1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 II)数学 文 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 1.已知集合 A=x|-1 x 2， B=x|0 x 3，则 A B=( ) A.(-1， 3) B.(-1， 0) C.(0， 2) D.(2， 3) 解析 ： A=x|-1 x 2， B=x|0 x 3， A B=x|-1 x 3， 故选： A 2.若 a 为实数且 ，则 a=( ) A.-4 B.-3 C.3 D.4 解析 ： 由 =3+i，得 2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i，则 a=4. 故选： D 3.根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫
2、年排放量 (单位：万吨 )柱形图，以下结论中不正确的是 ( ) A.逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 解析 ： A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故 A 正确； B2004-2006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确； C 从图中看出， 2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确； D2006
3、年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故 D 错误 . 故选： D 4. a =(1， -1)， b =(-1， 2)则 (2a + b ) a =( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 ：因为 a =(1， -1)， b =(-1， 2)则 (2a + b ) a =(1， 0) (1， -1)=1. 故选： C 5. Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 a1+a3+a5=3，则 S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 解析 ： 数列 an是等差数列，且 a1+a3+a5=3，得 3a3=3，即 a3=1. S5=5a3=5. 故选： A 6.一个正方体
4、被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( ) A.18B.17C.16D.15解析 ： 设正方体的棱长为 1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为以棱锥， 正方体切掉部分的体积为 13 12 1 1 1=16， 剩余部分体积为 1-16=56， 截去部分体积与剩余部分体积的比值为 15. 故选： D 7.过三点 A(1， 0)， B(0， 3 )， C(2， 3 )则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 ( ) A.53B. 213C.253D.43解析 ：因为 ABC 外接圆的圆心在直线 BCD 垂直平分线上，即直线 x=1 上， 可设圆心 P(1
5、， p)，由 PA=PB 得 |p|= ，得 p=223， 圆心坐标为 P(1， 223)， 所以圆心到原点的距离 |OP|= . 故选： B 8.如图程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” .执行该程序框图，若输入 a， b 分别为 14， 18，则输出的 a=( ) A.0 B.2 C.4 D.14 解析 ： 模拟执行程序框图，可得 a=14， b=18， 满足条件 a b，不满足条件 a b， b=4， 满足条件 a b，满足条件 a b， a=10， 满足条件 a b，满足条件 a b， a=6， 满足条件 a b，满足条件 a b， a=2， 满足条件 a
6、b，不满足条件 a b， b=2， 不满足条件 a b，输出 a 的值为 2. 故选： B 9.已知等比数列 an满足 a1=14， a3a5=4(a4-1)，则 a2=( ) A.2 B.1 C.12D.18解析 ：设等比数列 an的公比为 q， a1=14， a3a5=4(a4-1)， (14)2 q6=4(14q3-1)，化为 q3=8，解得 q=2， 则 a2=14 2=12. 故选： C 10.已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB=90， C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 ( ) A.36 B.64 C.144 D.2
7、56 解析 ：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O-ABC 的体积最大，设球O 的半径为 R，此时 VO-ABC=VC-AOB=13 12 R2 R=16R3=36，故 R=6，则球 O 的表面积为 4 R2=144 . 故选 C 11.如图，长方形 ABCD 的边 AB=2， BC=1， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC， CD与 DA 运动，记 BOP=x.将动点 P 到 A， B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y=f(x)的图象大致为( ) A. B. C. D. 解析 ： 由对称性可知函数 f(x)关于 x=2对称， 且当 0 x
8、4时， BP=tanx， AP= ， 此时 f(x)= +tanx， 0 x4，此时单调递增，排除 A， C(不是直线递增 )， D. 故选： B 12.设函数 f(x)=ln(1+|x|)-211 x ，则使得 f(x) f(2x-1)成立的 x 的取值范围是 ( ) A.(13， 1) B.(-， 13) (1， + ) C.(-13， 13) D.(-， -13) (13， + ) 解析 ：函数 f(x)=ln(1+|x|)-211 x 为偶函数， 且在 x 0 时， f(x)=ln(1+x)-211 x 导数为 f (x)= 11 x + 2221 xx 0， 即有函数 f(x)在 0
