1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 湖北卷 ） 数学文 一、选择题：本大题 10 小题，每小题 3分，共 50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. i 为虚数单位， i607=( ) A. -i B. i C. 1 D. -1 解 析 ： i607=i606i=(i 2)303i=( -1)303i= -i. 故选： B. 2.我国古代数学名著九章算术有 “ 米谷粒分 ” 题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 ( ) A. 134 石 B. 169 石 C. 338 石
2、 D. 1365 石 解 析 ： 由题意，这批米内夹谷约为 石， 故选： B. 3.命题 “ x0 (0， +) ， lnx0=x0-1” 的否定是 ( ) A. x0 (0， +) ， lnx0x 0-1 B. x0 (0， +) ， lnx0=x0-1 C. x (0， +) ， lnxx -1 D. x (0， +) ， lnx=x-1 解 析 ： 命题的否定是： x (0， +) ， lnxx -1， 故选： C 4.已知变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1x+1，变量 y 与 z 正相关，下列结论中正确的是 ( ) A. x 与 y 负相关， x 与 z 负相关 B. x 与 y
3、 正相关， x 与 z 正相关 C. x 与 y 正相关， x 与 z 负相关 D. x 与 y 负相关， x 与 z 正相关 解 析 ： 因为变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1x+1，一次项系数为 -0.1 0，所以 x 与 y 负相关； 变量 y 与 z 正相关，设， y=kz， (k 0)，所以 kz=-0.1x+1，得到 ，一次项系数小于 0，所以 z 与 x 负相关； 故选： A. 5. l1， l2表示空间中的两条直线，若 p： l1， l2是异面直线， q： l1， l2不相交，则 ( ) A. p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B. p 是 q 的必要条件，
4、但不是 q 的充分条件 C. p 是 q 的充分必要条件 D. p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 解 析 ： 若 l1， l2是异面直线，则 l1， l2不相交，即充分性成立， 若 l1， l2不相交，则 l1， l2可能是平行或异面直线，即必要性不成立， 故 p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件， 故选： A. 6.函数 的定义域为 ( ) A. (2， 3) B. (2， 4 C. (2， 3)(3 ， 4 D. (-1， 3)(3 ， 6 解 析 ： 要使函数有意义，则 ， 即 ， ， 解得 2 x4 且 x3 ， 即函数的定义域为 (2， 3)(3 ， 4，
5、 故选： C 7.设 x R，定义符号函数 sgnx= ，则 ( ) A. |x|=x|sgnx| B. |x|=xsgn|x| C. |x|=|x|sgnx D. |x|=xsgnx 解 析 ： 对于选项 A，右边 =x|sgnx|= ，而左边 =|x|= ，显然不正确； 对于选项 B，右边 =xsgn|x|= ，而左边 =|x|= ，显然不正确； 对于选项 C，右边 =|x|sgnx= ，而左边 =|x|= ，显然不正确； 对于选项 D，右边 =xsgnx= ，而左边 =|x|= ，显然正确； 故选： D. 8.在区间 0， 1上随机取两个数 x， y，记 p1为事件 “x+y ” 的概率
6、， P2为事件 “xy ”的概率，则 ( ) A. p1 p2 B. C. p2 D. 解 析 ： 由题意，事件 “x+y ” 表示的区域如图阴影三角形， ； 满足事件 “xy ” 的区域如图阴影部分 所以 p2= ； 所以 ； 故选： B. 9.将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a和虚半轴长 b(ab) 同时增加 m(m 0)个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2，则 ( ) A. 对任意的 a， b， e1 e2 B. 当 a b 时， e1 e2；当 a b 时， e1 e2 C. 对任意的 a， b， e1 e2 D. 当 a b 时， e1 e2；当 a b 时， e1
7、 e2 解 析 ： 由题意，双曲线 C1： c2=a2+b2， e1= ； 双曲线 C2： c 2=(a+m)2+(b+m)2， e2= ， ， 当 a b 时， e1 e2；当 a b 时， e1 e2， 故选： D. 10.已知集合 A=(x， y)|x2+y21 ， x， y Z， B=(x， y)|x|2 ， |y|2 ， x， y Z，定义集合 AB=(x 1+x2， y1+y2)|(x1， y1) A， (x2， y2) B，则 AB 中元素的个数为 ( ) A. 77 B. 49 C. 45 D. 30 解 析 ： A=(x ， y)|x2+y21 ， x， y Z=(0， 0)
