1、 第 1 页（共 13 页） 2015年湖南省高考数学试卷 (文科 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 50 分 ) 1.(5 分 )(2015湖南 )已知 =1+i(i 为虚数单位 )，则复数 z=( ) A. 1+i B. 1 i C. -1+i D. -1 i 解析 已知 =1+i(i 为虚数单位 )， z= = = 1 i.答案 ： D 2.(5 分 )(2015湖南 )在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩 (单位：分钟 )的茎叶图如图所示 .若将运动员按成绩由好到差编为 1 35 号，再用系数抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 139， 151上的运动员人数是 ( )
2、 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 ：由已知，将个数据分为三个层次是 130， 138， 139， 151， 152， 153，根据系数抽样方法从中抽取 7 人，得到抽取比例为 ， 所以成绩在区间 139， 151中共有 20 名运动员，抽取人数为 20 =4； 答案 B 3.(5 分 )(2015湖南 )设 x R，则 “x 1“ 是 “x 3 1” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第 2 页（共 13 页） 解析 ：因为 x R， “x 1“ “x 3 1” ，所以 “x 1“ 是 “x 3 1” 的充要条件
3、. 答案 ： C 4.(5 分 )(2015湖南 )若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x y 的最小值为 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 解析 ：由约束条件 作出可行域如图，由图可知，最优解为 A， 联立 ，解得 A(0， 1). z=2x y 的最小值为 20 1= 1. 答案 ： A 5.(5 分 )(2015湖南 )执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3，则输出的 S=( ) 第 3 页（共 13 页） A. B. C. D. 解析 ：判断前 i=1， n=3， s=0， 第 1 次循环， S= ， i=2， 第 2 次循环， S= ， i=3， 第 3 次
4、循环， S= ， i=4， 此时， i n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果： S= = 答案 ： B 6.(5 分 )(2015湖南 )若双曲线 =1 的一条渐近线经过点 (3， 4)，则此双曲线的离心率为 ( ) A. B. 第 4 页（共 13 页） C. D. 解析 ：双曲线 =1 的一条渐近线经过点 (3， 4)，可得 3b=4a，即 9(c2 a2)=16a2， 解得 = . 答案 ： D 7.(5 分 )(2015湖南 )若实数 a， b 满足 + = ，则 ab 的最小值为 ( ) A. B.2 C.2 D.4 解析 ： + = ， a 0， b 0， (当且仅当 b=2a
5、 时取等号 )， ， 解可得， ab ，即 ab 的最小值为 2 ， 答案 ： C 8.(5 分 )(2015湖南 )设函数 f(x)=ln(1+x) ln(1 x)，则 f(x)是 ( ) A.奇函数，且在 (0， 1)上是增函数 B.奇函数，且在 (0， 1)上是减函数 C.偶函数，且在 (0， 1)上是增函数 D.偶函数，且在 (0， 1)上是减函数 解析 ：函数 f(x)=ln(1+x) ln(1 x)，函数的定义域为 ( 1， 1)， 函数 f( x)=ln(1 x) ln(1+x)= ln(1+x) ln(1 x)= f(x)，所以函数是奇函数 .排除 C， D，正确结果在 A，
6、B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项， x=0 时， f(0)=0； x=时， f( )=ln(1+ ) ln(1 )=ln3 1，显然 f(0) f( )，函数是增函数，所以 B 错误，A 正确 . 答案 ： A 9.(5 分 )(2015湖南 )已知 A， B， C 在圆 x2+y2=1 上运动，且 ABBC ，若点 P 的坐标为 (2， 0)，则 | |的最大值为 ( ) 第 5 页（共 13 页） A.6 B.7 C.8 D.9 解析 ：由题意， AC 为直径，所以 | |=|2 + |=|4+ |. 所以 B 为 ( 1， 0)时， |4+ |7 .所以 | |的最大值为 7. 答
7、案 ： B 10.(5 分 )(2015湖南 )某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 (材料利用率 = )( ) A. B. C. D. 解析 ：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为 2 的圆，母线长为 3，所以圆锥的高为 2 ，圆锥是体积为 ；其内接正方体的棱长为 x，则，解得 x= ，所以正方体的体积为 ，所以原工件材料的利用率为： = ； 答案 ： A 第 6 页（共 13 页） 二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 ) 11.(5 分 )(2
8、015湖南 )已知集合 U=1， 2， 3， 4， A=1， 3， B=1， 3， 4，则 A (UB)= 1， 2， 3 . 解析 ：集合 U=1， 2， 3， 4， A=1， 3， B=1， 3， 4， 所以 UB=2， 所以 A (UB)=1， 2， 3. 答案 ： 1， 2， 3 12.(5 分 )(2015湖南 )在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为 =2sn ，则曲线 C 的直角坐标方程为 x2+(y1)2=1 . 解析 ：曲线 C 的极坐标方程为 =2sn ，即 2=2sn ，它的直角坐标方程为： x2+y2=
