i 5， i=4， S=14 不满足条件 i 5， i=8， S=6 满足条件 i 5，退出循环，输出 S 的值为 6. 故选： B. 4.设 x R，则 “|x -2| 1” 是 “x 2+x-2 0” 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解 析 ： 由 “|x -2| 1” 得 1 x 3， 由 x2+x-2 0 得 x 1 或 x -2， 即 “|x -2| 1” 是 “x 2+x-2 0” 的充分
4、不必要条件， 故选： A. 5.如图，在圆 O 中， M、 N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD， CE 分别经过点 M， N，若 CM=2， MD=4，CN=3，则线段 NE 的长为 ( ) A. B. 3 C. D. 解 析 ： 由相交弦定理可得 CMMD=AMMB ， 24=AM2AM ， AM=2 ， MN=NB=2 ， 又 CNNE=ANNB ， 3NE=42 ， NE= . 故选： A. 6.已知双曲线 - =1 (a 0， b 0)的一条渐近线过点 (2， )，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. -
5、=1 D. - =1 解 析 ： 由题意， = ， 抛物线 y2=4 x 的准线方程为 x=- ，双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上， c= ， a 2+b2=c2=7， a=2 ， b= ， 双曲线的方程为 . 故选： D. 7.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x-m|-1(m 为实数 )为偶函数，记 a=f(log0.53)， b=f(log25)，c=f(2m)，则 a， b， c 的大小关系为 ( ) A. a b c B. a c b C. c a b D. c b a 解 析 ： f (x)为偶函数； f (-x)=f(x)； 2 |-x-m|-1=2|x-m
6、|-1； | -x-m|=|x-m|； (-x-m)2=(x-m)2； mx=0 ； m=0 ； f (x)=2|x|-1； f (x)在 0， + )上单调递增，并且 a=f(|log0.53|)=f(log23)， b=f(log25)， c=f(0)； 0 log23 log25； c a b. 故选： C. 8.已知函数 f(x)= ，函数 g(x)=b-f(2-x)，其中 b R，若函数y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是 ( ) A. ( ， + ) B. (- ， ) C. (0， ) D. ( ， 2) 解 析 ： g (x)=b-f(2-x)， y=f
7、 (x)-g(x)=f(x)-b+f(2-x)， 由 f(x)-b+f(2-x)=0，得 f(x)+f(2-x)=b， 设 h(x)=f(x)+f(2-x)， 若 x0 ，则 -x0 ， 2-x2 ， 则 h(x)=f(x)+f(2-x)=2+x+x2， 若 x0 ，则 -x0 ， 2-x2 ， 则 h(x)=f(x)+f(2-x)=2+x+x2， 若 0x2 ，则 -2x0 ， 02 -x2 ， 则 h(x)=f(x)+f(2-x)=2-x+2-|2-x|=2-x+2-2+x=2， 若 x 2， -x 0， 2-x 0， 则 h(x)=f(x)+f(2-x)=(x-2)2+2-|2-x|=x
8、2-5x+8. 即 h(x)= ， 作出函数 h(x)的图象如图： 当 x0 时， h(x)=2+x+x2=(x+ )2+ ， 当 x 2 时， h(x)=x2-5x+8=(x- )2+ ， 故当 b= 时， h(x)=b，有两个交点， 当 b=2 时， h(x)=b，有无数个交点， 由图象知要使函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点， 即 h(x)=b 恰有 4 个根， 则满足 b 2， 故选： D. 二 .填空题 (每小题 5 分，共 30 分 ) 9.i 是虚数单位，若复数 (1-2i)(a+i)是纯虚数，则实数 a 的值为 _. 解 析 ： 由 (1-2i)(a+i)=(a+2)
9、+(1-2a)i 为纯虚数， 得 ，解得： a=-2. 故答案为： -2. 10.一个几何体的三视图如图所示 (单位： m)，则该几何体的体积为 _m3. 解 析 ： 根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积 . 答案 ： 根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体， 且圆柱底面圆的半径为 1，高为 2，圆锥底面圆的半径为 1，高为 1； 该几何体的体积为 V 几何体 =2 1 21+1 22 = . 11.曲线 y=x2与 y=x 所围成的封闭图形的面积为 _. 解 析 ： 先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0
