1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学文 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 A=1， 2， 3， B=1， 3，则 AB=( ) A. 2 B. 1， 2 C. 1， 3 D. 1， 2， 3 解 析 ：集合 A=1， 2， 3， B=1， 3，则 AB=1 ， 3. 答案： C. 2.“x=1” 是 “x 2-2x+1=0” 的 ( ) A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 解 析 ： 由 x2-2x+1=0，解得： x=1
2、， 故 “x=1” 是 “x 2-2x+1=0” 的充要条件， 答案： A. 3.函数 f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是 ( ) A. -3， 1 B. (-3， 1) C. (- ， -31 ， +) D. (- ， -3)(1 ， +) 解 析 ： 由题意得： x2+2x-3 0，即 (x-1)(x+3) 0 解得 x 1 或 x -3 所以定义域为 (- ， -3)(1 ， +) 答案： D. 4.重庆市 2013 年各月的平均气温 () 数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是 ( ) A. 19 B. 20 C. 21.5 D. 23 解 析 ： 样本数据有 12 个，位于
3、中间的两个数为 20， 20， 则中位数为 ， 答案： B 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为 1，高为 2，左侧与一个底面半径为 1，高为 1 的半圆锥组成的组合体， 几何体的体积为： . 答案： B. 6.若 tan= ， tan(+)= ，则 tan=( ) A. B. C. D. 解 析 ： tan= ， tan(+)= ，则 tan=tan(+) - =， 答案： A. 7.已知非零向 量 a， b 满足 |b|=4|a|， 且 a (2a+b)则 a 与 b 的夹角为 ( )
4、A. B. C. D. 解 析 ： 由已知非零向量 a， b 满足 |b|=4|a|， 且 a (2a+b)，设两个非零向量 a， b 的夹角为 ， 所 以 a (2a+b)=0，即 ，所以 cos= ， 0， ，所以 ； 答案： C. 8.执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 模拟执行程序框图，可得 s=0， k=0 满足条件 k 8， k=2， s= 满足条件 k 8， k=4， s= + 满足条件 k 8， k=6， s= + + 满足条件 k 8， k=8， s= + + + = 不满足条件 k 8，退出循环，输出 s 的值为 . 答案
5、： D. 9.设双曲线 =1(a 0， b 0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1， A2，过 F 做 A1A2的垂线与双曲线交于 B， C 两点，若 A1BA 2C，则该双曲线的渐近线的斜率为 ( ) A. B. C. 1 D. 解 析 ： 由题意， A1(-a， 0)， A2(a， 0)， B(c， )， C(c， - )， A 1BA 2C， ， a=b ， 双曲线的渐近线的斜率为 1. 答案： C. 10.若不等式组 ，表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为( ) A. -3 B. 1 C. D. 3 解 析 ： 作出不等式组对应的平面区域如图： 若表示的平面区域为
6、三角形， 则 C(2， 0)在直线 x-y+2m=0 的下方， 即 2+2m 0， 则 m -1， 则 C(2， 0)， F(0， 1)， 由 ，解得 ，即 A(1-m， 1+m)， 由 ，解得 ，即 . |AF|=1+m-1=m， 则三角形 ABC 的面积 S= m2+ (- )= ， 即 m2+m-2=0， 解得 m=1 或 m=-2(舍 )， 答案： B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 .把答案填写在答题卡相应位置上 . 11.复数 (1+2i)i 的实部为 _. 解 析 ： (1+2i)i=i+2i2=-2+i，所以此复数的实部为 -2； 故答案为： -2.
