1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I)数学 文 1.已知集合 3 2 , , 6 , 8 ,10 ,12 ,14 A x x n n N B ，则集合AB中的元素个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2+ 解析： 由条件知，当 n=2 时， 3n+2=8，当 n=4 时， 3n+2=14，故 A B=8， 14. 答案： D 2.已知点 A(0， 1)， B(3， 2)，向量 AC =(-4， -3)， 则向量BC( ) A.(-7， -4) B.(7， 4) C.(-1， 4) D.(1， 4) 解析： 因为 AB O B O A=(3， 1)，所以BC AC AB=(
2、-7， -4). 答案： A 3.已知复数 z满足( 1) 1z i i ，则 ( ) A.2iB.iC.2iD.解析： ( 1) 1z i i ， z=21 2 (1 2 )( ) 2i i i iii . 答案： C 4.如果 3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3个数为一组勾股数，从 1，2， 3， 4， 5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为 ( ) A.310B.1C.110D.20解析： 从 1， 2， 3， 4， 5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法，其中的勾股数只有 3，4， 5，故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1
3、种，故所求概率为110. 答案： C 5.已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为12， E 的右焦点与抛物线 C： y2=8x 的焦点重合，A， B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 |AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 解析： 椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为2， E 的右焦点 (c， 0)与抛物线 C： y2=8x 的焦点 (2， 0)重合， 可得 c=2， a=4， b2=12，椭圆的标准方程为： =1， 抛物线的准线方程为： x=-2， 由 ，解得 y= 3，所以 a(-2， 3)， B(-2， -3)， |AB|=6 答案： B 6.九章算术是我国古代内容极为
4、丰富的数学名著，书中有如下问题 :“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问 :积及为米几何 ?”其意思为 :“在屋内墙角处堆放米 (如图，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有 ( ) A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 解析：设圆锥的底面半径为 r，则 14 2 3r=8，解得 r=163， 故米堆的体积为 14 13 3 (163)2 5=3209， 1 斛米的体积约为 1.62 立方，
5、3209 1.62 22. 故选： B 7.已知 an是公差为 1 的等差数列， Sn为 an的前 项和，若844SS，则 a10=( ) A.172B.19C.10 D.12 解析： 公差1d，4，11118 8 7 4( 4 4 3 )22aa ， 解得1a=12，10 1 1 199922a a d . 答案： B 8.函数 f(x)=cos( x+ )的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为 ( ) A (k -14， k +34， )， k z B (2k -14， 2k +34)， k z C (k-14， k+34)， k z D (2k-14， 2k+34)， k z
6、解析：由函数 f(x)=cos( x+ )的部分图象，可得函数的周期为 2=2(54-14)=2， =， f(x)=cos( x+ ) 再根据函数的图象以及五点法作图，可得4+ =2， k z，即 =4， f(x)=cos( x+4) 由 2k x+4 2k +，求得 2k-14 x 2k+34，故 f(x)的单调递减区间为 (2k-14，2k+34)， k z. 故选： D 9.如图的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=( ) A 5 B 6 C 7 D 8 解析： 执行第 1 次， t=0.01， S=1， n=0， m=12=0.5， S=S-m=0.5，2mm=0.25，
7、 n=1， S=0.5 t=0.01，是，循环， 执行第 2 次， S=S-m=0.25，2m=0.125， n=2， S=0.25 t=0.01，是，循环， 执行第 3 次， S=S-m=0.125，m=0.0625， n=3， S=0.125 t=0.01，是，循环， 执行第 4 次， S=S-m=0.0625，2m=0.03125， n=4， S=0.0625 t=0.01，是，循环， 执行第 5 次， S=S-m=0.03125，m=0.015625， n=5， S=0.03125 t=0.01，是，循环， 执行第 6 次， S=S-m=0.015625，2m=0.0078125， n
8、=6， S=0.015625 t=0.01，是，循环， 执行第 7 次， S=S-m=0.0078125，2mm=0.00390625， n=7， S=0.0078125 t=0.01，否，输出 n=7. 故选： C 10.已知函数122 2 , 1()log ( 1), 1x xfxxx ，且( ) 3fa，则(6 )() A.74B.5C.34D.1解析： ( ) 3fa，当1a时 ，1( ) 2 2 3afa ， 则121a ， 此等式显然不成立 ， 当1a时 ，2log ( 1) 3a ， 解得7a， (6 )1)f =11 7224 . 答案： A 11.圆柱被一个平面截去一部分后与
9、半球 (半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 .若该几何体的表面积为 16+20，则 r=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析： 由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱， 其表面积为： 12 4 r2+12 r2+12 2r 2 r+2r 2r+12 r2=5 r2+4r2， 又该几何体的表面积为 16+20， 5 r2+4r2=16+20，解得 r=2. 故选： B 12.设函数 y=f(x)的图像与2xay 的图像关于直线 y=-x 对称，且 f(-2)+ f(-4)=1，则a=( ) A.-