8、， (0， 1)， (0， -1)， (1， 0)， (-1， 0)， B=(x， y)|x|2 ， |y|2 ， x， y Z=(0， 0)， (0， 1)， (0， 2)， (0， -1)， (0， -2)， (1，0)， (1， 1)， (1， 2)(1， -1)， (1， -2)(2， 0)， (2， 1)， (2， 2)(2， -1)， (2， -2)， (-1，-2)， (-1， -1)， (-1， 0)， (-1， 1)， (-1， 2)， (-2， -2)， (-2， -1)， (-2， 0)， (-2， 1)，(-2， 2) AB=(x 1+x2， y1+y2)|(x1， y
9、1) A， (x2， y2) B， AB=(0 ， 0)， (0， 1)， (0， 2)， (0， -1)， (0， -2)， (1， 0)， (1， 1)， (1， 2)(1， -1)，(1， -2)(2， 0)， (2， 1)， (2， 2)(2， -1)， (2， -2)， (-1， -2)， (-1， -1)， (-1， 0)， (-1，1)， (-1， 2)， (-2， -2)， (-2， -1)， (-2， 0)， (-2， 1)， (-2， 2)， (-2， 4)， (-2， -3)，(-2， -4)， (-1， -5)， (0， -4)， (0， -3)， (1， -4)， (
10、1， -3)， (2， -4)， (2， -3)， (-2，3)， (-1， 3)， (-1， -4)， (-1， -3)， (1， 3)， (2， 3)(1， 4)， (0， 3)， (0， 4)(2， 4)共45 个元素 故选： C. 二、填空题 11.已知向量 ， ，则 =_. 解 析 ： 因为向量 ，所以 =0； 又 ， 所以 ，即 故答案为： 9. 12.设变量 x， y 满足约束条件 ，则 3x+y 的最大值为 _. 解 析 ： 作出不等式对应的平面区域如图， 由 z=3x+y，得 y=-3x+z， 平移直线 y=-3x+z，由图象可知当直线 y=-3x+z，经过点 C 时，直线
11、y=-3x+z 的截距最大， 此时 z 最大 . 由 得 .即 C(3， 1)， 此时 z 的最大值为 z=33+1=10 ， 故答案为： 10. 13.函数 的零点个数为 _. 解 析 ： f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2， 由 f(x)=0 得 sin2x=x2， 作出函数 y=sin2x 和 y=x2的图象如图： 由图象可知，两个函数的图象有 2 个不同的交点， 即函数 f(x)的零点个数为 2 个， 故答案为： 2 14.某电子商务公司对 10000名网络购物者 2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 (单位：万元 )都在区间 0.3， 0.9内，其频率分布直
12、方图如图所示 . (1)直方图中的 a=_. (2)在这些购物者中，消费金额在区间 0.5， 0.9内的购物者的人数为 _. 解 析 ： (1)由题意，根据直方图的性质得 (1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)0.1=1 ，解得 a=3 (2)由直方图得 (3+2.0+0.8+0.2)0.110000=6000 故答案为： (1)3 (2)6000 15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度 CD=_m. 解 析 ： 设此山
13、高 h(m)，在 BCD 中，利用仰角的正切表示出 BC，进而在 ABC 中利用正弦定理求得 h. 答案 ： 设此山高 h(m)，则 BC= h， 在 ABC 中， BAC=30 ， CBA=105 ， BCA=45 ， AB=600. 根据正弦定理得 ， 解得 h=100 (m) 16.如图，已知圆 C与 x 轴相切于点 T(1， 0)，与 y 轴正半轴交于两点 A， B(B在 A 的上方 )，且 |AB|=2. (1)圆 C 的标准方程为 _. (2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为 _. 解 析 ： (1)确定圆心与半径，即可求出圆 C 的标准方程； (2)求出圆 C 在点
14、B 处切线方程，令 y=0 可得圆 C在点 B处切线在 x轴上的截距 . 答案 ： (1)由题意，圆的半径为 = ，圆心坐标为 (1， )， 圆 C 的标准方程为 (x-1)2+(y- )2=2； (2)由 (1)知， B(0， 1+ )， 圆 C 在点 B 处切线方程为 (0-1)(x-1)+(1+ - )(y- )=2， 令 y=0 可得 x=-1- . 17. a 为实数，函数 f(x)=|x2-ax|在区间 0， 1上的最大值记为 g(a).当 a=_时， g(a)的值最小 . 解 析 ： 通过分 a0 、 0 a2 -2、 a 2 -2 三种情况去函数 f(x)表达式中绝对值符号，利
