1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (安徽卷 )数学 文 一 .选择题 (每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的 ) 1.设 i 是虚数单位，则复数 (1-i)(1+2i)=( ) A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i 解析： 直接利用复数的多项式乘法展开求解即可 . 复数 (1-i)(1+2i)=1+2-i+2i=3+i. 故选： C 2.设全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6A=1， 2， B=2， 3， 4，则 A (CRB)=( ) A.1， 2， 5， 6 B.1 C.2 D.1， 2， 3， 4 解析 ： CRB=1，
2、 5， 6； A (CRB)=1， 2 1， 5， 6=1. 故选： B 3.设 p： x 3， q： -1 x 3，则 p 是 q 成立的 ( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ： 设 p： x 3， q： -1 x 3，则 p 成立，不一定有 q 成立，但是 q 成立，必有 p 成立， 所以 p 是 q 成立的必要不充分条件 . 故选： C 4.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ( ) A.y=lnx B.y=x2+1 C.y=sinx D.y=cosx 解析 ： 对于 A， y=lnx 定义域为 (0， + )，所以是非奇非
3、偶的函数； 对于 B，是偶函数，但是不存在零点； 对于 C， sin(-x)=-sinx，是奇函数； 对于 D， cos(-x)=cosx，是偶函数并且有无数个零点 . 故选： D 5.已知 x， y 满足约束条件 ，则 z=-2x+y 的最大值是 ( ) A.-1 B.-2 C.-5 D.1 解析 ： 由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分， 当直线 y=2x+z经过 A时使得 z最大，由 得到 A(1， 1)，所以 z的最大值为 -2 1+1=-1. 故选： A 6.下列双曲线中，渐近线方程为 y= 2x 的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由双曲线方程 (a 0， b 0)
4、的渐近线方程为 y= bax， 由 A 可得渐近线方程为 y= 2x， 由 B 可得渐近线方程为 y= 12x， 由 C 可得渐近线方程为 y= 2 x， 由 D 可得渐近线方程为 y= 22x. 故选： A 7.执行如图所示的程序框图 (算法流程图 )，输出的 n 为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 ： 模拟执行程序框图，可得 a=1， n=1， 满足条件 |a-1.414| 0.005， a=32， n=2， 满足条件 |a-1.414| 0.005， a=75， n=3， 满足条件 |a-1.414| 0.005， a=1712， n=4， 不满足条件 |a-1.414|=
5、0.00267 0.005，退出循环，输出 n 的值为 4. 故选： B 8.直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相切，则 b=( ) A.-2 或 12 B.2 或 -12 C.-2 或 -12 D.2 或 12 解析 ： x2+y2-2x-2y+1=0 可化为 (x-1)2+(y-1)2=1 直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相切， 圆心 (1， 1)到直线的距离 d= =1，解得： b=2 或 12. 故选： D 9.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ( ) A.1+ 3 B.1+2 2 C.2+ 3 D.2 2 解析 ：
6、 由三视图画出它的直观图如下， 三棱锥 O-ABC， OE底面 ADC， EA=ED=1， OE=1， AB=BC= 2 ， AB BC， 可判断； OAB OBC 的直角三角形， S OAC=S ABC=12 2 1=1， S OAB=S OBC= 34 ( 2 )2= 3 ， 该四面体的表面积： 2+ 3 . 故选： C 10.函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是 ( ) A.a 0， b 0， c 0， d 0 B.a 0， b 0， c 0， d 0 C.a 0， b 0， c 0， d 0 D.a 0， b 0， c 0， d 0 解析 ： f
7、(0)=d 0，排除 D， 当 x +时， y +， a 0，排除 C， 函数的导数 f (x)=3ax2+2bx+c， 则 f (x)=0 有两个不同的正实根， 则 f (0)=c 0，排除 B. 故选： A 二 .填空题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 11. = . 解析： 原式 =lg5-lg2+2lg2-2=lg5+lg2-2=lg10-2=1-2=-1. 故答案为： -1 12.在 ABC 中， AB= 6 ， A=75， B=45，则 AC= . 解析 ： A=75， B=45，则 C=180 -75 -45 =60， 由正弦定理可得， ，即有 AC= =2. 故答案为： 2
8、 13.已知数列 an中， a1=1， an=an-1+12(n 2)，则数列 an的前 9 项和等于 . 解析 ： an=an-1+12(n 2)， an-an-1=12(n 2)， 数列 an的公差 d=12， 又 a1=1， an=1+12(n-1)= ， S9=9a1+ d=9+36 12=27. 故答案为： 27 14.在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象只有一个交点，则 a的值为 . 解析 ：由已知直线 y=2a 是平行于 x 轴的直线，函数 y=|x-a|-1 的图象是折线，所以直线 y=2a过折线顶点时满足题意，所以 2a=-1，解
9、得 a=-12. 故答案为： -1215. ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a ， b 满足 ， ， 则下列结论中正确的 . (写出所有正确结论得序号 ) a 为单位向量； b 为单位向量； ； ； . 解析 ： ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a ， b 满足 ， ， 则 ， AB=2，所以 |a |=1，即 a 是单位向量；正确； 因为 ，所以 ，故 |b |=2；故错误；正确； a ， b 夹角为 120，故 错误； =4 1 2 cos120 +4=-4+4=0；故正确 . 故答案为： 三、解答题 16.已知函数 f(x)=(sinx+cosx)2+cos2