10、1 B.1 C.2 D.3 解析：设 (x， y)是 函数 y=f(x)的图像上任意一点，它关于直线 y=-x 对称为 (-y， -x)， 由已知 (-y， -x)在函数2xay 的图像上，2 ya， 解得2log ( )x a ， 即 2) log ( )f x x a ， 22( 2) ( 4) log 2 log 4 1f f a a ， 解得 a=2. 故选 C. 二、填空题：本大题共 4 小题 ， 每小题 5 分 13.数列 an中112, 2 ,n n na a a S为 an的前 n 项和，若 Sn=126，则 n= . 解析： 2, 2nna a，数列 an是首项为 2，公比为
11、 2 的等比数列， 2(1 ) 12612nnS，2 64， n=6. 答案： 6 14.已知函数 3 1f x ax x 的图像在点 1, 1f的处的切线过点 (2， 7)，则 a= . 解析： 2( ) 3 1f x ax ，(1) 3 1fa， 即切线斜率31ka， 又 f(1)=a+2， 切点为 (1， a+2)，切线过 (2， 7)，27 3112a a ， 解得 a=1. 答案： 1 15.若 x， y 满足约束条件202 1 02 2 0xyxyxy ， 则 z=3x+y 的最大值为 解析： 作出可行域如图中阴影部分所示， 作出直线0l：30xy， 平移直线0l， 当直线l:z=
12、3x+y 过点 A 时， z 取 最大值，由2=02 1=0xy， 解得 A(1， 1)， z=3x+y 的最大值为 4. 答案： 4 16.已知 F 是双曲线 C： 22 18yx 的右焦点， P 是 C 左支上一点，(0,6 6)A，当 APF周长最小时，该三角形的面积为 解析： 由题意，设 F是左焦点，则 APF 周长 =|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF |+2 |AF|+|AF |+2(A， P， F三点共线时，取等号 )， 直线 AF的方程为 =1 与 =1 联立可得 y2+6 6 y-96=0， P 的纵坐标为 2 6 ， APF 周长最小时，该三角形的面积
13、为 12 6 6 6 -12 6 2 6 =12 6 答案： 12 6 17.已知 a， b， c 分别是 ABC 内角 A， B， C 的对边，2si n 2 si n si nB A C. (I)若 a=b，求 cosB； (II)若 B=90 ，且2a， 求 ABC 的面积 . 解析： (I)先由正弦定理将2si n 2 si n si nB A C化为变得关系 ， 结合条件 a=b， 用其中一边把另外两边表示出来 ， 再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值 ； (II)由 (I)知2 2b ac=， 根据勾股定理和即可求出 c，从而求出 ABC 的面积 . 答案： (I)由题设及正弦定理
14、可得2 2b ac=. 又 a=b，可得 b=2c， a=2c， 由余弦定理可得2 2 2 1cos24a c bB ac+-=. (II)由 (1)知2 2b ac=. 因为 B=90 ，由勾股定理得2 2 2a c b+=. 故222a c ac，得2ca=. 所以 ABC 的面积为 1. 18.如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE平面 ABCD ( )证明：平面 AEC平面 BED； ( )若 ABC=120， AE EC，三棱锥 E-ACD 的体积为 63，求该三棱锥的侧面积 解析： ( )根据面面垂直的判定定理即可证明：平面 AEC平面 BED；
15、( )根据三棱锥的条件公式，进行计算即可 答案 ： ( )四边形 ABCD 为菱形， AC BD， BE平面 ABCD， AC BE，则 AC平面 BED， AC 平面 AEC，平面 AEC平面 BED. ( )设 AB=x，在菱形 ABCD 中，由 ABC=120，得 AG=GC= 32x， GB=GD=2x， AE EC， EBG 为直角三角形，则 BE= 22x， 三棱锥 E-ACD 的体积 V= ，解得 x=2， 从而得 AE=EC=ED= 6 ， EAC 的面积为 3， EAD 的面积和 ECD 的面积均为 5 ， 故该三棱锥的侧面积为 3+2 5 19.某公司为确定下一年度投入某种
16、产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元 )对年销售量 y(单位： t)和年利润 z(单位：千元 )的影响，对近 8年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i=1，2， 8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 . xyw21()n iixx21nii ww 1( )( )n iiix x y y1( )( )niw w y y46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 w1 =1x，118niiww.( )根据散点图判断， y=a+bx 与 y=c+dx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？ (给出判断即可，不必说明理由
17、) ( )根据 ( )的判断结果及 表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； ( )已知这种产品的年利率 z 与 x、 y 的关系为 z=0.2y-x.根据 ( )的结果回答下列问题： (i)年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii)年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据 (u1， v1)， (u2， v2) (un， vn)，其回归线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121( )( )=()niiiniiu u v vuu，=vu . 解析： ( )根据散点图，即可判断出 . ( )先建立中间量 w= x ，建立 y 关于 w 的
18、线性回归方程，根据公式求出 w，问题得以解决； ( )(i)年宣传费 x=49 时，代入到回归方程，计算即可， (ii)求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出 . 答案： ( )由散点图可以判断， y=c+d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型； ( )令 w= x ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于 =68， c y d w =563-68 6.8=100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y =100.6+68w， 因此 y 关于 x 的回归方程为 y =100.6+68 x ， ( )(i)由 ( )知，当 x=49 时，年销售量 y 的预
