1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I)数学理 一、 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设复数 z 满足 =i，则 |z|=( ) A.1 B.2 C.3 D.2 解析：复数 z 满足 =i， z=i， |z|=1. 故选： A 2. sin20 cos10 -con160 sin10 =y A.32B.32C.1D.12解析： 原式 =sin20 cos10 +cos20 sin10 =sin30 =12. 答案： D 3.设命题 P： nN，2n，则 P 为 ( ) A.n N，2nB. nN，2nC.n N，
2、2nD. nN，2=n解析：p:nN， 2 2nn . 答案： C 4.投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试 .己知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 解析：由题意可知：同学 3 次测试满足 X B(3， 0.6)， 该同学通过测试的概率为 23C(0.6)2 (1-0.6)+ 33C(0.6)3=0.648. 故选： A 5.已知 M(x0， y0)是双曲线 C：2 2 12x y上的一点， F1、 F2是 C 上的两个焦点，若1MF2 0，则 y0
3、的取值范围是 ( ) A.(- 33， 33) B.(- 36， 36) C.(-2 23， 2 23) D.(-2 33， 2 33) 解析：由题意，1MF2=( 3 -x0， -y0) (- 3 -x0， -y0)=x02-3+y02=3y02-1 0， 所以 - 33 y0 33. 故选： A 6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题 :“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问 :积及为米几何 ?”其意思为 :“在屋内墙角处堆放米 (如图，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各
4、为多少 ?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有 ( ) A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 解析：设圆锥的底面半径为 r，则 14 2 3r=8，解得 r=163， 故米堆的体积为 14 13 3 (163)2 5=3209， 1 斛米的体积约为 1.62 立方， 3209 1.62 22. 故选： B 7.设 D 为 ABC 所在平面内一点3BC CD，则 ( ) A.1433AD AB AC B.1433AB ACC.41AD D.AB AC解析：由已知得到如图， 由11 ()33AD AC C D AC BC AC AC
5、AB =1433AB AC. 故选： A 8.函数 f(x)=cos( x+ )的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为 ( ) A.(k -14， k +34， )， k z B.(2k -14， 2k +34)， k z C.(k-14， k+34)， k z D.(2k-14， 2k+34)， k z 解析： 由函数 f(x)=cos( x+ )的部分图象，可得函数的周期为 2=2(54-14)=2， =， f(x)=cos( x+ ). 再根据函数的图象以及五点法作图，可得4+ =2， k z，即 =4， f(x)=cos( x+4). 由 2k x+4 2k +，求得 2k-
6、14 x 2k+34，故 f(x)的单调递减区间为 (2k-14，2k+34)， k z. 故选： D 9.如图的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析： 执行第 1 次， t=0.01， S=1， n=0， m=12=0.5， S=S-m=0.5，2mm=0.25， n=1， S=0.5 t=0.01，是，循环， 执行第 2 次， S=S-m=0.25，2m=0.125， n=2， S=0.25 t=0.01，是，循环， 执行第 3 次， S=S-m=0.125，m=0.0625， n=3， S=0.125 t=0.01，是，循环， 执
7、行第 4 次， S=S-m=0.0625，2m=0.03125， n=4， S=0.0625 t=0.01，是，循环， 执行第 5 次， S=S-m=0.03125，m=0.015625， n=5， S=0.03125 t=0.01，是，循环， 执行第 6 次， S=S-m=0.015625，2m=0.0078125， n=6， S=0.015625 t=0.01，是，循环， 执行第 7 次， S=S-m=0.0078125，m=0.00390625， n=7， S=0.0078125 t=0.01，否，输出 n=7. 故选： C 10. 25()x x y的展开式中，52xy的系数为 ( )
8、 A.10 B.20 C.30 D.60 解析：在x x y的 5 个因式中， 2 个取因式中2x剩余的 3 个因式中 1 个取x， 其余因式取 y，故52xy的系数为2 1 25 3 2CCC=30. 故选 C. 11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 .若该几何体的表面积为 16+20，则 r=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析： 由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱， 其表面积为： 12 4 r2+12 r2+12 2r 2 r+2r 2r+12
9、r2=5 r2+4r2， 又该几何体的表面积为 16+20， 5 r2+4r2=16+20，解得 r=2. 故选： B 12.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中 a l，若存在唯一的整数 x0使得 f(x0) 0，则 a 的取值范围是 ( ) A.- 32e， 1) B.- 32e， 34) C. 32e， 34) D. 32e， 1) 解析： 设 g(x)=ex(2x-1)， y=ax-a， 由题意知存在唯一的整数 x0使得 g(x0)在直线 y=ax-a 的下方， g (x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1)， 当 x -12时， g (x) 0，当 x， -12
