1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1.（ 5 分）（ 2015广东）若集合 M=x|（ x+4）（ x+1） =0， N=x|（ x 4）（ x 1） =0，则 MN=（ ） A.1， 4 B. 1， 4 C.0 D. 解析 ：集合 M=x|（ x+4）（ x+1） =0= 1， 4， N=x|（ x 4）（ x 1） =0=1， 4，则 MN= . 答案 ： D 2.（ 5 分）（ 2015广东）若复数 z=i（ 3 2i）（ i 是虚数单位）
2、，则 =（ ） A.2 3i B.2+3i C.3+2i D.3 2i 解析： 复数 z=i（ 3 2i） =2+3i，则 =2 3i， 答案 ： A 3.（ 5 分）（ 2015广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A.y= B. y=x+ C. y=2x+ D. y=x+ex 解析 ：对于 A， y= 是偶函数，所以 A 不正确； 对于 B， y=x+ 函数是奇函数，所以 B 不正确； 对于 C， y=2x+ 是奇函数，所以 C 不正确； 对于 D，不满足 f（ x） =f（ x）也不满足 f（ x） = f（ x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以 D 正确 .
3、 答案 ： D 4.（ 5 分）（ 2015广东）袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球， 5个红球 .从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 1 解析 ：这是一个古典概型，从 15 个球中任取 2 个球的取法有 ； 基本事件总数为 105； 设 “ 所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球 ” 为事件 A； 则 A 包含的基本事件个数为 =50； P （ A） = . 答案 ： B 5.（ 5 分）（ 2015广东）平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是（
4、） A.2x+y+5=0 或 2x+y 5=0 B.2x+y+ =0 或 2x+y =0 C.2x y+5=0 或 2x y 5=0 D. 2x y+ =0 或 2x y =0 解析 ：设所求直线方程为 2x+y+b=0，则，所以 = ，所以 b=5 ， 所以所求直线方程为： 2xy+5=0 或 2x+y 5=0. 答案 ： A 6.（ 5分）（ 2015广东） 若变量 x， y满足约束条件 ，则 z=3x+2y的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 解析 ：不等式组 对应的平面区域如图：由 z=3x+2y 得 y= x+ ，平移直线 y= x+ ，则由图象可知当直线 y= x+ ，
5、经过点 A 时直线 y= x+ 的截距最小， 此时 z 最小，由 ，解得 ，即 A（ 1， ）， 此时 z=31+2 = . 答案 ： B 7.（ 5 分）（ 2015广东）已知双曲线 C： =1 的离心率 e= ，且其右焦点为 F2（ 5， 0），则双曲线 C 的方程为（ ） A. =1 B. =1 C. =1 D. =1 解析 ：双曲线 C： =1 的离心率 e= ，且其右焦点为 F2（ 5， 0）， 可得： ， c=5， a=4 ， b= =3， 所求双曲线方程为： =1. 答案 ： C 8.（ 5 分）（ 2015广东）若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值（ ）
6、 A. 至多等于 3 B. 至多等于 4 C. 等于 5 D. 大于 5 解析 ：考虑平面上， 3 个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 4 个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立； n 大于 4，也不成立； 在空间中， 4 个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立； 若 n 4，由于任三点不共线，当 n=5 时，考虑四个点构成的正四面体， 第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心， 由三角形的两边之和大于三边，故不成立； 同理 n 5，不成立 . 答案 ： B 二、填空题（本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30分 .）（一）必做题