19、报值 y =100.6+68 49 =576.6， 年利润 z 的预报值 z =576.6 0.2-49=66.32， (ii)根据 ( )的结果可知，年利润 z 的预报值 z =0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12， 当 x =13.62=6.8 时，年利润的预报值最大 . 20.已知过点 A(1， 0)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： 222 3 1xy 交于 M， N两点 . (I)求 k 的取值范围； (II)12OM ON，其中 O 为坐标原点，求MN. 解析： (I)设出直线 l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k 的不等式，即可
20、求出 k 的取值范围； (II)设1 1 2 2M ( , y ), N( , y )xx，将直线 l 方程代入圆的方程化为关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理将1 2 1 2,xx yy用 k表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON列出关于 k 方程，解出 k，即可求出 |MN|. 答案： (I)由题设，可知直线 l 的方程为1y kx=+. 因为 l 与 C 交于两点，所以2|2 3 1| 11kk-+考虑fx的单调性及性质 ， 即可判断出零点个数 ； (II)由 (I)可设()fx在( )0+，的唯一零点为0x， 根据的正负 ， 即可判定函数的图像与性质 ， 求出函数的最
21、小值 ， 即可证明其最小值不小于22 lnaaa+， 即证明了所证不等式 . 答案： (I) 的定义域为( )，( )2( )= 2 0x af x e xx -. 当0a时，( ) 0 ，()没有零点； 当时，因为2xe单调递增，ax-单调递增，所以()fx在( )0+，单调递增 .又( 0fa ，当 b 满足0 4ab时，存在唯一零点 . (II)由 (I)，可设()fx在( )0+，的唯一零点为0x，当( )0xx ，时，( ) 0fx . 故()在( )00 x，单调递减，在( )0+x ，单调递增，所以当0=时，()取得最小值，最 小值为0. 由于0202 =0x ae x-，所以0
22、0022( ) = 2 ln 2 ln2 af x ax a a ax a a+ + ?. 故当0a时，2( ) 2 lnf x a a a?. 22.选修 4-1：几何证明选讲 如图， AB 是 O 的直径， AC 是 O 的切线， BC 交 O 于 E. ( )若 D 为 AC 的中点，证明： DE 是 O 的切线； ( )若3OA CE，求 ACB 的大小 . 解析： ( )连接 AE 和 OE，由三角形和圆的知识易得 OED=90，可得 DE 是 O 的切线； ( )设 CE=1， AE=x，由射影定理可得关于 x 的方程 2212xx，解方程可得 x 值，可得所求角度 . 答案： (
23、 )连接 AE，由已知得 AE BC， AC AB， 在 Rt ABC 中，由已知可得 DE=DC， DEC= DCE， 连接 OE，则 OBE= OEB， 又 ACB+ ABC=90， DEC+ OEB=90， OED=90， DE 是 O 的切线 . ( )设 CE=1， AE=x， 由已知得 AB=2 3 ， BE= 212 x ， 由射影定理可得 AE2=CE BE， 2212xx，即 x4+x2-12=0，解方程可得 x= 3 ， ACB=60 . 23. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1： x=-2，圆 C2： (x-1)2+(y-2)2=1，以
24、坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . ( )求 C1， C2的极坐标方程； ( )若直线 C3的极坐标方程为 =4( R)，设 C2与 C3的交点为 M， N，求 C2MN 的面积 . 解析： ( )由条件根据 x= cos， y= sin求得 C1， C2的极坐标方程 . ( )把直线 C3的极坐标方程代入 2-3 2 +4=0，求得 1和 2的值，结合圆的半径可得C2M C2N，从而求得 C2MN 的面积 12 C2M C2N 的值 . 答案： ( )由于 x= cos， y= sin， C1： x=-2 的极坐标方程为 cos =-2， 故 C2： (x-1)2+(y-
25、2)2=1 的极坐标方程为： ( cos -1)2+( sin -2)2=1，化简可得 2-3 2 +4=0. ( )把直线 C3的极坐标方程 =4( R)代入 2-3 2 +4=0，求得 1=2 2 ， 2= 2 ， |MN|= 1- 2= 2 ，由于圆 C2的半径为 1， C2M C2N， C2MN 的面积为 12 C2M C2N=12. 24. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|， a0. ( )当 a=1 时，求不等式 f(x)1 的解集； ( )若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 . 解析： ( )当 a=1
26、时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求 . ( )化简函数 f(x)的解析式，求得它的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积；再根据 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，从而求得 a 的取值范围 . 答案： ( )当 a=1 时，不等式 f(x) 1，即 |x+1|-2|x-1| 1，即 ，或 ，或 . 解求得 x ，解求得 23 x 1，解求得 1 x 2. 综上可得，原不等式的解集为 (23， 2). ( )函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|= ， 由此求得 f(x)的图象与 x 轴的交点 A (213a， 0)， B(2a+1， 0)， 故 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点 C(a， a+1)，由 ABC 的面积大于 6， 可得 122a+1-213a (a+1) 6，求得 a 2. 故要求的 a 的范围为 (2， + ).
