1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. i 为虚数单位， i607的共轭复数为 ( ) A. i B. -i C. 1 D. -1 解 析 ： i607=i604+3=i3=-i， 它的共轭复数为： i. 故选： A. 2.我国古代数学名著九章算术有 “ 米谷粒分 ” 题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 ( ) A. 134 石 B. 169 石 C. 338
2、 石 D. 1365 石 解 析 ：由题意，这批米内夹谷约为 1534 169 石， 故选： B. 3.已知 (1+x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A. 212 B. 211 C. 210 D. 29 解 析 ：已知 (1+x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等， 可得 ，可得 n=3+7=10. (1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为： =29. 故选： D. 4.设 X N( 1， 12)， Y N( 2， 22)，这两个正态分布密度曲线如图所示 .下列结论中正确的是 ( ) A. P(Y 2)P(Y 1) B
3、. P(X 2)P(X 1) C. 对任意正数 t， P(Xt)P(Yt) D. 对任意正数 t， P(Xt)P(Yt) 解 析 ：正态分布密度曲线图象关于 x= 对称，所以 1 2，从图中容易得到P(Xt)P(Yt). 故选： C. 5.设 a1， a2， ， an R， n3. 若 p： a1， a2， ， an成等比数列； q：(a12+a22+a n-12)(a22+a32+a n2)=(a1a2+a2a3+a n-1an)2，则 ( ) A. p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B. p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C. p 是 q 的充分必要条件 D.
4、p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 解 析 ：由 a1， a2， ， an R， n3. 运用柯西不等式，可得： (a12+a22+a n-12)(a22+a32+a n2)(a 1a2+a2a3+a n-1an)2， 若 a1， a2， ， an成等比数列，即有 = = ， 则 (a12+a22+a n-12)(a22+a32+a n2)=(a1a2+a2a3+a n-1an)2， 即由 p 推得 q， 但由 q 推不到 p，比如 a1=a2=a3=a n=0，则 a1， a2， ， an不成等比数列 . 故 p 是 q 的充分不必要条件 . 故选： A. 6.已知符号函数
5、sgnx= ， f(x)是 R 上的增函数， g(x)=f(x)-f(ax)(a 1)，则( ) A. sgng(x)=sgnx B. sgng(x)=-sgnx C. sgng(x)=sgnf(x) D. sgng(x)=-sgnf(x) 解 析 ：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数 sgnx= ， f(x)是 R 上的增函数， g(x)=f(x)-f(ax)(a 1)， 不妨令 f(x)=x， a=2， 则 g(x)=f(x)-f(ax)=-x， sgng(x)=-sgnx.所以 A 不正确， B 正确， sgnf(x)=sgnx， C 不正确； D 正确； 对于 D，令 f(x)
6、=x+1， a=2， 则 g(x)=f(x)-f(ax)=-x-1， sgnf(x)=sgn(x+1)= ； sgng(x)=sgn(-x-1)= ， -sgnf(x)=-sgn(x+1)= ；所以 D 不正确； 故选： B. 7.在区间 0， 1上随机取两个数 x， y，记 P1为事件 “x+y ” 的概率， P2为事件 “|x -y|” 的概率， P3为事件 “xy ” 的概率，则 ( ) A. P1 P2 P3 B. P2 P3 P1 C. P3 P1 P2 D. P3 P2 P1 解 析 ：分别作出事件对应的图象如图 (阴影部分 )： P1： D(0， )， F( ， 0)， A(0，
7、 1)， B(1， 1)， C(1， 0)， 则阴影部分的面积 S1=11 - =1- = ， S2=11 -2 =1- = ， S3=1 + dx= + lnx| = - ln = + ln2， S 2 S3 S1， 即 P2 P3 P1， 故选： B. 8.将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a和虚半轴长 b(ab) 同时增加 m(m 0)个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2，则 ( ) A. 对任意的 a， b， e1 e2 B. 当 a b 时， e1 e2；当 a b 时， e1 e2 C.对任意的 a， b， e1 e2 D. 当 a b 时， e1 e2；当 a b
