1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学文 （ 1） 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若 （ 是虚数单位），则 的值分别等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 试题分析：由已知得 ，所以 ，选 A. 2.若集合 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D 【答案】 D 解析： 3.下列函数为奇函数的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 试题分析：函数 和 是非奇非偶函数； 是偶函数； 是奇函数，故选 D. (1 )
2、 ( 2 3 )i i a b i ,a b R i ,ab3, 23,23, 31,432i a bi 3, 2ab 22M x x 0,1,2N MN01 0,1,2 0,1yxxyecosyxxxy e eyx xye cosyx xxy e e 4.阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序 .若输入 的值为 1，则输出 的值为（ ） A.2 B.7 C.8 D.128 【答案】 C 【解析】 试题分析：由题意得，该程序表示分段函数 ，则 ，故选 C. 考点：程序框图 . 5.若直线 过点 ，则 的最小值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】 C 解析： 6.若 ，且 为第四
3、象限角，则 的值等于（ ） A. x y2 , 2 ,9 , 2x xyxx (1) 9 1 8f 1 ( 0 , 0 )xy abab (1,1) ab5sin 13 tan125 B. C. D. 【答案】 D 【解析】 试题分析：由 ，且 为第四象限角，则 ，则 ，故选 D. 7.设 ， ， .若 ，则实数 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 解析：由已知得 ，因为 ，则 ，因此 ，解得 . 8.如图，矩形 中，点 在 轴上，点 的坐标为 .且点 与点 在函数 的图像上 .若在矩形 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ） A. B. C. D. 1255125
4、125sin 13 2 12c o s 1 s i n 13 sintan cos 512(1,2)a (1,1)b c a kb bc k32535332bcABCD A x B (1,0) C D1 , 0() 1 1 , 02xxfx xx ABCD16143812 【答案】 B 解析：由已知得 B（ 1， 0）， C（ 1， 2）， D（ -2， 2）， F（ 0， 1） .则矩形 ABCD 面积为 3 2=6，阴影部分面积为 ，故该点取自阴影部分的概率等于 . 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 试题分析：由三视
5、图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为，直角腰长为 ，斜腰为 .底面积为 ，侧面积为则其表面积为 ，所以该几何体的表面积为 ，故选 B. 8 2 211 2 214 2 215212， 1 2 12 3 32 2 + 2 + 4 + 2 2 = 8 + 2 2 11 2 2 10.变量 满足约束条件 ，若 的最大值为 2，则实数 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 分析：将目标函数变形为 ，当 取最大值，则直线纵截距最小，故当 时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中 .显然 不是最优解，故只能 是最优解，代入目标
6、函数得 ，解得 ，故选 C. 11.已知椭圆 的右焦点为 .短轴的一个端点为 ，直线 交椭圆 于两点 .若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A ,xy02 2 00xyxym x y 2z x y m2112x1234 1 2 3 41234123BOC2y x z z 0m 0m22( , )2 1 2 1mB mm (0,0)O 22( , )2 1 2 1mB mm42 22 1 2 1mmm 1m22: 1 ( 0 )xyE a bab F M : 3 4 0l x y E,AB 4AF BF M l 45 E3(0,
7、 23(0, 43 ,1)23 ,1)4 解析： 12.“对任意 ， ”是“ ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 第 II 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .把答案填在答题卡的相应位置 . 13.某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45 的样本，则应抽取的男生人数为 _. 【答案】 【解析】 试题分析：由题意得抽样比例为 ，故应抽取的男生人数为 . 14.若 中， ， ， ，则 _.
8、【答案】 【解析】 (0, )2x sin cosk x x x 1k2545 1900 20 1500 2520ABC 3AC 045A 075C BC2 试题分析：由题意得 .由正弦定理得 ，则 ， 所以 . 15.若函数 满足 ，且 在 单调递增，则实数 的最小值等于_. 【答案】 【解析】 试题分析：由 得函数 关于 对称，故 ，则 ，由复合函数单调性得在 递增，故 ，所以实数 的最小值等于 . 16.若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于 _. 【答案】 9 解析： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答
9、应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.(本小题满分 12 分 ) 等差数列 中， ， . （）求数列 的通项公式； （）设 ，求 的值 . 【答案】（） ；（） . 【解析】 试题分析：（）利用基本量法可求得 ，进而求 的通项公式；（）求数列前 n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题 ，故可采取分组求和法求其前 10 项和 . 001 8 0 6 0B A C sin sinAC BCBA sinsinAC ABC B232 232BC( ) 2 ( )xaf x a R (1 ) (1 )f x f x ()fx , )m m1(1 ) (1
10、)f x f x ()fx 1x 1a 1( ) 2 xfx ()fx 1, ) 1m m 1,ab 2 0 , 0f x x p x q p q , , 2abpqna 2 4a 4715aana22 nanbn 1 2 3 1 0b b b b 2nan 21011,ad na2nnbn 试题解析：（ I）设等差数列 的公差为 . 由已知得 ， 解得 . 所以 . 18.（本题满分 12 分） 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标 .根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融
11、合指数进行分组统计，结果如表所示 . 组号 分组 频数 1 2 2 8 3 7 4 3 （）现从融合指数在 和 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在 的概率； （）根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数 . 【答案】（） ；（） . 解析： （） 融合指数在 4， 5）和 7， 8内的 “省级卫视新闻台” 共 5 家，从中随机抽取 2 家，写出所有的基本事na d 1 1143 6 1 5ada d a d 1 31ad 1 12na a n d n 4,5)5,6)6,7)7,84,5) 7,8 7,8910 6.05 件，
12、共 10 种，期中至少有 1 家融合指数在 7， 8包含的基本事件数为 9 个，代入古典概型的概率计算公式即可； （） 每组区间的中点乘以该组的频率值再累加，得这 20 家 “省级卫视新闻台” 的融合指数的平均数 . 解法一：（ I）融合指数在 内的“省级卫视新闻台”记为 ， ， ；融合指数在 内的“省级卫视新闻台”记为 ， .从融合指数在 和 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 家的所有基本事件是：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个 . 其中，至少有 家融合指数在 内的基本事件是： ， ， ， ， ， ， ， ，共 个 . 所以所求的概率 . （ II）这 家“省级卫视新闻台”的融合
13、指数平均数等于 . 解法二：（ I）融合指数在 内的“省级卫视新闻台”记为 ， ， ；融合指数在 内的“省级卫视新闻台”记为 ， .从融合指数在 和 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 家的所有基本事件是：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个 . 其中，没有 家融合指数在 内的基本事件是： ，共 个 . 所以所求的概率 . （ II）同解法一 . 7,8 1 2 3 4,51 2 4,5 7,8 2 12, 13, 23, 11, 12, 21, 22, 31, 32, 12,101 7,8 12, 13, 23, 11, 12, 21, 22, 31, 32, 991020 2 8 7 34 . 5 5 . 5 6 . 5 7 . 5 6 . 0 52 0 2 0 2 0 2 0 7,8 1 2 3 4,51 2 4,5 7,8 2 12, 13, 23, 11, 12, 21, 22, 31, 32, 12,101 7,8 12, 1191 10 10