9、2y，即 x2+(y 1)2=1. 答案 ： x2+(y 1)2=1 13.(5 分 )(2015湖南 )若直线 3x 4y+5=0 与圆 x2+y2=r2(r 0)相交于 A， B两点，且AOB=120 ， (O 为坐标原点 )，则 r= 2 . 解析 ：若直线 3x 4y+5=0 与圆 x2+y2=r2(r 0)交于 A、 B 两点， O为坐标原点， 且 AOB=120 ，则圆心 (0， 0)到直线 3x 4y+5=0 的距离 d=rcos = r， 即 = r，解得 r=2， 答案 ： 2 14.(5 分 )(2015湖南 )若函数 f(x)=|2x 2| b 有两个零点，则实数 b 的
10、取值范围是 0 b 2 . 解析 ：由函数 f(x)=|2x 2| b 有两个零点，可得 |2x 2|=b 有两个零点， 从而可得函数 y=|2x 2|函数 y=b 的图象有两个交点， 结合函数的图象可得， 0 b 2 时符合条件， 故答案为： 0 b 2 第 7 页（共 13 页） 15.(5 分 )(2015湖南 )已知 0，在函数 y=2sinx 与 y=2cosx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 ，则 = . 解析 ： 函数 y=2sinx 与 y=2cosx 的图象的交点， 根据三角函数线可得出交点 ( (k1 ， )， ( (k2 ， )， k1， k2都为整数，
11、距离最短的两个交点的距离为 2 ， 这两个交点在同一个周期内， 12= ( )2+( )2， = 答案 ： 三、解答题 16.(12 分 )(2015湖南 )某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 A1， A2和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1， a2和 2 个白球b1， b2的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖 . ( )用球的标号列出所有可能的摸出结果； ( )有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由 . 解析 ： ( )中奖利用枚举
12、法列出所有可能的摸出结果； ( )在 ( )中求出摸出的 2 个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的 . 答案： 第 8 页（共 13 页） ( )所有可能的摸出的结果是： A1， a1 ， A1， a2 ， A1， b1 ， A1， b2 ， A2， a1 ， A2， a2 ， A2， b1 ， A2， b2 ， B， a1 ， B， a2 ， B， b1 ， B， b2； ( )不正确 .理由如下： 由 ( )知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为： A1， a1 ， A1， a2 ， A2，
13、a1 ， A2， a2 ，共 4 种， 中奖的概率为 . 不中奖的概率为： 1 . 故这种说法不正确 . 17.(12 分 )(2015湖南 )设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a=btanA. ( )证明： sinB=cosA； ( )若 sinC sinAcosB= ，且 B 为钝角，求 A， B， C. 解析 ： ( )由正弦定理及已知可得 = ，由 sinA0 ，即可证明 sinB=cosA. ( )由两角和的正弦函数公式化简已知可得 sinC sinAcosB=cosAsinB= ，由 (1)sinB=cosA，可得 sin2B= ，结合范围可求 B
14、，由 sinB=cosA 及 A 的范围可求 A，由三角形内角和定理可求 C. 答案 ： ( )证明： a=btanA . =tanA， 由正弦定理： ，又 tanA= ， = ， sinA0 ， sinB=cosA .得证 . ( )sinC=sin (A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB， sinC sinAcosB=cosAsinB= ，由 (1)sinB=cosA， sin 2B= ， 0 B ， sinB= ， B 为钝角， 第 9 页（共 13 页） B= ， 又 cosA=sinB= ， A= ， C= A B= ， 综上， A=C= ， B= . 18
15、.(12 分 )(2015湖南 )如图，直三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形， E， F 分别是 BC， CC1的中点， ( )证明：平面 AEF 平面 B1BCC1； ( )若直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角为 45 ，求三棱锥 F AEC的体积 . 解析： ( )证明 AEBB 1， AEBC ， BCBB 1=B，推出 AE 平面 B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面 AEF 平面 B1BCC1； ( )取 AB 的中点 G，说明直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角为 45 ，就是 CA 1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体
16、积 . 答案： ( )证明： 几何体是直棱柱， BB 1 底面 ABC， AE底面 ABC， AEBB 1， 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形， E 分别是 BC的中点， AEBC ， BCBB 1=B， AE 平面 B1BCC1， AE 平面 AEF， 平面 AEF 平面 B1BCC1； ( )取 AB 的中点 G，连结 A1G， CG，由 ( )可知 CG 平面 A1ABB1， 直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角为 45 ，就是 CA 1G，则 A1G=CG= ， AA 1= = ， CF= . 三棱锥 F AEC 的体积： = = . 第 10 页（共