9、， + )单调递增， f(x) f(2x-1)等价为 f(|x|) f(|2x-1|)，即 |x| |2x-1|， 平方得 3x2-4x+1 0，解得 13 x 1，所求 x 的取值范围是 (13， 1). 故选 A 二、填空题 13.已知函数 f(x)=ax3-2x 的图象过点 (-1， 4)则 a= . 解析 ： 根据条件得： 4=-a+2； a=-2. 故答案为： -2 14.若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为 . 解析：作出不等式组对应的平面区域如图： (阴影部分 ABC). 由 z=2x+y 得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z， 由图象可知当直线
10、y=-2x+z 经过点 A 时，直线 y=-2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 . 由 ，解得 ，即 A(3， 2)， 将 A(3， 2)的坐标代入目标函数 z=2x+y， 得 z=2 3+2=8.即 z=2x+y 的最大值为 8. 故答案为： 8 15.已知双曲线过点 (4， 3 )且渐近线方程为 y= 12x，则该双曲线的标准方程是 . 解析 ：设双曲线方程为 y2-14x2=，代入点 (4， 3 )，可得 3-14 16=， =-1， 双曲线的标准方程是 14x2-y2=1. 故答案为： 14x2-y2=1 16.已知曲线 y=x+lnx 在点 (1， 1)处的切线与曲线 y=ax2
11、+(a+2)x+1 相切，则 a= . 解析 ： y=x+lnx 的导数为 y =1+1x， 曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线斜率为 k=2， 则曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线方程为 y-1=2x-2，即 y=2x-1. 由于切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切， 故 y=ax2+(a+2)x+1 可联立 y=2x-1，得 ax2+ax+2=0， 又 a 0，两线相切有一切点，所以有 =a2-8a=0，解得 a=8. 故答案为： 8 三解答题 17. ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC， BD=2DC ( ) 求 . ( ) 若 BAC=6
12、0，求 B. 解析： ( )由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案； ( )由 C=180 -( BAC+ B)，两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合 ( )中的结论得答案 . 答案 ： ( )如图， 由正弦定理得： ， ， AD 平分 BAC， BD=2DC， . ( ) C=180 -( BAC+ B)， BAC=60， sin C=sin( BAC+ B)= 32cos B+12sin B， 由 ( )知 2sin B=sin C， tan B= 33，即 B=30 . 18.某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A， B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品
13、的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表 B 地区用户满意度评分的频数分布表 (1)做出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 (不要求计算出具体值，给出结论即可 ) ( )根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由 . 解析： (I)根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可 . (II)计算得出 CA 表示事件：“ A 地区用户的满意度等级为不满意”， CB 表示事件：“ B 地区用户的满意度等级为不满意”，
14、P(CA)， P(CB)，即可判断不满意的情况 . 答案： ( )如图， 通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出， B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值， B 地区的用户满意度评分的比较集中，而 A 地区的用户满意度评分的比较分散 . ( )A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大 . 记 CA表示事件：“ A 地区用户的满意度等级为不满意”， CB表示事件：“ B 地区用户的满意度等级为不满意”， 由直方图得 P(CA)=(0.01+0.02+0.03) 10=0.6， 得 P(CB)=(0.005+0.02) 10=0.25， A 地区用户的满意度
15、等级为不满意的概率大 . 19.如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=16， BC=10， AA1=8，点 E， F 分别在 A1B1， D1C1上， A1E=D1F=4.过 E， F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 . ( )在图中画出这个正方形 (不必说出画法和理由 ) ( )求平面把该长方体分成的两部分体积的比值 . 解析： ( )利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形； ( )求出 =6， AH=10， HB=6，即可求平面 a 把该长方体分成的两部分体积的比值 . 答案 ： ( )交线围成的正方形 EFGH 如图所示 . ( )作 EM AB，垂
16、足为 M，则 AM=A1E=4， EB1=12， EM=AA1=8. 因为 EFGH 为正方形，所以 EH=EF=BC=10， 于是 MH= =6， AH=10， HB=6. 因为长方体被平面分成两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为 97. 20.椭圆 C： ， (a b 0)的离心率 22，点 (2， 2 )在 C 上 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A， B，线段 AB 的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 . 解析： (1)利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，
