1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学文 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 解析： 由题意得， ，所以 ，故选 A. 答案： A 2.某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积是（ ） A. B.12 C. D. 2 23x x x Q 2 4xx Q 3,4 2,3 1,2 1,3 | 3 1P x x x 或 3, 4)PQcm8 3cm3cm323 3cm403 3cm 解析： 由 三 视图可如，该几何体是一个 棱 长
2、为 2 的正方体与一个底面边长为 2， 高 为 2 的正四 棱 锥的组 合体 ，故其体积为 V=3 2 31 2 22 2 233cm .故选 C. 答案： C 3.设 a， b 是实数，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：本题采用特殊值法，当 a=3， b=-1 时， a-b 0，但 ab 0，故是不充分条件；当 a=-3，b=-1 时， ab 0，但 a-b 0，故是不必要条件 .所以“ a-b 0”是“ ab 0”的既不充分也不必要条件 .故选 D. 答案： D 4.设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同
3、的直线，且 ， （ ） A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 解析： 采用排除法，选项 A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项 B 中，当 时，可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项 C 中， 时， 可以相交；选项 D中， 时， 也可以异面 .故选 A. 答案： A 5.函数 （ 且 ）的图象可能为（ ） 0ab 0ab l m l m l lm/l / /lm,lm /l ,/ ,lm 1 c o sf x x xx x 0x A. B. C. D. 解析： 因为 ，故函数是奇函数，所以排除A, B；取 ，则 ，故选 D. 答案： D 6.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要
4、求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同 .已知三个房间的粉刷面积（单位： ）分别为 ， ， ，且 ，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元 / ）分别为 ， ， ，且 .在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ） A. B. C. D. 解析：由 x y z， a b c，所以 ax+by+cz-（ az+by+cx） =a（ x-z） +c（ z-x） =（ x-z）（ a-c）11( ) ( ) c o s ( ) c o s ( )f x x x x x f xxx x 11( ) ( ) c o s ( ) 0f 2m x y z x y z2m a b c abcax by
5、 czaz by cxay bz cxay bx cz 0，故 ax+by+cz az+by+cx；同理， ay+bz+cx-（ ay+bx+cz） =b（ z-x） +c（ x-z） =（ x-z）（ c-b） 0，故 ay+bz+cx ay+bx+cz.因为 az+by+cx-（ ay+bz+cx） =a（ z-y） +b（ y-z） =（ a-b）（ z-y） 0，故 az+bx+cx ay+bz+cx.故最低费用为 az+by+cx.故选 B. 答案： B 7.如图，斜线段 与平面 所成的角为 ， 为斜足，平面 上的动点 满足，则点 的轨迹是（ ） A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.
6、双曲线的一支 解析： 由题可知，当 P 点运动时，在空间中，满足条件的 AP 绕 AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆 .故选 C. 答案： C 8.设实数 ， ， 满足 （ ） A.若 确定，则 唯一确定 B.若 确定，则 唯一确定 C.若 确定，则 唯一确定 D.若 确定，则 唯一确定 解析： 因为 ，所以 ，所以 ，故当 确定时， 确定，所以 唯一确定 .故选 B. 答案： B 60 30 60a b t 1 sina b t t 2bt 2 2aat sin2bt 2aa1 sina b t 2 2 2( 1) s ina b t 2221a a t
7、 t2 1t 2 2aa 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6分，单空题每题 4 分，共 36分 .） 9.计算： ， . 解析： 答案： 10.已知 是等差数列，公差 不为零 .若 ， ， 成等比数列，且 ，则 ， . 解析： 由题可得， ，故有 ，又因为 ，即 ，所以 . 答案： 11.函数 的最小正周期是 ，最小值是 . 解析： ，所以 ； . 答案： 12.已知函数 ，则 ， 的最小值是 . 解析： ，所以 .当 x 1 时， ；当 x22log 2 24log 3 log 32 1,3 32na d 2a 3a 7a 1221aa1a d21 1 1( 2 ) ( ) (
8、6 )a d a d a d 13 2 0ad 1221aa131ad 1 21, 3da 2,13 2s i n s i n c o s 1f x x x x 2 1 1 c o s 2 1 1 3s i n s i n c o s 1 s i n 2 1 s i n 2 c o s 22 2 2 2 2xf x x x x x x x 23s in ( 2 )2 4 2x 22T m in32() 22fx 32, 2 2 ,16 6 , 1xxfx xxx 2ff fx 1 时， ，当 6xx， 6x 时取到等号 .因为 2 6 -6 1，所以函数的最小值为 2 6 -6. 答案： 13
9、.已知 ， 是平面单位向量，且 .若平面向量 满足 ，则. 解析： 由题可知，不妨 ， ，设 ，则 ，所以 ，所以 . 答案： 14.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是 . 解析： 试题分析： 由图可知当 时，满足的是如图的 劣弧，则 在点 处取得最大值 5；当 时，满足的是如图的 优弧，则 与该优弧相切时取得最大值，故 ，所以 ，故该目标函数的最大值为 . 答案： 15 1 ; 2 6 621e 2e 1212ee b 121b e b e b1 (1,0)e 2 13( , )22e ( , )b x y 1 1b e x 213 122b e x y 3(1, )3b 1 2 3133