10、时， g (x) 0， 当 x=-12时， g(x)取最小值 122e ， 当 x=0 时， g(0)=-1，当 x=1 时， g(1)=3e 0， 直线 y=ax-a 恒过定点 (1， 0)且斜率为 a， 故 -a g(0)=-1 且 g(-1)=-3e-1 -a-a，解得 32e a 1. 故选： D 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 13.若函数 f(x)=xln(x+2ax)为偶函数，则 a= . 解析： f(x)=xln(x+2)为偶函数， f(-x)=f(x)， (-x)ln(-x+2)=xln(x+2)， -ln(-x+2)=ln(x+2)， ln(-x+2ax)+
11、ln(x+2)=0， ln(2+x)(2-x) 0， lna=0， a=1. 故答案为： 1 14.一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 . 解析： 设圆心为 (a， 0)，则半径为4| |a，则2 2 2(4 | |) | | 2aa ， 解得32a， 故圆的方程为223 25()24xy . 答案： 15.若 x， y 满足约束条件 10040xxyxy ， 则yx的最大值为 . 解析： 作出可行域如图中阴影部分所示， 由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率 ， 由图可知 ，点 A(1， 3)与原点连线的斜率最大 ， 故 的最大值为 3. 16.在
12、平面四边形 ABCD 中， A= B= C=75， BC=2，则 AB 的取值范围是 . 解析： 如图所示，延长 BA， CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D重合与 E点时， AB 最长， 在 BCE 中， B= C=75， E=30， BC=2， 由正弦定理可得sin sinBC BEEC， 即oo2sin 30 sin 75BE， 解得 BE=6+ 2，平移 AD ， 当 D 与 C 重合时 ， AB 最短， 此时与 AB 交于 F，在 BCF 中， B= BFC=75， FCB=30， 由正弦定理知，si n si nBF BCFCB BF C， 即2si 30 sin 75BF
13、， 解得 BF=62， 所以 AB 的取值范围为 (62，6+ 2). 答案： (，6+ 2) 三 .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. Sn为数列 an的前 n 项和 .已知 an 0， an2+a=4Sn+3. ( )求 an的通项公式 ； ( )设11n nnb aa，求数列 bn的前 n 项和 . 解析： ( )先用数列第 n 项与前 n 项和的关系求出数列 an的递推公式，可以判断数列 an是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列 an的通项公式； ( )根据 ( )数列 bn的通项公式，再用拆项消去法求其前 n 项和 . 答案： ( )当1时 ，21 1
14、 1 12 4 3 4 +3a a S a ，因为 an 0， 所以a=3， 当2n时 ，2211n n na a a a =14 3 4 3nnSS =4an， 即 1 1 1( ) ( ) 2( )n n n n n na a a a ， 因为 an 0， 所以1nnaa=2， 所以数列 an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以na=21n. ( )由 ( )知，nb=1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 3 ) 2 2 1 2 3n n n n ， 所以数列 bn前 n 项和为12 nb b b =1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 5 5 7 2 1 2
15、3nn =116 4 6n . 18.如图，四边形 ABCD 为菱形， ABC=120， E， F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE平面ABCD， DF平面 ABCD， BE=2DF， AE EC. (1)证明：平面 AEC平面 AFC； (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 . 解析： ( )连接 BD，设 BD AC=G，连接 EG、 EF、 FG，运用线面垂直的判定定理得到 EG平面 AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到； ( )以 G 为坐标原点，分别以 GB， GC 为 x 轴， y 轴， |GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，求得 A， E， F
16、， C 的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值 . 【解答】 ( )连接 BD，设 BD AC=G，连接 EG、 EF、 FG， 在菱形 ABCD 中，不妨设 BG=1， 由 ABC=120，可得 AG=GC= 3 ， BE平面 ABCD， AB=BC=1，可知 AE=EC，又 AE EC， 所以 EG= 3 ，且 EG AC， 在直角 EBG 中，可得 BE= 2 ，故 DF= 22， 在直角三角形 FDG 中，可得 FG= 62， 在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2， BE= 2 ， FD= 22，可得 EF=3 22， 从而 EG2+FG2=EF2，则 EG FG