8、 时， e1 e2 解 析 ：由题意，双曲线 C1： c2=a2+b2， e1= ； 双曲线 C2： c 2=(a+m)2+(b+m)2， e2= ， ， 当 a b 时， e1 e2；当 a b 时， e1 e2， 故选： D. 9.已知集合 A=(x， y)|x2+y21 ， x， y Z， B=(x， y)|x|2 ， |y|2 ， x， y Z，定义集合 AB=(x 1+x2， y1+y2)|(x1， y1) A， (x2， y2) B，则 AB 中元素的个数为 ( ) A. 77 B. 49 C. 45 D. 30 解 析 ： A=(x ， y)|x2+y21 ， x， y Z=(0
9、， 0)， (0， 1)， (0， -1)， (1， 0)， (-1， 0)， B=(x， y)|x|2 ， |y|2 ， x， y Z=(0， 0)， (0， 1)， (0， 2)， (0， -1)， (0， -2)， (1，0)， (1， 1)， (1， 2)(1， -1)， (1， -2)(2， 0)， (2， 1)， (2， 2)(2， -1)， (2， -2)， (-1，-2)， (-1， -1)， (-1， 0)， (-1， 1)， (-1， 2)， (-2， -2)， (-2， -1)， (-2， 0)， (-2， 1)，(-2， 2) AB=(x 1+x2， y1+y2)|(x
10、1， y1) A， (x2， y2) B， AB=(0 ， 0)， (0， 1)， (0， 2)， (0， -1)， (0， -2)， (1， 0)， (1， 1)， (1， 2)(1， -1)，(1， -2)(2， 0)， (2， 1)， (2， 2)， (2， -1)， (2， -2)， (-1， -2)， (-1， -1)， (-1， 0)， (-1，1)， (-1， 2)， (-2， -2)， (-2， -1)， (-2， 0)， (-2， 1)， (-2， 2)， (-2， 3)， (-2， -3)， (0， -3)， (2， -3)， (-1， 3)， (-1， -3)， (1，
11、3)， (2， 3)， (0， 3)，(3， -1)， (3， 0)(3， 1)， (3， 2)， (3， -2)(-3， 2)(-3， 1)， (1， -3)， (-3， -1)， (-3， 0)，(-3， -2)共 45 个元素 故选： C. 10.设 x R， x表示不超过 x 的最大整数 .若存在实数 t，使得 t=1， t2=2， ， tn=n同时成立，则正整数 n 的最大值是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解 析 ： t =1， t 1， 2)， 又 t 2=2， t 2 2， 3)， t ， )， 又 t2 2， 3)， t 4 4， 9)， t 4=4， 正整
12、数 n 的最大值 4 故选： B. 二、填空题：本大题共 4 小题，考生需作答 5小题，每小题 5 分，共 25 分 .请将答案填在答题卡对应题号的位置上 .答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 . 11.已知向量 ， | |=3，则 =_. 解 析 ：由 ，得 =0，即 ( )=0， | |=3， . 故答案为： 9. 12.函数 f(x)=4cos2 cos( -x)-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为 _. 解 析 ：函数 f(x)的定义域为： x|x -1. f(x)=4cos2 cos( -x)-2sinx-|ln(x+1)| =2sinx -|ln(x+1)| =sin2x
13、-|ln(x+1)|， 分别画出函数 y=sin2x， y=|ln(x+1)|的图象， 由函数的图象可知，交点个数为 2. 所以函数的零点有 2 个 . 故答案为： 2. 13.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度 CD=_m. 解 析 ：设此山高 h(m)，在 BCD 中，利用仰角的正切表示出 BC，进而在 ABC 中利用正弦定理求得 h. 答案 ：设此山高 h(m)，则 BC= h， 在 ABC 中， BAC=30 ， CBA=
14、105 ， BCA=45 ， AB=600. 根据正弦定理得 ， 解得 h=100 (m) 14.如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T(1， 0)，与 y 轴正半轴交于两点 A， B(B 在 A 的上方 )，且|AB|=2. (1)圆 C 的标准方程为 _； (2)过点 A 任作一条直线与圆 O： x2+y2=1 相交于 M， N两点，下列三个结论： = ； - =2； + =2 . 其中正确结论的序号是 _.(写出所有正确结论的序号 ) 解 析 ： (1)取 AB 的中点 E，通过圆 C 与 x 轴相切于点 T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可； (2)设 M(cos ， sin
