1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 一、 填空题 ： 本大题共 14 个小题 ,每小题 5 分 ,共 70 分 . 1.已知集合 3,2,1A， 5,4B，则集合BA中元素的个数为 _. 【答案】 5 解析 ：1 2 3 2 4 5 1 2 3 4 5 5AB ， ， ， ， ， ， ， ， ， 个 元 素2.已知一组数据 4， 6， 5， 8， 7， 6，那么这组数据的平均数为 _. 【答案】 6 解析： 3.设复数 z 满足2 34zi（ i 是虚数单位），则 z 的模为 _. 【答案】5解析 ：22| | | 3 4 | 5 | | 5 | | 5z i z z 4
2、.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 _. 【答案】 7 解析 ：第一次循环：3, 4SI;第二次循环：5, 7;第三次循环：7, 10SI;结束循环，输出7.S5.袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球， 1 只红球， 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 _. 【答案】5.6解析：从 4 只球中一次随机摸出 2 只，共有 6 种摸法，其中两只球颜色不同的共有 5 种，所以其概率为5.66.已知向量 a=)1,2(， b=)2,(, 若 ma+nb=)8,9( (Rnm ,), n的值为 _. 【答案】3解析 ：由题意得：2 9 ,
3、2 8 2 , 5 , 3.m n m n m n m n 7.不等式224xx 的解集为 _. 【答案】(1,2).解析 ：由题意得：2 2 1 2x x x ，解集为(1,2).8.已知tan 2， 1tan 7，则tan的值为 _. 【答案】 3 解析 ：1 2ta n( ) ta n 7ta n ta n( ) 3.21 ta n( ) ta n 17 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个 .若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 【答案】7解析 ：由体积相等得：2 2 2
4、2114 5 + 2 8= 4 8 733 r r r 10.在平面直角坐标系xOy中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012 Rmmymx 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】22( 1) 2.xy 解析：11.数列na满足11，且11 naa nn（*Nn），则数列1na的前 10 项和为 【答案】2011解析 ：由题意得：1 1 2 2 1 1 ( 1 )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2n n n n n nna a a a a a a n n 所以101 1 1 1 2 202( ) , 2( 1 ) ,1 1 1 11nnnSSa n n n n 12.在平面直角
5、坐标系xOy中， P为双曲线122 yx右支上的一个动点 .若点 P到直线 01yx的距离大于 c 恒成立，则是实数 c 的最大值为 【答案】22解析 ：设( , ),( 1)P x y x，因为直线10xy 平行于渐近线0，所以 c 的最大值为直线10xy 与渐近线0之间距离，为12.2213.已知函数|ln|)( xxf，1,2|4|10,0)(2 xxxxg，则方程1|)()(| xgxf实根的个数为 【答案】 4 解析：14.设向量)12,2,1,0)(6cos6sin,6(cos kkkka k ，则1110()kkk aa 的值为 【答案】93解析 ：2011 1 ( 1 ) (
6、1 ) ( 1 )( c os , sin c os ) ( c os , sin c os )6 6 6 6 6 6k k k k k kaa 2 ( 1 ) 3 3 2 1 ( 2 1 )c os sin c os c os sin c os6 6 6 6 4 6 2 6k k k k k 因此111033 12 9 34kkk aa 考点：向量数量积，三角函数性质 二、解答题 （ 本大题共 6 小题，共 90 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 15.（本小题满分 14 分） 在ABC中，已知60,3,2 AACAB. （ 1）求BC的长； （ 2）求C2sin的值 .