10、b 233x y 221xy 2 4 6 3x y x y 2 2 , 2 22 4 6 31 0 3 4 , 2 2x y y xz x y x yx y y x 22yx AB 22z x y (1,0)A22yx AB 10 3 4z x y 10 15zd 15z 15 15.椭圆 （ ）的右焦点 关于直线 的对称点 在椭圆上，则椭圆的离心率是 . 解析：设 F(c， 0)关于直线 的对称点为 Q（ m， n），则有 ，解得，所以 在椭圆上，即有，解得 222ac ，所以离心率 22ce a. 答案： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步
11、骤 .） 16. （本题满分 14 分）在 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 .已知. （ 1）求 的值； （ 2）若 ，求 的面积 . 解析：（ 1）利用两角和与差的正切公式，得到 tanA=13，利用同角三角函数关系式得到结论； （ 2）利用正弦定理得到边 b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积 . 答案：（ 1）由 ，得 tanA=13， 所以 （ 2）由 tanA=13，可得， 221xyab0ab F ,0c byxc Q22ABC ,abctan( A ) 24 2sin 2sin 2 cosAAA+B , 34 a ABC a=3， B= 4，由正
12、弦定理知： b= 35. 由 ， 所以 . 17. （本题满分 15 分）已知数列 和 满足， . （ 1）求 与 ; （ 2）记数列 的前 n 项和为 ，求 . 解析： (1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式； (2)根据 (1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和 . 答案 ：（ 1） 18. （本题满分 15 分 ） 如 图 ， 在 三 棱 锥 中，在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 为 的中点 . na nb *1 1 12 , 1 , 2 ( n N ) ,nna b a a *1 2 3 11 1 1 1 ( n N )23 nnb
13、b b b bn na nb nnab nT nT1 1 1ABC A B C-11BC (1)证明 : ； (2)求直线 和平面 所成的角的正弦值 . 解析： （ 1）利用线面垂直 的定义得到线线垂 直 ， 根 据线面垂 直 的判定证明 直 线与平面垂 直； （ 2） 通过添加辅助线，证明1AF 平面11BBCC，以此找到 直 线与平面所成角的平面角 1ABF，在 直 角三角形1ABF中通过确定边长 ， 计 算1ABF的正弦值 . 答案 ： （ 1 ）设 E 为 BC 中点 .由 题 意得1AE 平面 ABC， 所以1AE AE. 因为 AB=AC ，所以 AE BC. 所以 AE 平面1A
14、BC. 由1DE分别为11BC， BC 的中点，得 DE/1BB，从而 DE /1AA,且 DE=1AA， 所以1AADE是平行四边形， 所以1AD/AE. 因为 AE 平面1ABC， 所以1AD 平面1ABC. (2)作 ，垂足为 F，连结 BF. 因为 平面 ，所以 . 因为 ，所以 平面 . 11D A B CA 平 面1AB 11BC1A F DEAE 1ABC 1BC AEBC AE BC 1AADE 所以 平面 . 所以 为直线 与平面 所成角的平面角 . 由 ，得 . 由 平面 ，得 . 由 ，得 . 所以 19. （本题满分 15 分）如图，已知抛物线 ，圆 ，过点作不过原点
15、O 的直线 PA， PB 分别与抛物线 和圆 相切， A， B 为切点 . (1)求点 A， B 的坐标； (2)求 的面积 . 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点 . 解析： ( 1）设定 直 线 PA 的方程，通过联立方程 ， 判别式为零，得到点 A 的坐标 ；根据圆的性质，利用 点关于 直 线对称，得到点 B 的坐标 ； （ 2）利 用两点求距离及点到 直 线的距离公式， 得 到三角形的 底 边长与底边上的 高 ，由此计算 三角形的面积 答案：（ 1）由题意 可知， 直 线 PA 的斜率存在，故可设 直 线 PA 的方程为
16、 y=k（ x-t） . 所以 ， 消去 y ，整理得： . 因为直线 PA 与抛物线相切，所以 ，解得 . 所以 ，即点 . 11,B C A F A F11BBCC1ABF 1AB 11BBCC2 , 9 0A B A C C A B 2EA EBAE 1ABC 1 1 14 , 1 4A A A B A E 1 1 14 , 2 , 9 0D E B B D A E A D A E 1 72AF17sin 8A B F21 1C 4 x： y= 222C (y 1) 1x + - =：P(t,0)(t0) 1C 2CPAB21 6 1 6 0k kt kt2xt 2(2 , )A t t
17、 设圆 的圆心为 ，点 的坐标为 ，由题意知，点 B,O 关于直线 PD 对称，故有 ， 解得 .即点 . (2)由 (1)知， ， 直线 AP 的方程为 ， 所以点 B 到直线 PA 的距离为 . 所以 的面积为 . 20. （本题满分 15 分）设函数 . (1)当 时，求函数 在 上的最小值 的表达式； (2)已知函数 在 上存在零点， ，求 b 的取值范围 . 解析：（ 1） 将函数进行配方， 利 用对称轴与给定区间的位 置 关系，通过分类讨论确定 函数在给定 上的 最小 值 ，并用分段函数的形式进行 表 示 ； （ 2）设定函 数 的零点， 根 据条件表示两个零点 之间 的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数 b 的取值 情 况，利用并集原理得到参数 b 的取值 范围 . 答案 ：（ 1） 2C (0,1)D B 00( , )xy00001220yxtx t y 2002222,11ttxy 22222( , )11ttB 21AP t t2 0tx y t 221tdt PAB 3122tS A P d 2( ) , ( , )f x x a x b a b R 2 14ab =+ ()fx 1,1- ()ga()fx 1,1- 0 2 1ba