17、， AC FG=G，可得 EG平面 AFC， 由 EG 平面 AEC，所以平面 AEC平面 AFC； ( )如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB， GC 为 x 轴， y 轴， |GB|为单位长度， 建立空间直角坐标系 G-xyz，由 ( )可得 A(0， - 3 ， 0)， E(1， 0， 2 )， F(-1， 0， - 22)，C(0， 3 ， 0)， 即有 AE=(1， 3 ， 2 )， CF=(-1， - 3 ， 22)， 故 cos AE ， CF = . 则有直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 33. 19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单
18、位：千元 )对年销售量 y(单位： t)和年利润 z(单位：千元 )的影响，对近 8年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i=1，2， ， 8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 . xyw21()n iixx21nii ww 1( )( )n iiix x y y1( )( )niw w y y46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 w1 =1x，118niiww.( )根据散点图判断， y=a+bx 与 y=c+dx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？ (给出判断即可，不必说明理由 ) ( )根据 ( )的判断结果
19、及 表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； ( )已知这种产品的年利率 z 与 x、 y 的关系为 z=0.2y-x.根据 ( )的结果回答下列问题： (i)年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii)年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据 (u1， v1)， (u2， v2) (un， vn)，其回归线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121( )( )=()niiiniiu u v vuu，=vu . 解析： ( )根据散点图，即可判断出 . ( )先建立中间量 w= x ，建立 y 关于 w 的线性回归方程，根据公式求出 w，
20、问题得以解决； ( )(i)年宣传费 x=49 时，代入到回归方程，计算即可， (ii)求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出 . 答案 ： ( )由散点图可以判断， y=c+d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型； ( )令 w= x ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于 =68， c y d w =563-68 6.8=100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y =100.6+68w， 因此 y 关于 x 的回归方程为 y =100.6+68 x ， ( )(i)由 ( )知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值 y =100.6+68
21、49 =576.6， 年利润 z 的预报值 z =576.6 0.2-49=66.32， (ii)根据 ( )的结果可知，年利润 z 的预报值 z =0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12， 当 x =13.62=6.8 时，年利润的预报值最大 . 20.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C： y=24x与直线 y=kx+a(a 0)交与 M， N 两点， ( )当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N处的切线方程； ( )y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有 OPM=OPN ？说明理由 . 解析： ( )先求出 M， N 的坐标 ， 再利用导数求
22、出 M， N. ( )先作出判定，再利用设而不求思想即将 y=kx+a 代入曲线 C 的方程整理成关于x的一元二次方程 ， 设出 M， N 的坐标和 P 点坐标 ， 利用设而不求思想 ， 将直线 PM， PN 的斜率之和用a 表示出来，利用 直线 PM， PN 的斜率为 0，即可求出 a， b 关系 ， 从而找出适合条件的 P 点坐标 . 答案： ( )由题设可得(2 , )a a，( 2 2, )Na， 或( 2 2, )Ma，, )N a. 12yx， 故24xy在x=22a处的到数值为a， C 在(2 , )aa处的切线方程为 ( 2 )y a a x a ， 即0x y a . 故24
23、xy在x=-a处的到数值为 -a， C 在( 2 2 , )aa处的切线方程为 ( 2 )y a a x a ， 即0ax y a . 故所求切线方程为 或0ax y a . ( )存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0， b)为复合题意得点，11( , )Mx y，22, )N y， 直线 PM， PN 的斜率分别为12,kk. 将y kx a代入 C 得方程整理得2 4 4 0x kx a . 1 2 1 24 , 4x x k x x a . 1212 y b y bkk xx =1 2 1 2122 )( )kx x a b x x =()k ba. 当 b=-a 时 ， 有12kk
24、=0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补， 故 OPM= OPN，所以 P(0， -a)符合题意 . 21.已知函数 f(x)=3 1 , ( ) ln4x ax g x x () 当 a 为何值时， x 轴为曲线 y=f(x) 的切线； ( )用 minm， n表示 m， n 中的最小值，设函数( ) m in ( ), ( ) ( 0)h x f x g x x，讨论h(x)零点的个数 . 解析： ( )先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的 a 值 ； ( )根据对数函数的图像与性质将 x 分为1, 1,0 1x x x 研究 h(x)的零点个数 ，