10、x (1)求 f(x)最小正周期； (2)求 f(x)在区间 0，2上的最大值和最小值 . 解析 ： (1)由条件利用三角恒等变换求得 f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性求得 f(x)最小正周期 . (2)由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得 f(x)在区间 0，2上的最大值和最小值 . 解析 ： (1)函数 f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+ 2 sin(2x+4)， 它的最小正周期为 22= . (2)在区间 0，2上， 2x+4 4， 54，故当 2x+4=54时， f(x)取得最小值为 1+ 2 (- 22)=0， 当 2x+4=2
11、时， f(x)取得最大值为 1+ 2 1=1+ 2 . 17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图 (如图所示 )，其中样本数据分组区间为 40， 50，50， 60， 80， 90， 90， 100 (1)求频率分布图中 a 的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率； (3)从评分在 40， 60的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在 40， 50的概率 . 解析： (1)利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为 1，得到 a； (2)对该部门评分不低于 80 的
12、即为 90 和 100，的求出频率，估计概率； (3)求出评分在 40， 60的受访职工和评分都在 40， 50的人数，随机抽取 2 人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答 . 答案 ： (1)因为 (0.004+a+0.018+0.022 2+0.028) 10=1，解得 a=0.006； (2)由已知的频率分布直方图可知， 50 名受访职工评分不低于 80 的频率为 (0.022+0.018)10=4，所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4； (3)受访职工中评分在 50， 60)的有： 50 0.006 10=3(人 )，记为 A1， A2， A3； 受访
13、职工评分在 40， 50)的有： 50 0.004 10=2(人 )，记为 B1， B2. 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种， 分别是 A1， A2， A1， A3， A1， B1， A1， B2， A2， A3， A2， B1， A2， B2， A3， B1，A3， B2， B1， B2， 又因为所抽取 2 人的评分都在 40， 50)的结果有 1 种，即 B1， B2， 故所求的概率为 P=110. 18.已知数列 an是递增的等比数列，且 a1+a4=9， a2a3=8. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 Sn为数列 an的前 n 项和， bn
14、= ，求数列 bn的前 n项和 Tn. 解析： (1)根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列 an的通项公式； (2)求出 bn= ，利用裂项法即可求数列 bn的前 n 项和 Tn. 答案： (1)数列 an是递增的等比数列，且 a1+a4=9， a2a3=8， a1+a4=9， a1a4=8. 解得 a1=1， a4=8 或 a1=8， a4=1(舍 )， 解得 q=2，即数列 an的通项公式 an=2n-1； (2) =2n-1， ， 数列 bn的前 n 项和 . 19.如图，三棱锥 P-ABC 中， PA平面 ABC， PA=1， AB=1， AC=2， BAC=60 . (1
15、)求三棱锥 P-ABC 的体积； (2)证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 AC BM，并求 PMMC的值 . 解析： (1)利用 VP-ABC=13 S ABC PA，求三棱锥 P-ABC的体积； (2)过 B 作 BN AC，垂足为 N，过 N 作 MN PA，交 PA 于点 M，连接 BM，证明 AC平面 MBN，可得 AC BM，利用 MN PA，求 PMMC的值 . 答案： (1)由题设， AB=1， AC=2， BAC=60， 可得 S ABC=12AB AC sin60 = 32. 因为 PA平面 ABC， PA=1，所以 VP-ABC=13 S ABC PA= 36. (2
16、)过 B 作 BN AC，垂足为 N，过 N 作 MN PA，交 PA 于点 M，连接 BM， 由 PA平面 ABC，知 PA AC，所以 MN AC， 因为 BN MN=N，所以 AC平面 MBN. 因为 BM 平面 MBN，所以 AC BM. 在 Rt BAN 中， AN=AB cos BAC=12，从而 NC=AC-AN=32. 由 MN PA 得 =13. 20.设椭圆 E 的方程为 (a b 0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (a， 0)，点 B的坐标为 (0， b)，点 M 在线段 AB 上，满足 |BM|=2|MA|，直线 OM 的斜率为 . (1)求 E 的离心率 e
17、； (2)设点 C 的坐标为 (0， -b)， N 为线段 AC 的中点，证明： MN AB. 解析： (1)通过题意，利用 ，可得点 M 坐标，利用直线 OM 的斜率为 ，计算即得结论； (2)通过中点坐标公式解得点 N 坐标，利用 即得结论 . 答案： (1)设 M(x， y)， A(a， 0)、 B(0， b)，点 M 在线段 AB 上且 |BM|=2|MA|， ，即 (x-0， y-b)=2(a-x， 0-y)， 解得 x=23a， y=13b，即 M(23a， 13b)， 又直线 OM 的斜率为 ， ， a= 5 b， c= =2b， 椭圆 E 的离心率 e= . (2)点 C 的坐
18、标为 (0， -b)， N 为线段 AC 的中点， N( )， NM=( )， 又 =(-a， b)， ， 由 (1)可知 a2=5b2，故 =0，即 MN AB. 21.已知函数 f(x)= (a 0， r 0) (1)求 f(x)的定义域，并讨论 f(x)的单调性； (2)若 ar=400，求 f(x)在 (0， + )内的极值 . 解析： (1)通过令分母不为 0 即得 f(x)的定义域，通过求导即得 f(x)的单调区间； (2)通过 (1)知 x=r 是 f(x)的极大值点，计算即可 . 答案： (1)函数 f(x)= (a 0， r 0)， x -r，即 f(x)的定义域为 (-， -r) (-r， + ). 又 f(x)= ， f (x)= ， 当 x -r 或 x r 时， f (x) 0；当 -r x r 时， f (x) 0； 因此， f(x)的单调递减区间为： (-， -r)、 (r， + )，递增区间为： (-r， r)； (2)由 (1)的解答可得 f (x)=0， f(x)在 (0， r)上单调递增，在 (r， + )上单调递减， x=r 是 f(x)的极大值点， f(x)在 (0， + )内的极大值为 f(r)= =100.
