1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (安徽卷 )数学理 一 .选择题 (每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的 ) 1.设 i 是虚数单位，则复数 21ii在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析： 先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论 . 21ii =i(1+i)=-1+i，对应复平面上的点为 (-1， 1)，在第二象限， 故选： B 2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ( ) A.y=cosx B.y=sinx C.y=lnx D.y=x2+1 解析： 对于 A，定义域为 R，并且 cos
2、(-x)=cosx，是偶函数并且有无数个零点； 对于 B， sin(-x)=-sinx，是奇函数，由无数个零点； 对于 C，定义域为 (0， + )，所以是非奇非偶的函数，有一个零点； 对于 D，定义域为 R，为偶函数，都是没有零点； 故选 A 3.设 p： 1 x 2， q： 2x 1，则 p 是 q 成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 由 1 x 2 可得 2 2x 4，则由 p 推得 q成立， 若 2x 1 可得 x 0，推不出 1 x 2. 由充分必要条件的定义可得 p 是 q 成立的充分不必要条件 . 故选 A
3、4.下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y= 2x 的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 由 A 可得焦点在 x 轴上，不符合条件； 由 B 可得焦点在 x 轴上，不符合条件； 由 C 可得焦点在 y 轴上，渐近线方程为 y= 2x，符合条件； 由 D 可得焦点在 y 轴上，渐近线方程为 y= 12x，不符合条件 . 故选 C 5.已知 m， n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是 ( ) A.若，垂直于同一平面，则与平行 B.若 m， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D.若 m， n 不平行，则 m 与 n
4、 不可能垂直于同一平面 解析： 对于 A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，如果墙角的三个平面；故A 错误； 对于 B，若 m， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 .相交或者异面；故 B 错误； 对于 C，若，不平行，则在内存在无数条与平行的直线；故 C 错误； 对于 D，若 m， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故 D 正确； 故选 D 6.若样本数据 x1， x2， x10 的标准差为 8，则数据 2x1-1， 2x2-1， 2x10-1 的标准差为 ( ) A.8 B.15 C.16 D.32 解析： 样本数据
5、x1， x2， x10的标准差为 8， DX =8，即 DX=64， 数据 2x1-1， 2x2-1， 2x10-1 的方差为 D(2X-1)=4DX=4 64， 则对应的标准差为 2 1 4 6 4DX =16. 故选： C 7.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ( ) A.1+ 3 B.2+ 3 C.1+2 2 D.2 2 解析： 根据几何体的三视图，得 ， 该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示； 该几何体的表面积为 S表面积 =S PAC+2S PAB+S ABC =2+ 3 . 故选： B 8. ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a ， b 满足
6、 ， ，则下列结论正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 因为已知三角形 ABC 的等边三角形， a ， b 满足 ， ，又，所以 ， ， 所以 ， ， ， ，所以 ，即 ，即0，所以 . 故选 D 9. 函数 f(x)= 的图象如图所示，则下列结论成立的是 ( ) A.a 0， b 0， c 0 B.a 0， b 0， c 0 C.a 0， b 0， c 0 D.a 0， b 0， c 0 解析： 函数在 P 处无意义，即 -c 0，则 c 0， f(0)=2bc 0， b 0， 由 f(x)=0 得 ax+b=0，即 x=-ba， 即函数的零点 x=-ba 0， a 0， 综上
7、a 0， b 0， c 0， 故选： C 10.已知函数 f(x)=Asin( x+ )(A，均为正的常数 )的最小正周期为，当 x=23时，函数 f(x)取得最小值，则下列结论正确的是 ( ) A.f(2) f(-2) f(0) B.f(0) f(2) f(-2) C.f(-2) f(0) f(2) D.f(2) f(0) f(-2) 解析： 依题意得，函数 f(x)的周期为， 0， =2=2. 又当 x=23时，函数 f(x)取得最小值， 2 23+ =2k +32， k Z，可解得： =2k +6， k Z， f(x)=Asin(2x+2k +6)=Asin(2x+6). f(-2)=A
8、sin(-4+6)=Asin(6-4+2 ) 0. f(2)=Asin(4+6) 0 f(0)=Asin6=Asin56 0 又 236-4+2 566，而 f(x)=Asin(2x+ 6)在区间 (6， 23)是单调递减的， f(2) f(-2) f(0) 故选： A 二 .填空题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 11.(x3+1x)7的展开式中的 x5的系数是 (用数字填写答案 ) 解析： 根据所给的二项式写出展开式的通项， ； 要求展开式中含 x5的项的系数， 21-4r=5， r=4，可得： 47C=35. 故答案为： 35 12.在极坐标系中，圆 =8sin上的点到直线 =3(
9、R)距离的最大值是 . 解析：圆 =8sin化为 2=8 sin， x2+y2=8y，化为 x2+(y-4)2=16. 直线 =3( R)化为 y= 3 x. 圆心 C(0， 4)到直线的距离 d= =2， 圆 =8sin上的点到直线 =3( R)距离的最大值 =d+r=2+4=6. 故答案为： 6 13.执行如图所示的程序框图 (算法流程图 )，输出的 n 为 . 解析： 模拟执行程序框图，可得 a=1， n=1， 满足条件 |a-1.414| 0.005， a=32， n=2， 满足条件 |a-1.414| 0.005， a=75， n=3， 满足条件 |a-1.414| 0.005， a
10、=1712， n=4， 不满足条件 |a-1.414|=0.00267 0.005，退出循环，输出 n 的值为 4. 故答案为： 4 14.已知数列 an是递增的等比数列， a1+a4=9， a2a3=8，则数列 an的前 n项和等于 . 解析： 数列 an是递增的等比数列， a1+a4=9， a2a3=8， 可得 a1a4=8，解得 a1=1， a4=8， 8=1 q3， q=2， 数列 an的前 n 项和为： . 故答案为： 2n-1 15.设 x3+ax+b=0，其中 a， b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .(写出所有正确条件的编号 ) a=-3， b=-3.