7、【答案】 （ 1）7（ 2）437解析：（ 1） （ 2） 答案：（ 1） b （ 2） 考点：余弦定理，二倍角公式 16. 如图，在直三棱柱 111CBAABC中，已知BCAC， 1CCBC，设 1AB的中点为D，ECB 11 .求证： （ 1）CCAADE 11/ 平面； （ 2） 11ABBC. 解析 ：（ 1）由三棱锥性质知侧面11BBCC为平行四边形 ,因此点 E为1BC的中点，从而由三角形中位线性质得/DE AC，再由线面平行判定定理得CCAADE 11/ 平面（ 2）因为直三棱柱 111CBAABC中 1CCBC，所以侧面BBCC为正方形，因此11B BC，又BCAC， 1AC
8、CC（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得11A BB C C 平 面,从而 1BC，再由线面垂直判定定理得BC A C平 面,进而可得 1ABBC答案：（ 1） （ 2） 考点：线面平行判定定理，线面垂直判定 定理 17.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12ll，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示， M， N 为 C 的两个端点，测得点 M 到，的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到12ll，的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以，所在的直线分别为
9、x， y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符 合函数2ay xb （其中 a， b 为常数）模型 . （ 1）求 a， b 的值； （ 2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t. 请写出公路 l 长度的函数解析式ft，并写出其定义域； 当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度 . 【答案】（ 1）1000, 0;ab（ 2）6 249 10 9( ) ,4f t tt定义域为5,20， m in10 2 , ( ) 15 3t f t千米 解析：（ 1） （ 2） 答案：（ 1） （ 2） 由（ 1）知，21000y x（5 20），则点 的坐
10、标为21000,tt， 设在点 处的切线l交x，y轴分别于 ， 点，32000y x， 考点：利用导数求函数最值，导数几何意义 18. 如图，在平面直角坐标 系 xOy 中，已知椭圆 2222 10xy abab 的离心率为22，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）过 F 的直线与椭圆交于 A， B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程 . 【答案】（ 1）2 2 12x y（ 2）1yx或1 解析：（ 1） （ 2） 答案：（ 1） （ 2）当x轴时，2，又C3，不合题意 当
11、与x轴不垂直时，设直线 的方程为 1y k x， 11,xy， 22,， 将 的方程代入椭圆方程，得 2 2 2 21 2 4 2 1 0k x k x k ， 则 221,2 22 2 112kkxk，C的坐标为2222 ,2 1 2kk，且 22 2 222 1 2 1 2 1 22 2 11 12 kx x y y k x x k 若0k，则线段 的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意 从而0k，故直线C的方程为222121 2 1 2kkyxk k k ， 则 点的坐标为 22522,12kkk，从而 22 3 1 1C12kk 因为C2 ，所以 2 2 2222 3 1 1 4
12、2 11212k k kkkk ，解得1k 此时直线 方程为yx或1 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 19.已知函数),()( 23 Rbabaxxxf . （ 1）试讨论)(xf的单调性； （ 2）若acb （实数 c 是 a 与无关的常数），当函数)(xf有三个不同的零点时， a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,( ，求 c 的值 . 【答案】（ 1）当0a时， fx在 ,上单调递增； 当0a时， 在2,3a， 0,上单调递增，在2 ,03a上单调递减； 当0a时， 在 ,0，2 ,3a 上单调递增，在20,3a上单调 递减 （ 2）1.c解析：（ 1） （ 2）答案：（
13、1） （ 2） 考点：利用 导数求函数单调性、极值、函数零点 20.设1 2 3 4, , ,a a a a是各项为正数且公差为 d( 0)d的等差数列 （ 1）证明：31 2 42 ,2 ,2 ,2aa a a依次成等比数列； （ 2）是否存在1,ad，使得2 3 41 2 3 4, , ,a a a a依次成等比数列，并说明理由； （ 3）是否存在1,及正整数,nk，使得knknknn aaaa 342321 , 依次成等比数列，并说明理由 . 解析：（ 1） （ 2）本题 （ 3） 答案：（ 1） （ 2）令1a d a，则a，2，3，4a分别为ad，a，2（，2，0d） 假设存在1a，