15、) ， N(cos ， sin) ，计算出 、 、 的值即可 . 答案 ： (1) 圆 C 与 x 轴相切于点 T(1， 0)， 圆心的横坐标 x=1，取 AB 的中点 E， |AB|=2 ， |BE|=1 ， 则 |BC|= ，即圆的半径 r=|BC|= ， 圆心 C(1， )， 则圆的标准方程为 (x-1)2+(y- )2=2， 故答案为： (x-1)2+(y- )2=2. (2) 圆心 C(1， )， E(0 ， )， 又 |AB|=2 ，且 E 为 AB 中点， A(0 ， -1)， B(0， +1)， M 、 N 在圆 O： x2+y2=1 上， 可设 M(cos ， sin) ，
16、N(cos ， sin) ， |NA|= ， |NB|= ， ， 同理可得 ， ， 成立， =2， 正确 . ， 正确 . 故答案为： . 15.如图， PA 是圆的切线， A 为切点， PBC 是圆的割线，且 BC=3PB，则 =_. 解 析 ：利用切割线定理推出 PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可 . 答案 ：由切割线定理可知： PA2=PBPC ，又 BC=3PB， 可得 PA=2PB， 在 PAB 与 PAC 中， P=P ， PAB=PCA( 同弧上的圆周角与弦切角相等 )， 可得 PABPAC ， = = . 故答案为： . 16.在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，
17、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .已知直线 l 的极坐标方程为 (sin -3cos)=0 ，曲线 C 的参数方程为 ( t 为参数 )， l 与 C 相交于 A， B 两点，则 |AB|=_. 解 析 ：化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案 . 答案 ：由 (sin -3cos)=0 ，得 y-3x=0， 由 C 的参数方程为 ( t 为参数 )，两式平方作差得： x2-y2=-4. 联立 ，得 ，即 . ， ， |AB|= . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18、 . 17.某同学用 “ 五点法 ” 画函数 f(x)=Asin(x+)( 0， | )在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： (1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f(x)的解析式； (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 ( 0)个单位长度，得到 y=g(x)的图象 .若y=g(x)图象的一个对称中心为 ( ， 0)，求 的最小值 . 解 析 ： (1)根据表中已知数据，解得 A=5， =2 ， = - .从而可补全数据，解得函数表达式为 f(x)=5sin(2x- ). (2)由 (1)及函数 y=Asin(x+) 的图象变换规律得 g(x)=
19、5sin(2x+2 - ).令 2x+2 -=k ，解得 x= ， k Z.令 ，解得 = ， k Z.由 0 可得解 . 答案 ： (1)根据表中已知数据，解得 A=5， =2 ， = - .数据补全如下表： 且函数表达式为 f(x)=5sin(2x- ). (2)由 (1)知 f(x)=5sin(2x- )，得 g(x)=5sin(2x+2 - ). 因为 y=sinx 的对称中心为 (k ， 0)， k Z. 令 2x+2 - =k ，解得 x= ， k Z. 由于函数 y=g(x)的图象关于点 ( ， 0)成中心对称，令 ， 解得 = ， k Z.由 0 可知，当 K=1 时， 取得最
20、小值 . 18.设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q，已知 b1=a1， b2=2，q=d， S10=100. (1)求数列 an， bn的通项公式 (2)当 d 1 时，记 cn= ，求数列 cn的前 n 项和 Tn. 解 析 ： (1)利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； (2)当 d 1 时，由 (1)知 cn= ，写出 Tn、 Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可 . 答案 ： (1)设 a1=a，由题意可得 ， 解得 ，或 ， 当 时， an=2n-1， bn=2n-1； 当 时， an= (2n+
21、79)， bn=9 ； (2)当 d 1 时，由 (1)知 an=2n-1， bn=2n-1， c n= ， T n=1+3 +5 +7 +9 +(2n -1) ， Tn=1 +3 +5 +7 +(2n -3) +(2n-1) ， Tn=2+ + + + + -(2n-1) =3- ， T n=6- . 19.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 .如图，在阳马 P-ABCD 中，侧棱 PD 底面 ABCD，且 PD=CD，过棱 PC 的中点 E，作 EFPB 交 PB于点 F，连接 DE， DF， BD， BE. (1)