10、，积分上限为 1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可 . 答案 ： 先根据题意画出图形，得到积分上限为 1，积分下限为 0 直线 y=x 与曲线 y=x2所围图形的面积 S= 01(x-x2)dx 而 01(x-x2)dx=( )|01= - = 曲边梯形的面积是 . 12.在 (x- )6的展开式中， x2的系数为 _. 解 析 ： 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得 x2的系数 . 答案 ： (x- )6的展开式的通项公式为 Tr+1= (x)6-r (- )r=(- )r x 6-2r， 令 6-2r=2，解得 r
11、=2， 展开式中 x2的系数为 = ， 13.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 ABC 的面积为 3 ， b-c=2，cosA=- ，则 a 的值为 _. 解 析 ： A (0， )， sinA= . S ABC = ，化为 bc=24， 又 b-c=2，解得 b=6， c=4. 由余弦定理可得： a2=b2+c2-2bccosA=36+16-48 =64. 解得 a=8. 故答案为： 8. 14.在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC ， AB=2， BC=1， ABC=60. 动点 E 和 F 分别在线段 BC和 DC 上，且 = ， = ，则
12、的最小值为 _. 解 析 ： 利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于 的代数式，根据具体的形式求最值 . 答案 ： 由题意，得到 AD=BC=CD=1，所以= =21cos60+11cos60+21+ 11cos120 =1+ + - + = (当且仅当 时等号成立 )； 三 .解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分 ) 15.已知函数 f(x)=sin2x-sin2(x- )， x R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 - ， 内的最大值和最小值 . 解 析 ： (1)由三角函数公式化简可得 f(x)=- sin(2x- )，由周期公式可得；
13、(2)由 x - ， 结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值 . 答案 ： (1)化简可得 f(x)=sin2x-sin2(x- ) = (1-cos2x)- 1-cos(2x- ) = (1-cos2x-1+ cos2x+ sin2x) = (- cos2x+ sin2x) = sin(2x- ) f (x)的最小正周期 T= = ； (2)x - ， ， 2x - - ， ， sin (2x- ) -1， ， sin(2x- ) - ， ， f (x)在区间 - ， 内的最大值和最小值分别为 ， - 16.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲
14、协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 8名运动员中随机选择 4 人参加比赛 . (1)设 A 为事件 “ 选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2名种子选手来自同一个协会 ” ，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 解 析 ： (1)利用组合知识求出基本事件总数及事件 A 发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案； (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1， 2， 3， 4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望 . 答案 ：
15、 (1)由已知，有 P(A)=， 事件 A 发生的概率为 ； (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1， 2， 3， 4. P(X=k)= (k=1， 2， 3， 4). 随机变量 X 的分布列为： 随机变量 X 的数学期望 E(X)= . 17.如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，侧棱 AA1 底面 ABCD， ABAC ， AB=1， AC=AA1=2， AD=CD=，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D的中点 . (1)求证： MN 平面 ABCD (2)求二面角 D1-AC-B1的正弦值； (3)设 E 为棱 A1B1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正