7、（ 11 13 题） 9.（ 5 分）（ 2015广东）在（ 1） 4的展开式中， x 的系数为 6 . 解析 ：二项式（ 1） 4的展开式的通项公式为 Tr+1= （ 1） r ， 令 2 =1，求得 r=2， 二项式（ 1） 4的展开式中 x 的系数为 =6， 答案 ： 6 10.（ 5 分）（ 2015广东）在等差数列 an中，若 a3+a4+a5+a6+a7=25，则 a2+a8= 10 . 解析 ：由 a3+a4+a5+a6+a7=（ a3+a7） +（ a4+a6） +a5=5a5=25，得到 a5=5， 则 a2+a8=2a5=10. 答案 ： 10 11.（ 5 分）（ 201
8、5广东）设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 a= ， sinB= ，C= ，则 b= 1 . 解析 ： sinB= ， B= 或 B= 当 B= 时， a= ， C= ， A= ， 由正弦定理可得， 则 b=1 当 B= 时， C= ，与三角形的内角和为 矛盾 答案 ： 1 12.（ 5 分）（ 2015广东）某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 1560 条毕业留言 .（用数字作答） 解析 ：某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 =4039=1560 条 . 答案 ： 1
9、560 13.（ 5 分）（ 2015广东）已知随机变量 X 服从二项分布 B（ n， p），若 E（ X） =30， D（ X）=20，则 P= . 解析 ：随机变量 X 服从二项分布 B（ n， p），若 E（ X） =30， D（ X） =20， 可得 np=30， npq=20， q= ，则 p= ， 答案 ： 14.（ 5 分）（ 2015广东）已知直线 l 的极坐标方程为 2sin （ ） = ，点 A 的极坐标为 A（ 2 ， ），则点 A 到直线 l 的距离为 . 解析 ：直线 l 的极坐标方程为 2sin （ ） = ，对应的直角坐标方程为： y x=1， 点 A 的极坐标为
10、 A（ 2 ， ），它的直角坐标为（ 2， 2） . 点 A 到直线 l 的距离为： = . 答案： 15.（ 2015广东）如图，已知 AB 是圆 O 的直径， AB=4， EC 是圆 O 的切线，切点为 C， BC=1.过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC于 D和点 P，则 OD= 8 . 解析 ：连接 OC，则 OCCD ， AB 是圆 O 的直径， BCAC ， OPBC ， OPAC ， OP= BC= ， RtOCD 中，由射影定理可得 OC2=OPOD， 4= OD， OD=8. 答案 ： 8 三、解答题 16.（ 12 分）（ 2015广东）在平面直角坐标系
11、xOy 中，已知向量 =（ ， ）， =（ sinx，cosx）， x （ 0， ） . (1)若 ，求 tanx 的值； (2)若 与 的夹角为 ，求 x 的值 . 答案 ： (1)若 ， 则 =（ ， ） （ sinx， cosx） = sinx cosx=0， 即 sinx= cosx sinx=cosx，即 tanx=1； (2)| |=1， | |=1， =（ ， ） （ sinx， cosx） = sinx cosx， 若 与 的夹角为 ， 则 =| | |cos = ， 即 sinx cosx= ， 则 sin（ x ） = ， x （ 0， ） . x （ ， ） . 则 x
12、= 即 x= + = . 17.（ 12 分）（ 2015广东）某工厂 36 名工人年龄数据如图： 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 2 3 4 5 6 7 8 9 40 44 40 41 33 40 45 42 43 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 31 38 39 43 45 39 38 36 19 20 21 22 23 24 25 26 27 27 43 41 37 34 42 37 44 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 34 39 43 38 42 53 37 49 39 (1)用分层抽样法从