11、a=-3， b=2. a=-3， b 2. a=0， b=2. a=1， b=2. 解析： 设 f(x)=x3+ax+b， f(x)=3x2+a， a=-3， b=-3 时，令 f(x)=3x2-3=0，解得 x= 1， x=1 时 f(1)=-5， f(-1)=-1； 并且 x 1 或者 x -1 时 f(x) 0， 所以 f(x)在 (-， -1)和 (1， + )都是增函数， 所以函数图象与 x 轴只有一个交点，故 x3+ax+b=0 仅有一个实根；如图 a=-3， b=2 时，令 f(x)=3x2-3=0，解得 x= 1， x=1 时 f(1)=0， f(-1)=4；如图 a=-3，
12、b 2 时，函数 f(x)=x3-3x+b， f(1)=-2+b 0，函数图象形状如图，所以方程x3+ax+b=0 只有一个根； a=0， b=2 时，函数 f(x)=x3+2， f(x)=3x2 0 恒成立，故原函数在 R 上是增函数；故方程方程 x3+ax+b=0 只有一个根； a=1， b=2 时，函数 f(x)=x3+x+2， f(x)=3x2+1 0 恒成立，故原函数在 R 上是增函数；故方程方程 x3+ax+b=0 只有一个根； 综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是 . 故答案为： 三 .解答题 (共 6 小题， 75分 ) 16.在 ABC 中， A=34， AB=6， AC=
13、3 2 ，点 D 在 BC 边上， AD=BD，求 AD 的长 . 解析： 由已知及余弦定理可解得 BC 的值，由正弦定理可求得 sinB，从而可求 cosB，过点 D作 AB 的垂线 DE，垂足为 E，由 AD=BD 得： cos DAE=cosB，即可求得 AD的长 . 答案 ： A=34， AB=6， AC=3 2 ， 在 ABC 中，由余弦定理可得： BC2=AB2+AC2-2AB ACcos BAC=90， BC=3 10 ， 在 ABC 中，由正弦定理可得： ， sinB= 1010， cosB=3 1010. 过点 D 作 AB 的垂线 DE，垂足为 E，由 AD=BD得： co
14、s DAE=cosB， Rt ADE 中， AD= = 10 . 17.已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束 . ( )求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； ( )已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 (单位：元 )，求 X 的分布列和均值 (数学期望 ) 解析： ( )记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A，利用古典概型的概率求解即可 . ( )X 的可能取值为：
15、200， 300， 400.求出概率，得到分布列，然后求解期望即可 . 答案 ： ( )记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A， 则 P(A)= =310. ( )X 的可能取值为： 200， 300， 400 P(X=200)= =110. P(X=300)= . P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=610. X 的分布列为： EX=200 110+300 310+400 610=350. 18.设 n N*， xn是曲线 y=x2n+2+1在点 (1， 2)处的切线与 x 轴交点的横坐标 . ( )求数列 xn的通项公式； ( )记 Tn=x12x
16、32 x2n-12，证明： Tn 14n. 解析： (1)利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标； (2)利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立 . 答案 ： (1)y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1，曲线 y=x2n+2+1在点 (1， 2)处的切线斜率为 2n+2， 从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1) 令 y=0，解得切线与 x 轴的交点的横坐标为 ， (2)证明：由题设和 (1)中的计算结果可知： ， 当 n=1 时， T1 14， 当 n 2 时，因为 x2n-12 ， 所以 ， 综上所述，可得对任意的 n N+，均有 Tn 14n. 19.如图所示