16、弦值为 ，求线段 A1E 的长 . 解 析 ： (1)以 A 为坐标原点，以 AC、 AB、 AA1所在直线分别为 x、 y、 z 轴建系，通过平面 ABCD的一个法向量与 的数量积为 0，即得结论； (2)通过计算平面 ACD1的法向量与平面 ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论； (3)通过设 ，利用平面 ABCD 的一个法向量与 的夹角的余弦值为 ，计算即可 . 答案 ： (1)证明：如图，以 A 为坐标原点，以 AC、 AB、 AA1所在直线分别为 x、 y、 z 轴建系， 则 A(0， 0， 0)， B(0， 1， 0)， C(2， 0， 0)， D(1， -2， 0)，
17、 A1(0， 0， 2)， B1(0， 1， 2)， C1(2， 0， 2)， D1(1， -2， 2)， 又 M 、 N 分别为 B1C、 D1D 的中点， M (1， ， 1)， N(1， -2， 1). 由题可知： =(0， 0， 1)是平面 ABCD 的一个法向量， =(0， - ， 0)， =0， MN 平面 ABCD， MN 平面 ABCD； (2)解：由 (1)可知： =(1， -2， 2)， =(2， 0， 0)， =(0， 1， 2)， 设 =(x， y， z)是平面 ACD1的法向量， 由 ，得 ， 取 z=1，得 =(0， 1， 1)， 设 =(x， y， z)是平面 A
18、CB1的法向量， 由 ，得 ， 取 z=1，得 =(0， -2， 1)， cos ， = ， sin ， = ， 二面角 D1-AC-B1的正弦值为 ； (3)解：由题意可设 ，其中 0， 1， E= (0， ， 2)， =(-1， +2 ， 1)， 又 =(0， 0， 1)是平面 ABCD 的一个法向量， ， 整理，得 2+4 -3=0，解得 = -2 或 -2- (舍 )， 线段 A1E 的长为 -2. 18.已知数列 an满足 an+2=qan(q 为实数，且 q1 )， n N*， a1=1， a2=2，且 a2+a3， a3+a4， a4+a5成等差数列 (1)求 q 的值和 an的
19、通项公式； (2)设 bn= ， n N*，求数列 bn的前 n 项和 . 解 析 ： (1)通过 an+2=qan、 a1、 a2，可得 a3、 a5、 a4，利用 a2+a3， a3+a4， a4+a5成等差数列，计算即可； (2)通过 (1)知 bn= ， n N*，写出数列 bn的前 n 项和 Tn、 2Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可 . 答案 ： (1)a n+2=qan(q 为实数，且 q1 )， n N*， a1=1， a2=2， a 3=q， a5=q2， a4=2q， 又 a 2+a3， a3+a4， a4+a5成等差数列， 23q=2+3q+q
20、2， 即 q2-3q+2=0， 解得 q=2 或 q=1(舍 )， a n= ； (2)由 (1)知 bn= ， n N*， 记数列 bn的前 n 项和为 Tn， 则 Tn=1+2 +3 +4 + (n-1) +n ， 2T n=2+2+3 +4 +5 + (n-1) +n ， 两式相减，得 Tn=3+ + + + -n =3+ -n =3+1- -n =4- . 19.已知椭圆 + =1(a b 0)的左焦点为 F(-c， 0)，离心率为 ，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2+y2= 截得的线段的长为 c， |FM|= . (1)求直线 FM 的斜率； (2)求椭圆的方程
21、； (3)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 ，求直线 OP(O 为原点 )的斜率的取值范围 . 解 析 ： (1)通过离心率为 ，计算可得 a2=3c2、 b2=2c2，设直线 FM 的方程为 y=k(x+c)，利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论； (2)通过联立椭圆与直线 FM 的方程，可得 M(c， c)，利用 |FM|= 计算即可； (3)设动点 P的坐标为 (x， y)，分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程，分 x (- ， -1)与 x (-1，0)两种情况讨论即可结论 . 答案 ： (1) 离心率为 ， ， 2a 2=3b2， a 2=3c2， b2=2c2
22、， 设直线 FM 的斜率为 k(k 0)，则直线 FM 的方程为 y=k(x+c)， 直线 FM 被圆 x2+y2= 截得的线段的长为 c， 圆心 (0， 0)到直线 FM 的距离 d= ， d 2+ ，即 ， 解得 k= ，即直线 FM 的斜率为 ； (2)由 (1)得椭圆方程为： ，直线 FM 的方程为 y= (x+c)， 联立两个方程，消去 y，整理得 3x2+2cx-5c2=0，解得 x=- c，或 x=c， 点 M 在第一象限， M (c， c)， |FM|= ， ， 解得 c=1， a 2=3c2=3， b2=2c2=2， 即椭圆的方程为 ； (3)设动点 P 的坐标为 (x， y