17、 13 页） 19.(13 分 )(2015湖南 )设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a1=1， a2=2， an+2=3Sn Sn+1+3， n N*， ( )证明 an+2=3an； ( )求 Sn. 解析： ( )当 n2 时，通过 an+2=3Sn Sn+1+3 与 an+1=3Sn 1 Sn+3作差，然后验证当 n=1时命题也成立即可； ( )通过 (I)写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可 . 答案： ( )证明：当 n2 时，由 an+2=3Sn Sn+1+3， 可得 an+1=3Sn 1 Sn+3， 两式相减，得 an+2 an+1=3an a
18、n+1， a n+2=3an， 当 n=1 时，有 a3=3S1 S2+3=31 (1+2)+3=3， a 3=a1，命题也成立， 综上所述： an+2=3an； ( )由 (I)可得 ，其中 k 是任意正整数， S 2k 1=(a1+a2)+(a3+a4)+ (a2k 3+a2k 2)+a2k 1 =3+32+3 k 1+3k 1 = +3k 1 = 3 k 1 ， S2k=S2k 1+a2k= 3 k 1 +23 k 1= ， 综上所述， Sn= . 第 11 页（共 13 页） 20.(13 分 )(2015湖南 )已知抛物线 C1： x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2： + =1(
19、a b 0)的一个焦点， C1与 C2的公共弦的长为 2 ，过点 F 的直线 l 与 C1相交于 A， B 两点，与 C2相交于 C， D 两点，且 与 同向 . ( )求 C2的方程； ( )若 |AC|=|BD|，求直线 l 的斜率 . 解析： ( )通过 C1方程可知 a2 b2=1，通过 C1与 C2的公共弦的长为 2 且 C1与 C2的图象都关于 y轴对称可得 ，计算即得结论； ( )设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)，通过 = 可得 (x1+x2)2 4x1x2=(x3+x4)2 4x3x4，设直线 l 方程为 y=kx+1，分
20、别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可 . 答案： ( )由 C1方程可知 F(0， 1)， F 也是椭圆 C2的一个焦点， a 2 b2=1， 又 C 1与 C2的公共弦的长为 2 ， C1与 C2的图象都关于 y 轴对称， 易得 C1与 C2的公共点的坐标为 ( ， )， ， 又 a 2 b2=1， a 2=9， b2=8， C 2的方程为 + =1； ( )如图，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)， 与 同向，且 |AC|=|BD|， 第 12 页（共 13 页） = ， x 1 x2=x3 x4， (x1+x2)2
21、 4x1x2=(x3+x4)2 4x3x4， 设直线 l 的斜率为 k，则 l 方程： y=kx+1， 由 ，可得 x2 4kx 4=0， 由韦达定理可得 x1+x2=4k， x1x2= 4， 由 ，得 (9+8k2)x2+16kx 64=0， 由韦达定理可得 x3+x4= ， x3x4= ， 又 (x1+x2)2 4x1x2=(x3+x4)2 4x3x4， 16 (k2+1)= + ， 化简得 16(k2+1)= ， (9+8k2)2=169 ，解得 k= ， 即直线 l 的斜率为 . 21.(13 分 )(2015湖南 )已知 a 0，函数 f(x)=aexcosx(x 0， + )，记
22、xn为 f(x)的从小到大的第 n(n N*)个极值点 . ( )证明：数列 f(xn)是等比数列； ( )若对一切 n N*， xn|f (xn)|恒成立，求 a 的取值范围 . 解析： ( )求出函数的导数，令导数为 0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证； ( )由 n=1 可得 a 的范围，运用数学归纳法证 8n 4n+3，当 a 时，验证得|f(xn+1)| xn+1，即可得到 a 的范围 . 答案： ( )证明：函数 f(x)=aexcosx 的导数为 f (x)=aex(cosx sinx)， a 0， x0 ，则 ex1 ， 由 f (x)=0，可得 cosx=sinx，
23、即 tanx=1，解得 x=k+ ， k=0， 1， 2， ， 第 13 页（共 13 页） 当 k 为奇数时， f (x)在 k+ 附近左负右正， 当 k 为偶数时， f (x)在 k+ 附近左正右负 . 故 x=k+ ， k=0， 1， 2， ，均为极值点， xn=(n 1)+ =n ， f(xn)=a cos(n )， f(xn+1)=a cos(n+ )， 当 n 为偶数时， f(xn+1)= e f(xn)， 当 n 为奇数时， f(xn+1)= e f(xn)， 即有数列 f(xn)是等比数列； ( )由于 x1|f (x1)|，则 a ， 解得 a ， 下面证明 8n 4n+3. 当 n=1 时， 8 7 显然成立，假设 n=k 时， 8k 4k+3， 当 n=k+1 时， 8k+1=88k 8(4k+3)=32k+24 =4(k+1)+28k+20 4(k+1)+3， 即有 n=k+1 时，不等式成立 . 综上可得 8n 4n+3(n N+)， 由 e 8， 当 a 时， 由 ( )可得 |f(xn+1)|=|( e )|n|f(x1)| 8n|f(x1)|=8nf(x1) (4n+3)x1 xn+1， n N+， 综上可得 a 成立 .