25、 若零点不容易求解 ， 则对a再分类讨论 . 答案： ( )设曲线 y= f(x)与 轴相切于点0( ,0)x， 则0( ) 0fx，0( ) 0 ，即300201 0430x axxa ， 解得0 13,24. 因此，当34时 ，x轴是曲线 y= f(x)的切线 . ( )当(1, ) 时 ，) ln 0g x x ， 从而( ) m in ( ) , ( ) ( ) 0h x f x g x g x ， h(x)在 (1， + )无零点 . 当 =1 时，若54a， 则5(1) 04fa ，(1 ) m in (1 ), (1 ) (1 ) 0h f g g ，故 x=1是 h(x)的零点
26、 ； 若54a， 则5) 04 ，(1 ) in (1 ), (1 ) (1 ) 0h f g f ，故 x=1 不是 h(x)的零点 . 当(0,1)x时 ，( ) ln 0g x ， 所以只需考虑 f(x)在 (0， 1)的零点个数 . ( )若3a或， 则2( ) 3x x a 在 (0， 1)无零点，故 f(x)在 (0， 1)单调，而1(0) 4f ，5(1 4， 所以当3a时 ， f(x)在 (0， 1)有一个零点；当a0 时， f(x)在 (0， 1)无零点 . ( )若30a ，则 f(x)在 (0，3a)单调递减，在 (a， 1)单调递增，故当x=3a时， f(x)取的最小值
27、，最小值为()3af =213 3 4aa. 若3af 0，即34 a 0， f(x)在 (0， 1)无零点 . 若3af=0，即4a， 则 f(x)在 (0， 1)有唯一零点； 若3af 0，即33 4a ， 由于1(0) 4f ，5(1) 4fa， 所以当5344a 时 ， f(x)在 (0， 1)有两个零点；当53 4a 时 ， f(x)在 (0， 1)有一个零点 . 综上，当34a或54a时 ， h(x)由一个零点； 当或 时 ， h(x)有两个零点； 当5344a 时 ， h(x)有三个零点 . 22.选修 4-1：几何证明选讲 如图， AB 是 O 的直径， AC 是 O 的切线，
28、 BC 交 O 于 E. ( )若 D 为 AC 的中点，证明： DE 是 O 的切线； ( )若3OA CE，求 ACB 的大小 . 解析： ( )连接 AE 和 OE，由三角形和圆的知识易得 OED=90，可得 DE 是 O 的切线； ( )设 CE=1， AE=x，由射影定理可得关于 x 的方程 2212xx，解方程可得 x 值，可得所求角度 . 答案： ( )连接 AE，由已知得 AE BC， AC AB， 在 Rt ABC 中，由已知可得 DE=DC， DEC= DCE， 连接 OE，则 OBE= OEB， 又 ACB+ ABC=90， DEC+ OEB=90， OED=90， DE
29、 是 O 的切线 . ( )设 CE=1， AE=x， 由已知得 AB=2 3 ， BE= 212 x ， 由射影定理可得 AE2=CE BE， 2212xx，即 x4+x2-12=0，解方程可得 x= 3 ， ACB=60 . 23. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1： x=-2，圆 C2： (x-1)2+(y-2)2=1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . ( )求 C1， C2的极坐标方程； ( )若直线 C3的极坐标方程为 =4( R)，设 C2与 C3的交点为 M， N，求 C2MN 的面积 . 解析： ( )由条件根据 x=
30、 cos， y= sin求得 C1， C2的极坐标方程 . ( )把直线 C3的极坐标方程代入 2-3 2 +4=0，求得 1和 2的值，结合圆的半径可得C2M C2N，从而求得 C2MN 的面积 12 C2M C2N 的值 . 答案： ( )由于 x= cos， y= sin， C1： x=-2 的极坐标方程为 cos =-2， 故 C2： (x-1)2+(y-2)2=1 的极坐标方程为： ( cos -1)2+( sin -2)2=1，化简可得 2-3 2 +4=0. ( )把直线 C3的极坐标方程 =4( R)代入 2-3 2 +4=0，求得 1=2 2 ， 2= 2 ， |MN|= 1
31、- 2= 2 ，由于圆 C2的半径为 1， C2M C2N， C2MN 的面积为 12 C2M C2N=12. 24. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|， a0. ( )当 a=1 时，求不等式 f(x)1 的解集； ( )若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 . 解析： ( )当 a=1 时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求 . ( )化简函数 f(x)的解析式，求得它的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得 f(x)的图象与 x 轴围成的
32、三角形面积；再根据 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，从而求得 a 的取值范围 . 答案： ( )当 a=1 时，不等式 f(x) 1，即 |x+1|-2|x-1| 1，即 ，或 ，或 . 解求得 x ，解求得 23 x 1，解求得 1 x 2. 综上可得，原不等式的解集为 (23， 2). ( )函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|= ， 由此求得 f(x)的图象与 x 轴的交点 A (213a， 0)， B(2a+1， 0)， 故 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点 C(a， a+1)，由 ABC 的面积大于 6， 可得 122a+1-213a (a+1) 6，求得 a 2. 故要求的 a 的范围为 (2， + ).