23、)，直线 FP 的斜率为 t， F (-1， 0)， t= ，即 y=t(x+1)(x -1)， 联立方程组 ，消去 y 并整理，得 2x2+3t2(x+1)2=6， 又 直线 FP 的斜率大于 ， ，解得 - x -1，或 -1 x 0， 设直线 OP 的斜率为 m，得 m= ，即 y=mx(x0 )， 联立方程组 ，消去 y 并整理，得 m2= . 当 x (- ， -1)时，有 y=t(x+1) 0，因此 m 0， m= ， m ； 当 x (-1， 0)时，有 y=t(x+1) 0，因此 m 0， m= - ， m ； 综上所述，直线 OP 的斜率的取值范围是： . 20.已知函数 f
24、(x)=nx-xn， x R，其中 n N ，且 n2. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的焦点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x)，求证：对于任意的正实数 x，都有 f(x)g (x)； (3)若关于 x 的方程 f(x)=a(a 为实数 )有两个正实数根 x1， x2，求证： |x2-x1| +2. 解 析 ： (1)由 f(x)=nx-xn，可得 f (x)，分 n 为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性 . (2)设点 P 的坐标为 (x0， 0)，则可求 x0=n ， f (x0)=n-n2，可求 g(x)=f (x0)
25、(x-x0)，F (x)=f (x)-f (x0).由 f (x)=-nxn-1+n 在 (0， + )上单调递减，可求 F(x)在 (0， x0)内单调递增，在 (x0， + )上单调递减，即可得证 . (3)设 x1x 2，设方程 g(x)=a 的根为 ，由 ( )可得 x2 .设曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=h(x)，可得 h(x)=nx，设方程 h(x)=a 的根为 ，可得 x1，从而可得： x2-x1 ，由 n2 ，即 2n-1=(1+1)n-11+ =1+n-1=n，推得： 2 =x0，即可得证 . 答案 ： (1)由 f(x)=nx-xn，可得 f (x)=n-nx
26、n-1=n(1-xn-1)，其中 n N ，且 n2. 下面分两种情况讨论： 当 n 为奇数时，令 f (x)=0，解得 x=1，或 x=-1，当 x 变化时， f (x)， f(x)的变化情况如下表： 所以， f(x)在 (- ， -1)， (1， + )上单调递减，在 (-1， 1)单调递增 . 当 n 为偶数时， 当 f (x) 0，即 x 1 时，函数 f(x)单调递增； 当 f (x) 0，即 x 1 时，函数 f(x)单调递减； 所以， f(x)在 (- ， 1)单调递增，在 (1， + )上单调递减； (2)证明：设点 P 的坐标为 (x0， 0)，则 x0=n ， f (x0)
27、=n-n2， 曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y=f (x0)(x-x0)，即 g(x)=f (x0)(x-x0)， 令 F(x)=f(x)-g(x)，即 F(x)=f(x)-f (x0)(x-x0)，则 F (x)=f (x)-f (x0). 由于 f (x)=-nxn-1+n 在 (1， + )上单调递减，故 F (x)在 (0， + )上单调递减， 又因为 F (x0)=0，所以当 x (0， x0)时， F (x) 0，当 x (x0， + )时， F (x) 0， 所以 F(x)在 (0， x0)内单调递增，在 (x0， + )上单调递减， 所以对应任意的正实数 x，都有
28、 F(x)F (x0)=0， 即对于任意的正实数 x，都有 f(x)g (x). (3)证明：不妨设 x1x 2， 由 (2)知 g(x)=(n-n2)(x-x0)，设方程 g(x)=a 的根为 ，可得 = ，由 (2)知g(x2)f (x2)=a=g( )，可得 x2 . 类似地，设曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=h(x)，可得 h(x)=nx，当 x (0， + )，f(x)-h(x)=-xn 0，即对于任意的 x (0， + )， f(x) h(x)， 设方程 h(x)=a 的根为 ，可得 = ，因为 h(x)=nx 在 (- ， + )上单调递增， 且 h( )=a=f(x1) h(x1)，因此 x1， 由此可得： x2-x1 - = ， 因为 n2 ，所以 2n-1=(1+1)n-11+ =1+n-1=n， 故： 2 =x0. 所以： |x2-x1| +2.
