1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷 ) 文科数学 第卷 (共 50 分 ) 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的 1.已知集合 A=x|20， 则方程 有实根 ” 的逆否命题是 ( ) A.若方程 有实根，则 m0 B.若方程 有实根，则 m 0 C.若方程 没有实根，则 m0 .若方程 没有实根，则 m 0 答案 ： D 解析 ： 一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论 加以否定，并且加以互换， 故选 D. 考点： 命题的四种形式 . 6.为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该
2、月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据 (单位： )制成如图所示的茎叶图 .考虑以下结论： 甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； 甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差 . 其中根据茎 叶图能得到的统计结论的标号为 ( ) A. B. C. D. 答案 ： B 考点： 1.茎叶图 ； 2.平均数、方差、标准差 . 7.在区间 0， 2上随机地取一个数 x， 则事件“ ”发生的概率为 (
3、 ) A. B. C. D. 答案 ： A 解析 ： 由 得 ， ，所以，由几何概型概率的计算公式得， ， 故选 A. 考点： 1.几何概型 ； 2.对数函数的性质 . 8.若函数 是奇函数，则使 f(x)3 成立的 x 的取值范围为 ( ) A.(,1) B.( 1， 0) C.(0， 1) D.(1， +) 答案 ： C 解析 ： 由题意 ，即 所以 ， ，由 得， 故选 C. 考点： 1.函数的奇偶性 ； 2.指数运算 . 9.已知等腰直角三角形的直角边的长为 2 ，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( ) A.223 B.423 C. D. 答案
4、： B 考点： 1.旋转体的几何特征 ； 2.几何体的体积 . 10.设函数 ， 若 ，则 b=( ) A.1 B. C. D. 答案 ： D 解析 ： 由题意 ， 由 得， 或 ，解得 ， 故选 D. 考点： 1.分段函数 ； 2.函数与方 程 . 第卷 (共 100 分 ) 二、填空题：本大题共 5 小题， 每小题 5 分，共 25 分 11.执行右边的程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 y 的值是 . 答案 ： 考点： 算法与程序框图 . 12.若 x， y 满足约束条件 则 的最大值为 . 答案 ： 解析 ： 画出可行域及直线 ，平移直线 ，当其经过点 时，直线的纵截距最大，
5、所以 最大为 . 考点： 简单线性规划 . 13.过点 P(1， 3)作圆 2 + 2 = 1的两条切线，切点分别为 A， B，则 . = . 答案 ： 考点： 1.直线与圆的位置关系 ； 2.平面向量的数量积 . 14. 定义运算“ ”： ( ).当 时，的最小值是 . 答案 ： 解析 ： 由 新定义运算知， 因为， ， 所以， ，当且仅当时， 的最小值是 . 考点： 1.新定义 运算； 2.基本不等式 . 15.过双曲线 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 于点 .若点 的横坐标为 ， 则 的离心率为 . 答案 ： 考点： 1.双曲线的几何性质 ； 2.直线方程 . 三、解答题：本大题
6、共 6 小题，共 75 分 16.(本小题满分 12 分 ) 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演 讲社团的情况，数据如下表： (单位：人 ) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1， A2， A3， A4， A5， 3名女同学 B1， B2， B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1被选中且 B1未被选中的概率 . 解析 ： (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又
7、未参加演讲社团的有 人，故至少参加上述一个社团的共有 人，所以从该班级随机选 名同学，利用公式计算即得 . (2)从这 名男同学和 名女同学中各随机选 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：，共 个 . 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的 . 事件“ 被选中且 未被选中”所包含的基本事件有： ，共 个 . 应用公式计算即得 . 答案 ： (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 人，故至少参加上述一个社团的共有 人，所以从该班级随机选 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 (2)从这 名男同学和 名女同学中各随机选 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：，共 个 .