17、，在多面体 A1B1D1DCBA 中，四边形 AA1B1B， ADD1A1， ABCD 均为正方形， E 为 B1D1的中点，过 A1， D， E 的平面交 CD1于 F. ( )证明： EF B1C； ( )求二面角 E-AD-B1的余弦值 . 解析： ( )通过四边形 A1B1CD 为平行四边形，可得 B1C A1D，利用线面平行的判定定理即得结论； ( )以 A 为坐标原点，以 AB、 AD、 AA1所在直线分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz，设边长为 2，则所求值即为平面 A1B1CD 的一个法向量与平面 A1EFD 的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可
18、. 解析： ( ) B1C=A1D 且 A1B1=CD， 四边形 A1B1CD 为平行四边形， B1C A1D， 又 B1C 平面 A1EFD， B1C平面 A1EFD， 又平面 A1EFD平面 EF， EF B1C. ( )以 A 为坐标原点，以 AB、 AD、 AA1所在直线分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz如图， 设边长为 2， AD1平面 A1B1CD，1AD=(0， 1， 1)为平面 A1B1CD 的一个法向量， 设平面 A1EFD 的一个法向量为 n =(x， y， z)， 又1AD=(0， 2， -2)，1AE=(1， 1， 0)， ， ， 取 y=1，得
19、n =(-1， 1， 1)， cos(n ，1AD)= ， 二面角 E-AD-B1的余弦值为 63. 20. 设椭圆 E 的方程为 (a b 0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (a， 0)，点 B的坐标为 (0， b)，点 M 在线段 AB 上，满足 |BM|=2|MA|，直线 OM 的斜率为 . ( )求 E 的离心率 e； ( )设点 C的坐标为 (0， -b)， N为线段 AC的中点，点 N关于直线 AB的对称点的纵坐标为 72，求 E 的方程 . 解析： (I)由于点 M 在线段 AB 上，满足 |BM|=2|MA|，即 ，可得 .利用 kOM ，可得 . (II)由 (I)
20、可得直线 AB 的方程为： ，利用中点坐标公式可得 N.设点 N 关于直线 AB的对称点为 S(x1， 72)，线段 NS 的中点 T，又 AB 垂直平分线段 NS，可得 b，解得即可 . 答案 ： (I)点 M 在线段 AB 上，满足 |BM|=2|MA|， ， A(a， 0)， B(0， b)， . kOM ， ， a= 5 b. . (II)由 (I)可得直线 AB 的方程为： ， . 设点 N 关于直线 AB 的对称点为 ，线段 NS 的中点 ， 又 AB 垂直平分线段 NS， ，解得 b=3， a=3 5 . 椭圆 E 的方程为： . 21.设函数 f(x)=x2-ax+b. ( )
21、讨论函数 f(sinx)在 (-2，2)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值； ( )记 fn(x)=x2-a0x+b0，求函数 |f(sinx)-f0(sinx)|在 -2，2上的最大值 D2. ( )在 ( )中，取 an=bn=0，求 s=b- 24a满足条件 D 1 时的最大值 . 解析： ( )设 t=sinx， f(t)=t2-at+b(-1 t 1)，讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的存在； ( )设 t=sinx， t -1， 1，求得 |f(t)-f0(t)|，设 g(t)=|-t(a-a0)+(b-b0)|，讨论 g(1)，g(-1)取得最大值； ( )由 ( )
22、讨论 ab 0 时， ab 0 时， D 的取值，求得点 (a， b)所在区域，求得 s=b-a 24a的最大值 . 答案 ： ( )设 t=sinx，在 x (-2，2)递增， 即有 f(t)=t2-at+b(-1 t 1)， f (t)=2t-a， 当 a 2 时， f (t) 0， f(t)递减，即 f(sinx)递减； 当 a -2 时， f (t) 0， f(t)递增，即 f(sinx)递增 . 即有 a 2 或 a -2 时，不存在极值 . 当 -2 a 2 时， -1 t2a， f (t) 0， f(sinx)递减； 2a t 1， f (t) 0， f(sinx)递增 . f(
23、sinx)有极小值 f(2a)=b- 24a； ( )设 t=sinx， t -1， 1， |f(t)-f0(t)|=|-t(a-a0)+(b-b0)|， 易知 t= 1 时，取得最大值，设 g(t)=|-t(a-a0)+(b-b0)|， 而 g(1)=|-(a-a0)+(b-b0)|， g(-1)=|(a-a0)+(b-b0)|， 则当 (a-a0)(b-b0) 0 时， D=g(t)max=g(-1)=|(a-a0)+(b-b0)|； 当 (a-a0)(b-b0) 0 时， D=g(t)max=g(1)=|-(a-a0)+(b-b0)|. ( )由 ( )得 ab 0 时， D=|a+b|，当 ab 0 时， D=|a-b|. 即有 或 ， 点 (a， b)在如图所示的区域内， 则有 s=b- 24a，当 b 取最大值 1 时， 24a取最小值 0 时， smax=1.