17、然后得到椭圆的方程 . (2)设直线 l： y=kx+b， (k 0， b 0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(xM， yM)，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解 KOM，然后推出直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 . 答案 ： (1)椭圆 C： ， (a b 0)的离心率 22，点 (2， 2 )在 C上，可得 ，解得 a2=8， b2=4，所求椭圆 C 方程为： . (2)设直线 l： y=kx+b， (k 0， b 0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(xM， yM)， 把直线 y=kx+b 代入 可得 (2k2+1)x2+4kbx+
18、2b2-8=0， 故 xM= ， yM=kxM+b= ， 于是在 OM 的斜率为： KOM= k，即 KOM k=-12. 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 . 21.设函数 f(x)=lnx+a(1-x). ( )讨论： f(x)的单调性； ( )当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a-2 时，求 a 的取值范围 . 解析： ( )先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性； (2)先求出函数的最大值，再构造函数 (a)=lna+a-1，根据函数的单调性即可求出 a 的范围 . 答案 ： ( )f(x)=lnx+a(1-x)的定义域为 (0， + )， f (x)= ，
19、若 a 0，则 f (x) 0，函数 f(x)在 (0， + )上单调递增， 若 a 0，则当 x (0， 1a)时， f (x) 0，当 x (1a， + )时， f (x) 0，所以 f(x)在(0， 1a)上单调递增，在 (1a， + )上单调递减， ( )，由 ( )知，当 a 0 时， f(x)在 (0， + )上无最大值；当 a 0 时， f(x)在 x=1a 取得最大值，最大值为 f(1a)=-lna+a-1， f(1a) 2a-2， lna+a-1 0， 令 g(a)=lna+a-1， g(a)在 (0， + )单调递增， g(1)=0，当 0 a 1 时， g(a) 0， 当
20、 a 1 时， g(a) 0， a 的取值范围为 (0， 1). 22.如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点， O 与 ABC 的底边 BC 交于 M， N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB， AC 分别相切于 E， F 两点 . (1)证明： EF BC； (2)若 AG 等于 O 的半径，且 AE=MN=2 3 ，求四边形 EBCF 的面积 . 解析： (1)通过 AD 是 CAB 的角平分线及圆 O 分别与 AB、 AC 相切于点 E、 F，利用相似的性质即得结论； (2)通过 (1)知 AD 是 EF 的垂直平分线，连结 OE、 OM，则 OE AE，利用 S AB
21、C-S AEF计算即可 . 答案 (1) ABC 为等腰三角形， AD BC， AD 是 CAB 的角平分线， 又圆 O 分别与 AB、 AC 相切于点 E、 F， AE=AF， AD EF， EF BC. (2)由 (1)知 AE=AF， AD EF， AD 是 EF 的垂直平分线， 又 EF 为圆 O 的弦， O 在 AD 上，连结 OE、 OM，则 OE AE， 由 AG 等于圆 O 的半径可得 AO=2OE， OAE=30， ABC 与 AEF 都是等边三角形， AE=2 3 ， AO=4， OE=2， OM=OE=2， DM=12MN= 3 ， OD=1， AD=5， AB=10 3
22、3， 四边形 EBCF 的面积为 . 23.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： (t 为参数， t 0， 0 )在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： =2sin，曲线 C3： =2 3 cos . (1)求 C2与 C3交点的直角坐标 ； (2)若 C2与 C1相交于点 A， C1与 C3相交于点 B，求 |AB|的最大值 . 解析： (1)把曲线的极坐标分别化为直角坐标方程联立可得交点坐标； (2)求出曲线 C1的极坐标方程，可得 A， B 的极坐标，即可求 |AB|的最大值 . 答案 ： (1)曲线 C2： =2sin化为 2=2 sin， x2+y2=2y
23、. 曲线 C3： =2 3 cos化为 2=2 3 cos， x2+y2=2 3 x. 联立 ，解得 或 . C2与 C3交点的直角坐标为 (0， 0)和 ( 32， 32)； (2)曲线 C1的极坐标方程为 = ( R， 0)，其中 0 . 因此 A 的极坐标为 (2sin， )， B 的极坐标为 (2 3 cos， )， 所以 |AB|=|2sin -2 3 cos |=4|sin( -3)|， 当 =56时， |AB|取得最大值，最大值为 4. 24.设 a， b， c， d 均为正数，且 a+b=c+d，证明： (1)若 ab cd，则 ； (2) 是 |a-b| |c-d|的充要条件
24、 . 解析： (1)运用不等式的性质，结合条件 a， b， c， d 均为正数，且 a+b=c+d， ab cd，即可得证； (2)从两方面证，若 ，证得 |a-b| |c-d|，若 |a-b| |c-d|，证得，注意运用不等式的性质，即可得证 . 答案： (1)由于 ( )2=a+b+2 ab ， ( )2=c+d+2 cd ， 由 a， b， c， d 均为正数，且 a+b=c+d， ab cd， 则 ab cd ， 即有 ( )2 ( )2，则 . (2)若 ，则 ( )2 ( )2， 即为 a+b+2 ab c+d+2 cd ， 由 a+b=c+d，则 ab cd， 于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab， (c-d)2=(c+d)2-4cd， 即有 (a-b)2 (c-d)2，即为 |a-b| |c-d|； 若 |a-b| |c-d|，则 (a-b)2 (c-d)2， 即有 (a+b)2-4ab (c+d)2-4cd， 由 a+b=c+d，则 ab cd， 则有 ( )2 ( )2. 综上可得， 是 |a-b| |c-d|的充要条件 .