8、 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的 . 事件“ 被选中且 未被选中”所包含的基本事件有： ，共 个 . 因此 被选中且 未被选中的概率为 . 考点： 1.古典概型 ； 2.随机事件的概率 . 17. (本小题满分 12 分 ) 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知求 和 的值 . 由正弦定理可得 ，结合 即得 . 答案 ： 在 中， 由 ，得 . 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 为锐角， ， 因此 . 由 可得 ，又 ，所以 . 考点： 1.两角和差的三角函数 ； 2.正弦定理 . 18.如图，三棱台 中， 分别为 的中点 . (I)求证： 平面 ； (II)
9、若 求证：平面 平面 . 思路二：在三棱台 中，由 为 的中点， 可得 为平行四边形， 在 中， 分别为 的中点， 得到 又 ， 得到平面 平面 . (II)证明：连接 .根据 分别为 的中点，得到 由 得 ，又 为 的中点，得到四边形 是平行四边形，从而 又 ，得到 . 答案 ： (I)证法一：连接 设 ， 连接 ，在三棱台 中，分别为 的中点，可得 ，所以四边形 是平行四边形，则 为 的中点，又 是 的中点，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 证法二：在三棱台 中，由 为 的中点， 可得 所以 为平行四边形，可得 在 中， 分别为 的中点， 所以 又 ， 所以平面 平面 ， 因
10、为 平面 ， 所以 平面 . (II)证明：连接 .因为 分别为 的中点，所以 由 得，又 为 的中点，所以 因此四边形 是平行四 边形，所以 又 ，所以 . 又 平面 ， ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 考点： 1.平行关系 ； 2.垂直关系 . 19. (本小题满分 12 分 ) 已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 . (I)求数列 的通项公式； (II)设 ，求数列 的前 项和 . 解析 ： (I)设数列 的公差为 ， 令 得 ，得到 . 令 得 ，得到 . 解得 即得解 . (II)由 (I)知 得到 从而 利用“错位相减法”求和 . 答案 ： (I)设
11、数列 的公差为 ， 令 得 ，所以 . 令 得 ，所以 . 解得 ，所以 (II)由 (I)知 所以 所以 两式相减，得 所以 考点： 1.等差数列的通项公式 ； 2.数列的求和、“错位相减法” . 20. (本小题满分 13 分 ) 设函数 () = (x+ a)lnx， ()= 2. 已知曲线 = () 在点 处的切线与直线 2x = 0平行 . ( )求 a 的值； ( )是否存在自然数 k，使得方程 在 内存在唯一的根？如 果存在，求出 k；如果不存在，请说明理由； ( )设函数 (minp， q表示， p， q 中的较小值 )，求 m(x)的最大值 . 解析 ： (I)由题意知， ，
12、根据 即可求得 . (II) 时，方程 在 内存在唯一的根 . 设 通过研究 时， .又 得知存在 ，使 . 应用导数研究函数 的单调性，当 时， 单调递增 . 作出结论： 时，方程 在 内存在唯一的根 . (III)由 (II)知，方程 在 内存在唯一的根 ，且 时， ， 时， ，得到 . 当 时，研究得到 当 时，应用导数研究得到 且 . 综上可得函数 的最大值为 . 答案 ： (I)由题意知，曲线 = ()在点 处的切线斜率为 ，所以 ， 又 所以 . (II) 时，方程 在 内存在唯一的根 . 设 当 时， . 又 所以存在 ，使 . 因为 所以当 时， ，当时， ， 所以当 时， 单
13、调递增 . 所以 时，方程 在 内存在唯一的根 . (III)由 (II)知，方程 在 内存在唯一的根 ，且 时， 时， ，所以 . 当 时，若 若 由 可知 故 当 时，由 可得 时， 单调递增；时， 单调递减； 可知 且 . 综上可得函数 的最大值为 . 考点： 1.导数的几何意义 ； 2.应用导数研究函数的单调性、最值 . 21. (本小题满分 14 分 ) 平面直角坐标系 中，已知椭圆 C： 的离心率为 ，且点 ( ，)在椭圆 C 上 . ( )求椭圆 C 的方程； ( )设椭圆 E： ， P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 交椭圆 E 于 A， B 两点，射线 PO 交椭圆
14、 E于点 Q. (i)求 的值； (ii)求 面积的最大值 . 解析 ： (I)由题意知 又 ，解得 . (II)由 (I)知椭圆 E 的方程为 . (i)设 由题意知 . 根据 及 ，知 . (ii)设 将 代入椭圆 E 的方程，可得 ，由 可得 应用韦达定理计算 及 的面积设 将直线 代入椭圆 C的方程，可得 ，由 可得 由 可知 当且仅当 ，即 时取得最大值 由 (i)知， 的面积为 即得 面积的最大值为 答案 ： (I)由题意知 又 ，解得 ， 所以椭圆 C 的方程为 (II)由 (I)知椭圆 E 的方程为 . (i)设 由题意知 . 因为 又 ，即 所以 ，即 (ii)设 将 代入椭圆 E 的方程，可得 ，由 可得 则有 所以 因为直线与 轴交点的坐标为 ，所以 的面积设 将直线 代入椭圆 C的方程，可得 ，由 可得 由 可知 故 . 当且仅当 ，即 时取得最大值 由 (i)知， 的面积为 ，所以 面积的最大值为 考点： 1.椭圆的标准方程及其几何性质； 2.直线与椭圆的位置关系； 3.距离与三角形面积； 4.转化与化归思想 .