15、用函数的单调性即得结论 . 答案 ： 对函数 f(x)=|x2-ax|=|x(x-a)|分下面几种情况讨论： 当 a0 时， f(x)=x2-ax 在区间 0， 1上单调递增， f(x) max=g(a)=1-1； 当 0 a2 -2 时， ， f(1)=1-a， ， f(x) max=g(1)=1-a； 当 2 -2 a1 时， f(x)max=g(a)= ； 综上所述， g(a)= ， g(a) 在 (- ， 上单调递减，在 ， +) 上单调递增， g(a) min=g( )； 当 1 a 2 时， g(a)=f( )= ； 当 a2 时， g(a)=f(1)=a-1； 综上，当 a= 时
16、， g(a)min=3-2 . 三、解答题 18.某同学将 “ 五点法 ” 画函数 f(x)=Asin(wx+)(w 0， | )在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表： (1)请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f(x)的解析式； (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 y=g(x)图象，求 y=g(x)的图象离原点 O 最近的对称中心 . 解 析 ： (1)由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式； (2)由函数 y=Asin(x+) 的图象变换可得 g(x)，解得其对称中心即可得解 . 答案 ： (1)数据补充完整如下表
17、： 函数 f(x)的解析式为： f(x)=5sin(2x- ). (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平移 (3)个单位长度，得到 y=g(x)=5sin2(x+ )-=5sin(2x+ ). 由 2x+ =k ， k Z，可解得： x= - ， k Z， 当 k=0 时，可得： x=- . 从而可得离原点 O 最近的对称中心为： (- ， 0). 19.设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q，已知 b1=a1， b2=2，q=d， S10=100. (1)求数列 an， bn的通项公式 (2)当 d 1 时，记 cn= ，求数列 cn的前 n 项和
18、Tn. 解 析 ： (1)利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； (2)当 d 1 时，由 (1)知 cn= ，写出 Tn、 Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可 . 答案 ： (1)设 a1=a，由题意可得 ， 解得 ，或 ， 当 时， an=2n-1， bn=2n-1； 当 时， an= (2n+79)， bn=9 ； (2)当 d 1 时，由 (1)知 an=2n-1， bn=2n-1， c n= ， T n=1+3 +5 +7 +9 +(2n -1) ， Tn=1 +3 +5 +7 +(2n -3) +(2n-1) ， Tn=2+ + + +
19、+ -(2n-1) =3- ， T n=6- . 20.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 .在如图所示的阳马 P-ABCD中，侧棱 PD 底面 ABCD，且 PD=CD，点 E 是 PC 的中点，连接 DE、 BD、 BE. (1)证明： DE 平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑 .若是，写出其每个面的直角 (只需写出结论 )；若不是，请说明理由； (2)记阳马 P-ABCD 的体积为 V1，四面体 EBCD 的体积为 V2，求 的值 . 解 析 ： (1)证明 BC 平面 PCD， DE 平面 PBC，
20、可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形，即可得出结论； (2)由已知， PD 是阳马 P-ABCD 的高，所以 V1= .由 (1)知， DE 是鳖臑 D-BCE 的高， BCCE ，所以 V2= .即可求 的值 . 答案 ： (1)证明：因为 PD 底面 ABCD，所以 PDBC ， 因为 ABCD 为正方形，所以 BCCD ， 因为 PDCD=D ， 所以 BC 平面 PCD， 因为 DE 平面 PCD， 所以 BCDE ， 因为 PD=CD，点 E 是 PC 的中点， 所以 DEPC ， 因为 PCBC=C ， 所以 DE 平面 PBC， 由 BC 平面 PCD， DE 平面 PB
21、C，可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形， 即四面体 EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是 BCD ， BCE ， DEC ， DEB ； (2)由已知， PD 是阳马 P-ABCD 的高，所以 V1= . 由 (1)知， DE 是鳖臑 D-BCE 的高， BCCE ， 所以 V2= . 因为 PD=CD，点 E 是 PC 的中点， 所以 DE=CE= CD， 所以 21.设函数 f(x)， g(x)的定义域均为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数， f(x)+g(x)=ex，其中 e 为自然对数的底数 . (1)求 f(x)， g(x)的解析式，并证明：当 x 0 时