13、36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据； (2)计算 (1)中样本的均值 和方差 s2； (3)36 名工人中年龄在 s 和 +s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到 0.01%）？ 解析： (1)利用分层抽样的定义进行求解即可； (2)根据均值和方差公式即可计算 (1)中样本的均值 和方差 s2； (3)求出样本和方差即可得到结论 . 答案 ： (1)由分层抽样知， 36 人分成 9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为 44，所以其编号为2， 所有样本数据的编号为： 4n 2，（ n=1， 2， ， 9）， 其数据
14、为： 44， 40， 36， 43， 36， 37， 44， 43， 37. (2)由平均值公式得 = （ 44+40+36+43+36+37+44+43+37） =40. 由方差公式得 s2= （ 44 40） 2+（ 40 40） 2+ （ 37 40） 2= . (3)s 2= .s= （ 3， 4）， 36 名工人中年龄在 s 和 +s 之间的人数等于区间 37， 43的人数， 即 40， 40， 41， ， 39，共 23 人 . 36 名工人中年龄在 s 和 +s 之间所占百分比为 63.89%. 18.（ 14 分）（ 2015广东）如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 AB
15、CD 所在的平面垂直，PD=PC=4， AB=6， BC=3，点 E 是 CD 的中点，点 F、 G 分别在线段 AB、 BC 上，且 AF=2FB， CG=2GB. (1)证明： PEFG ； (2)求二面角 P AD C 的正切值； (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值 . 解析： (1)通过 POC 为等腰三角形可得 PECD ，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论； (2)通过 (1)及面面垂直定理可得 PGAD ，则 PDC 为二面角 P AD C 的平面角，利 用勾股定理即得结论； (3)连结 AC，利用勾股定理及已知条件可得 FGAC ，在 PAC 中，利用余弦定理
16、即得直线 PA与直线 FG 所成角即为直线 PA 与直线 FG 所成角 PAC 的余弦值 . 答案 ： (1)证明：在 POC 中 PO=PC 且 E 为 CD 中点， PECD ， 又 平面 PDC 平面 ABCD，平面 PDC 平面 ABCD=CD， PE平面 PCD， PE 平面 ABCD， 又 FG 平面 ABCD， PEFG ； (2)由 (1)知 PE 平面 ABCD， PEAD ， 又 CDAD 且 PECD=E ， AD 平面 PDC， 又 PD 平面 PDC， ADPD ， 又 ADCD ， PDC 为二面角 P AD C 的平面角， 在 RtPDE 中，由勾股定理可得： P
17、E= = = ， tanPDC= = ； (3)连结 AC，则 AC= =3 ， 在 RtADP 中， AP= = =5， AF=2FB ， CG=2GB， FGAC ， 直线 PA 与直线 FG 所成角即为直线 PA 与直线 FG所成角 PAC ， 在 PAC 中，由余弦定理得 cosPAC= = = . 19.（ 14 分）（ 2015广东）设 a 1，函数 f（ x） =（ 1+x2） ex a. (1)求 f（ x）的单调区间； (2)证明 f（ x）在（ ， + ）上仅有一个零点； (3)若曲线 y=f（ x）在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 M（ m， n）处的切线与直线
18、OP 平行，（ O 是坐标原点），证明： m 1. 解析： (1)利用 f（ x） 0 ，求出函数单调增区间 . (2)证明只有 1 个零点，需要说明两个方面： 函数单调； 函数有零点 . (3)利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂 . 答案： (1)f（ x） =ex（ x2+2x+1） =ex（ x+1） 2 f （ x） 0 ， f （ x） =（ 1+x2） ex a 在（ ， + ）上为增函数 . (2)证明：由 (1)问可知函数在（ ， + ）上为增函数 . 又 f（ 0） =1 a， a 1.1 a 05 分 f （ 0） 0.当 x+ 时， f（ x） 0 成立 . f （
19、 x）在（ ， + ）上有且只有一个零点 (3)证明： f（ x） =ex（ x+1） 2， 设点 P（ x0， y0）则） f（ x） =ex0（ x0+1） 2， y=f （ x）在点 P 处的切线与 x 轴平行， f （ x0） =0，即： ex0（ x0+1） 2=0， x 0=1 将 x0=1 代入 y=f（ x）得 y0= . ， 令； g（ m） =em（ m+1） g（ m） =em（ m+1）， 则 g（ m） =em 1，由 g（ m） =0 得 m=0. 当 m （ 0， + ）时， g（ m） 0 当 m （ ， 0）时， g（ m） 0 g （ m）的最小值为 g（