14、d，使得1a，2，3a，4依次构成等比数列， 则 34 a d a d ，且 642 2a d a a d 令dt a，则 31 1tt ，且 641 1 2 （1 12 t ，0t）， 化简得322 2 0tt （ ），且2 1将2 1tt代入（ ）式， 21 2 1 2 3 1 3 4 1 0t t t t t t t t ，则14t 显然14t不是上面方程得解，矛盾，所 以假设不成立， 因此不存在1a，d，使得1a，22，33a，44依次构成等比数列 （ 3）假设存在1， 及正整数n，k，使得1na，2nk，23a，34依次构成等比数列， 则 221 1 12 n k n kna a d
15、 a d ，且 3 2 21 1 132n k k n ka d a d a d 分别在两个等式的两边同除以21nka 及 221a ，并令1dta（13t，0t）， 则 222 1n k n ktt ，且 3 2 21 1 3 1 2n k n k n kt t t 将上述两个等式两边取对数，得 2 ln 1 2 2 ln 1n k t n k t ， 且 l n 1 3 l n 1 3 2 2 l n 1 2k t n k t n k t 化简得 2 l n 1 2 l n 1 2 l n 1 l n 1 2k t t n t t ， 且 3 l n 1 3 l n 1 3 l n 1 l
16、 n 1 3k t t n t t 再将这两式相除，化简得 l n 1 3 l n 1 2 3 l n 1 2 l n 1 4 l n 1 3 l n 1t t t t t t （ ） 令 4 l n 1 3 l n 1 l n 1 3 l n 1 2 3 l n 1 2 l n 1g t t t t t t t ， 则 2 2 22 1 3 l n 1 3 3 1 2 l n 1 2 3 1 l n 11 1 2 1 3t t t t t tgtt t t 令 2 2 21 3 l n 1 3 3 1 2 l n 1 2 3 1 l n 1t t t t t t t ， 则 6 1 3 l
17、n 1 3 2 1 2 l n 1 2 1 l n 1t t t t t t t 令 1 tt，则 1 6 3 l n 1 3 4 l n 1 2 l n 1t t t t 令 21，则 2 12 01 1 2 1t t t t 由 120 0 0 0 0g ， 2 t ， 知2 t，1，gt在1,03和0,上均单调 故gt只有唯一零点0t，即方程（ ）只有唯一解0t，故假设不成立 所以不存在1a，d及正整数n，k，使得1na，2nk，23a，34依次构成等比数列 考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程 附加题 21.A（选修 41：几何证明选讲） 如图，在ABC中，ACAB，ABC的外
18、接圆圆 O 的弦 AE交BC于点 D 求证： ABD AEB 解析：答案： 、 考点：三角形相似 21.B（选修 4 2：矩阵与变换） 已知Ryx ,，向量 11是矩阵 01yxA的属性特征值 2的一个特征向量，矩阵A以及它的另一个特征值 . 【答案】1120,另一个特征值为 1 解析 ：由矩阵特征值与特征向量可列出关于 x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值 试题解析：由已知，得2 ，即1 1 1 20 1 2xxyy ， 则122xy ，即12x，所以矩阵1120 从而矩阵 的特征多项式 21f ，所以矩阵 的另一个特征值为 1 考点：矩阵运算，特征值与 特征向量 21.C
19、（选修 44：坐标系与参数方程） 已知圆 C 的极坐标方程为2 2 2 si n( ) 4 04 ，求圆 C 的半径 . 【答案】6解析：答案：考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化 21.D（选修 45：不等式选讲） 解不等式| 2 3| 3xx 【答案】153x x x 或解析 ：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可 试题解析：原不等式可化为3232xx 或323 3 2x 解得5x或13x 综上，原不等式的解集是153x x 或 考点：含绝对值不等式的解法 22. 如图，在四棱锥P ABCD中，已知 PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形， 2AB C B
20、A D ,2 , 1AD AB BC （ 1）求平面 PAB与平面PCD所成二面角的余弦值； （ 2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 【答案】 （ 1）33（ 2）255解析：（ 1）（ 2）答案：（ 1） （ 2） 考点：空间向量、二面角、异面直线所成角 23. 已知集合 3,2,1X， )(,3,2,1 *NnnY n ， ,),( abbabaS n 整除或整除 nYbXa ,，令()fn表示集合nS所含元素的个数 . （ 1）写出(6)f的值； （ 2）当6n时，写出 的表达式，并用数学归纳法证明 . 【答案】 （ 1） 13（ 2） 2 , 623112 , 6 12322 , 6 22312 , 6 32312 , 6 423122 , 6 523nnn n tnnn n tnnn n tfnnnn n tnnn n tnnn n t 解析：（ 1）（ 2）答案：（ 1） （ 2） 下面用数学归纳法证明： 当6n时， 666 6 2 1323f ，结论成立； 假设nk（6k）时结论成立，那么1nk时，1kS在 的基础上新增加的元素在 1,k， 考点：计数原理、数学归纳法