22、， f(x) 0， g(x) 1； (2)设 a0 ， b1 ，证明：当 x 0 时， ag(x)+(1-a) bg(x)+(1-b). 解 析 ： (1)运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得 f(x)、 g(x)的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得 f(x) 0， g(x) 1； (2)当 x 0时， ag(x)+1-a f(x) axg(x)+(1-a)x， bg(x)+1-b f(x) bxg(x)+(1-b)x，设函数 h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x，通过导数判断单调性，即可得证 . 答案 ： (1)f(x)是奇函数， g(x)是偶函数， 即有 f
23、(-x)=-f(x)， g(-x)=g(x)， f(x)+g(x)=ex， f(-x)+g(-x)=e-x， 即为 -f(x)+g(x)=e-x， 解得 f(x)= (ex-e-x)， g(x)= (ex+e-x)， 则当 x 0 时， ex 1， 0 e-x 1， f(x) 0； g(x)= (ex+e-x) =1， 则有当 x 0 时， f(x) 0， g(x) 1； (2)证明： f(x)= (ex+e-x)=g(x)， g(x)= (ex-e-x)=f(x)， 当 x 0 时， ag(x)+1-a f(x) axg(x)+(1-a)x， bg(x)+1-b f(x) bxg(x)+(1
24、-b)x， 设函数 h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x， h(x)=f(x) -c(g(x)+xg(x) -(1-c) =g(x)-cg(x)-cxf(x)-(1-c)=(1-c)(g(x)-1)-cxf(x)， 若 c0 则 h(x) 0，故 h(x)在 (0， +) 递增， h(x) h(0)=0， (x 0)， 即有 f(x) cxg(x)+(1-c)x，故 ag(x)+1-a 成立； 若 c1 则 h(x) 0，故 h(x)在 (0， +) 递减， h(x) h(0)=0， (x 0)， 即有 f(x) cxg(x)+(1-c)x，故 bg(x)+1-b 成立 . 综上可得
25、，当 x 0 时， a g(x)+(1-a) b g(x)+(1-b). 22.一种画椭圆的工具如图 1 所示 .O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N处铰链与 ON 连接， MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN=ON=1， MN=3，当栓子 D在滑槽AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动， M 处的笔尖画出的椭圆记为 C，以 O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设动直线 l 与两定直线 l1： x-2y=0和 l2： x+2y=0 分别交于 P， Q 两点 .
26、若直线 l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究： OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 . 解 析 ： (1)根据条件求出 a， b 即可求椭圆 C 的方程； (2)联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可 . 答案 ： (1)|OM|MN|+|NO|=3+1=4 ，当 M， N 在 x 轴上时，等号成立， 同理 |OM|MN| -|NO|=3-1=2，当 D， O 重合，即 MNx 轴时，等号成立 . 椭圆 C 的中心为原点 O，长半轴长为 4，短半轴长为 2， 其方程为 . (2) 当直线 l 的斜率 k 不存在时
27、，直线 l 为： x=4 或 x=-4，都有 SOPQ = ， 直线 l 的斜率 k 存在时，直线 l 为： y=kx+m， (k )， 由 消去 y，可得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0， 直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点， =64k 2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0，即 m2=16k2+4， ， 由 ，可得 ，同理得 ， 原点 O 到直线 PQ 的距离 和 |PQ|= |x P-xQ| ， 可得 SOPQ = |PQ|d= |m|xP-xQ|= ， 将 代入 得 SOPQ = ， 当 k2 时， SOPQ = ， 当 0k 2 时， SOPQ = ， 0k 2 时， 0 1-4k21 ， ， S OPQ = ，当且仅当 k=0 时取等号， 当 k=0 时， SOPQ 的最小值为 8， 综上可知当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，三角形 OPQ 的面积存在最小值为 8.