22、证明： PB 平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角 (只需写出结论 )；若不是，说明理由； (2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 ，求 的值 . 解 析 ： (1)直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出 PBEF ， DEFE=E ，所以 PB 平面 DEF，即可判断 DE 平面 PBC， PB 平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，确定直角 . (2)根据公理 2得出 DG是平面 DEF与平面 ACBD的交线 .利用直线平面的垂直判断出 DGDF ，DGDB ，根据平面角的定义得出 BDF 是面 DEF 与面
23、ABCD 所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可 . 答案 ： (1)因为 PD 底面 ABCD，所以 PDBC ， 由底面 ABCD 为长方形，有 BCCD ，而 PDCD=D ， 所以 BC 平面 ABCD.而 DE平面 PDC，所以 BCDE. 又因为 PD=CD，点 E 是 PC 的中点，所以 DEPC. 而 PCCB=C ，所以 DE 平面 PBC.而 PB平面 PBC，所以 PBDE. 又 PBEF ， DEFE=E ，所以 PB 平面 DEF. 由 DE 平面 PBC， PB 平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四
24、个面的直角分别为 DEB ， DEF ， EFB ， DFB. (2)如图 1， 在面 BPC 内，延长 BC 与 FE 交于点 G，则 DG 是平面 DEF 与平面 ACBD 的交线 . 由 (1)知， PB 平面 DEF，所以 PBDG. 又因为 PD 底面 ABCD，所以 PDDG. 而 PDPB=P ，所以 DG 平面 PBD. 所以 DGDF ， DGDB 故 BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角， 设 PD=DC=1， BC= ，有 BD= ， 在 RtPDB 中，由 DFPB ，得 DGF=FDB= ， 则 tan =tanDPF= ，解得 . 所以 故当面
25、DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 时， . 20.某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A， B 两种奶制品 .生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200元 .要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍，设备每天生产 A， B 两种产品时间之和不超过 12 小时 .假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位：吨 )是一个随机变量，其分布列为 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 Z(单位：元 )是一个随机变量 . (1)求 Z 的分布列和
26、均值； (2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率 . 解 析 ： (1)设每天 A， B 两种产品的生产数量分别为 x， y，相应的获利为 z，列出可行域，目标函数，通过当 W=12 时，当 W=15 时，当 W=18 时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到 Z 的分布列 .求出期望即可 . (2)判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可 . 答案 ： (1)设每天 A， B 两种产品的生产数量分别为 x， y，相应的获利为 z，则有 ， 如图 1，目标函数为： z=1000x+1200y. 当 W=12 时， 表示的平面区域
27、如图 1，三个顶点分别为 A(0， 0)， B(2.4， 4.8)， C(6， 0). 将 z=1000x+1200y 变形为 ， 当 x=2.4， y=4.8 时，直线 l： 在 y 轴上的截距最大， 最大获利 Z=Zmax=2.41000+4.81200=8160. 当 W=15 时， 表示的平面区域如图 2，三个顶点分别为 A(0， 0)， B(3， 6)， C(7.5， 0). 将 z=1000x+1200y 变形为 ， 当 x=3， y=6 时，直线 l： 在 y 轴上的截距最大， 最大获利 Z=Zmax=31000+61200=10200. 当 W=18 时， 表示的平面区域如图