20、0） =0 g （ m） =em（ m+1） 0 e mm+1 e m（ m+1） 2 （ m+1） 3 即： m 20.（ 14 分）（ 2015广东）已知过原点的动直线 l 与圆 C1： x2+y2 6x+5=0 相交于不同的两点A， B. (1)求圆 C1的圆心坐标； (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； (3)是否存在实数 k，使得直线 L： y=k（ x 4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k的取值范围；若不存在，说明理由 . 解析： (1)通过将圆 C1的一般式方程化为标准方程即得结论； (2)设当直线 l 的方程为 y=kx，通过联立直线 l 与圆 C1的
21、方程，利用根的判别式大于 0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论； (3)通过联立直线 L 与圆 C1的方程，利用根的判别式 =0 及轨迹 C 的端点与点（ 4， 0）决定的直线斜率，即得结论 . 答案 ： (1) 圆 C1： x2+y2 6x+5=0， 整理，得其标准方程为：（ x 3） 2+y2=4， 圆 C1的圆心坐标为（ 3， 0）； (2)设当直线 l 的方程为 y=kx、 A（ x1， y1）、 B（ x2， y2）， 联立方程组 ， 消去 y 可得：（ 1+k2） x2 6x+5=0， 由 =36 4（ 1+k2） 5 0，可得 k2 由韦达定理，
22、可得 x1+x2= ， 线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的参数方程为 ，其中 k ， 线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程为：（ x ） 2+y2= ，其中 x3 ； (3)结论：当 k （ ， ） ， 时，直线 L： y=k（ x 4）与曲线 C 只有一个交点 . 理由如下： 联立方程组 ， 消去 y，可得：（ 1+k2） x2（ 3+8k） x+16k2=0， 令 = （ 3+8k） 2 4（ 1+k2） 16k2=0，解得 k= ， 又 轨迹 C 的端点（ ， ）与点（ 4， 0）决定的直线斜率为 ， 当直线 L： y=k（ x 4）与曲线 C 只有一个交点时， k 的取值范围
23、为（ ， ） ， . 21.（ 14 分）（ 2015广东）数列 an满足： a1+2a2+na n=4 ， n N+. (1)求 a3的值； (2)求数列 an的前 n 项和 Tn； (3)令 b1=a1， bn= +（ 1+ + + ） an（ n2 ），证明：数列 bn的前 n 项和 Sn满足 Sn 2+2lnn. 解析 ： (1)利用数列的递推关系即可求 a3的值； (2)利用作差法求出数列 an的通项公式，利用等比数列的前 n 项和公式即可求数列 an的前 n 项和 Tn； (3)利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式 . 答案 ： (1)a 1+2a2+na n=4 ， n
24、N+. a 1=4 3=1， 1+2a2=4 =2， 解得 a2= ， a 1+2a2+na n=4 ， n N+. a 1+2a2+ （ n 1） an 1=4 ， n N+. 两式相减得 nan=4 （ 4 ） = ， n2 ， 则 an= ， n2 ， 当 n=1 时， a1=1 也满足， a n= ， n1 ， 则 a3= ； (2)a n= ， n1 ， 数列 an是公比 q= ， 则数列 an的前 n 项和 Tn= =2 21 n. (3)bn= +（ 1+ + + ） an， b 1=a1， b2= +（ 1+ ） a2， b3= （ 1+ + ） a3， S n=b1+b2+b n=（ 1+ + + ）（ a1+a2+a n） =（ 1+ + + ） Tn =（ 1+ + + ）（ 2 21 n） 2 （ 1+ + + ）， 设 f（ x） =lnx+ 1， x 1， 则 f （ x） = . 即 f（ x）在（ 1， + ）上为增函数， f (1)=0，即 f（ x） 0， k2 ，且 k N时， ， f （ ） =ln + 1 0，即 ln ， ln ， ， ， 即 =lnn， 2 （ 1+ + + ） 2+lnn， 即 Sn 2（ 1+lnn） =2+2lnn.