28、3，四个顶点分别为 A(0， 0)， B(3， 6)， C(6， 4)， D(9，0). 将 z=1000x+1200y 变形为： ， 当 x=6， y=4 时，直线 l： y=-56x+z1200 在 y 轴上的截距最大，最大获利Z=Zmax=61000+41200=10800. 故最大获利 Z 的分布列为： 因此， E(Z)=81600.3+102000.5+108000.2=9708 (2)由 (1)知，一天最大获利超过 10000 元的概率 P1=P(Z 10000)=0.5+0.2=0.7， 由二项分布， 3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为： . 21.一种画
29、椭圆的工具如图 1 所示 .O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N处铰链与 ON 连接， MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN=ON=1， MN=3，当栓子 D在滑槽AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动， M 处的笔尖画出的椭圆记为 C，以 O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设动直线 l 与两定直线 l1： x-2y=0和 l2： x+2y=0 分别交于 P， Q 两点 .若直线 l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究： OPQ 的面积是否存在最小值？若
30、存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 . 解 析 ： (1)根据条件求出 a， b 即可求椭圆 C 的方程； (2)联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可 . 答案 ： (1)|OM|MN|+|NO|=3+1=4 ，当 M， N 在 x 轴上时，等号成立， 同理 |OM|MN| -|NO|=3-1=2，当 D， O 重合，即 MNx 轴时，等号成立 . 椭圆 C 的中心为原点 O，长半轴长为 4，短半轴长为 2， 其方程为 . (2) 当直线 l 的斜率 k 不存在时，直线 l 为： x=4 或 x=-4，都有 SOPQ = ， 直线 l 的斜率 k
31、存在时，直线 l 为： y=kx+m， ， 由 消去 y，可得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0， 直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点， =64k 2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0，即 m2=16k2+4， ， 由 ，可得 ，同理得 ， 原点 O 到直线 PQ 的距离 d= 和 |PQ|= |x P-xQ|， 可得 SOPQ = |PQ|d= |m|xP-xQ|= |m| ， 将 代入 得 SOPQ = ， 当 k2 时， SOPQ = ， 当 0k 2 时， SOPQ = ， 0k 2 时， 0 1-4k21 ， ， S OPQ =8(-1+ )8 ，当且仅
32、当 k=0 时取等号， 当 k=0 时， SOPQ 的最小值为 8， 综上可知当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，三角形 OPQ 的面积存在最小值为 8. 22.已知数列 an的各项均为正数， bn=n(1+ )nan(n N+)， e 为自然对数的底数 . (1)求函数 f(x)=1+x-ex的单调区间，并比较 (1+ )n与 e 的大小； (2)计算 ， ， ，由此推测计算 的公式，并给出证明； (3)令 cn=(a1a2a n) ，数列 an， cn的前 n 项和分别记为 Sn， Tn，证明： Tn eSn. 解 析 ： (1)求出 f(x)的定义域，利用导数求其最大值，得到 1
33、+x ex.取 x= 即可得到答案； (2)由 bn=n(1+ )nan(n N+)，变形求得 ， ， ， 由此推测 =(n+1)n.然后利用数学归纳法证明 . (3)由 cn的定义、 =(n+1)n、算术 -几何平均不等式、 bn的定义及 ，利用放缩法证得 Tn eSn. 答案 ： (1)解： f(x)的定义域为 (- ， +) ， f(x)=1 -ex. 当 f(x) 0，即 x 0 时， f(x)单调递增； 当 f(x) 0，即 x 0 时， f(x)单调递减 . 故 f(x)的单调递增区间为 (- ， 0)，单调递减区间为 (0， +). 当 x 0 时， f(x) f(0)=0，即 1+x ex. 令 ，得 ，即 . (2)解： ； ； . 由此推测： =(n+1)n. 下面用数学归纳法证明 . (1)当 n=1 时，左边 =右边 =2， 成立 . (2)假设当 n=k 时， 成立，即 . 当 n=k+1 时， ，由归纳假设可得 . 当 n=k+1 时， 也成立 . 根据 (1)(2)，可知 对一切正整数 n 都成立 . (3)证明：由 cn的定义， ，算术 -几何平均不等式， bn的定义及 得 Tn=c1+c2+c n= = = ea1+ea2+ea n=eSn. 即 Tn eSn.