7、12.若点 P(1， 2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为 _. 解 析 ： 由题意可得 OP 和切线垂直，故切线的斜率为 ， 故切线的方程为 y-2=- (x-1)，即 x+2y-5=0， 故答案为： x+2y-5=0. 13.设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a=2， cosC=- ， 3sinA=2sinB，则c=_. 解 析 ： 3sinA=2sinB ， 由正弦定理可得： 3a=2b， a=2 ， 可解得 b=3， 又 cosC= - ， 由余弦定理可得： c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2 =16， 解得： c=
8、4. 故答案为： 4. 14.设 a， b 0， a+b=5，则 的最大值为 _. 解 析 ： 利用柯西不等式，即可求出 的最大值 . 答案 ： 由题意， ( )2(1+1)(a+1+b+3)=18 ， 的最大值为 3 15.在区间 0， 5上随机地选择一个数 p，则方程 x2+2px+3p-2=0 有两个负根的概率为 _. 解 析 ： 由一元二次方程根的分布可得 p 的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率 . 答案 ： 方程 x2+2px+3p-2=0 有两个负根等价于 ， 解关于 p 的不等式组可得 p1 或 p2 ， 所求概率 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应
9、写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.已知等差数列 an满足 a3=2，前 3 项和 S3= . (1)求 an的通项公式； (2)设等比数列 bn满足 b1=a1， b4=a15，求 bn前 n项和 Tn. 解 析 ： (1)设等差数列 an的公差为 d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案； (2)求出 ，再求出等比数列的公比，由等比数列的前 n 项和公式求得 bn前 n 项和 Tn. 答案 ： (1)设等差数列 an的公差为 d，则由已知条件得： ，解得 . 代入等差数列的通项公式得： ； (2)由 (1)得， . 设 bn的公比为 q，则 ，从而 q=2，
10、 故 bn的前 n 项和 . 17.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长 .设某地区城乡居民人民币储蓄存款 (年底余额 )如下表： (1)求 y 关于 t 的回归方程 = t+ . 附：回归方程 = t+ 中 . (2)用所求回归方程预测该地区 2015 年 (t=6)的人民币储蓄存款 . 解 析 ： (1)利用公式求出 a， b，即可求 y 关于 t 的回归方程 = t+ . (2)t=6，代入回归方程，即可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款 . 答案 ： (1) 由题意， =3， =7.2， =55-53 2=10， =120-537.2=12 ， =1.2， =7.2-1.2
11、3=3.6 ， y 关于 t 的回归方程 =1.2t+3.6. (2)t=6 时， =1.26+3.6=10.8( 千亿元 ). 18.已知函数 f(x)= sin2x- cos2x. (1)求 f(x)的最小周期和最小值； (2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象 .当 x 时，求 g(x)的值域 . 解 析 ： (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=sin(2x- )- ，从而可求最小周期和最小值； (2)由函数 y=Asin(x+) 的图象变换可得 g(x)=sin(x- )- ，由 x ， 时，可得 x-
12、 的范围，即可求得 g(x)的值域 . 答案 ： (1)f(x)= sin2x- cos2x= sin2x- (1+cos2x)=sin(2x- )- ， f(x) 的最小周期 T= = ，最小值为： . (2)由条件可知： g(x)=sin(x- )- 当 x ， 时，有 x- ，从而 sin(x- )的值域为 ， 1，那么 sin(x-)- 的值域为： ， 故 g(x)在区间 ， 上的值域是 . 19.已知函数 f(x)=ax3+x2(a R)在 x= 处取得极值 . (1)确定 a 的值； (2)若 g(x)=f(x)ex，讨论 g(x)的单调性 . 解 析 ： (1)求导数，利用 f(
13、x)=ax3+x2(a R)在 x= 处取得极值，可得 f( )=0，即可确定 a 的值； (2)由 (1)得 g(x)=( x3+x2)ex，利用导数的正负可得 g(x)的单调性 . 答案 ： (1)对 f(x)求导得 f(x)=3ax 2+2x. f(x)=ax 3+x2(a R)在 x= 处取得极值， f( )=0， 3a +2( )=0， a= ； (2)由 (1)得 g(x)=( x3+x2)ex， g(x)=( x2+2x)ex+( x3+x2)ex= x(x+1)(x+4)ex， 令 g(x)=0 ，解得 x=0， x=-1 或 x=-4， 当 x -4 时， g(x) 0，故
14、g(x)为减函数； 当 -4 x -1 时， g(x) 0，故 g(x)为增函数； 当 -1 x 0 时， g(x) 0，故 g(x)为减函数； 当 x 0 时， g(x) 0，故 g(x)为增函数； 综上知 g(x)在 (- ， -4)和 (-1， 0)内为减函数，在 (-4， -1)和 (0， +) 内为增函数 . 20.如题图，三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC 平面 ABC， ABC= ，点 D、 E 在线段 AC上，且AD=DE=EC=2， PD=PC=4，点 F 在线段 AB 上，且 EFBC. (1)证明： AB 平面 PFE. (2)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7，求线
15、段 BC 的长 . 解 析 ： (1)由等腰三角形的性质可证 PEAC ，可证 PEAB. 又 EFBC ，可证 ABEF ，从而AB 与平面 PEF 内两条相交直线 PE， EF 都垂直，可证 AB 平面 PEF. (2)设 BC=x，可求 AB， SABC ，由 EFBC 可得 AFEABC ，求得 SAFE = SABC ，由 AD= AE，可求 SAFD ，从而求得四边形 DFBC 的面积，由 (1)知 PE 为四棱锥 P-DFBC的高，求得 PE，由体积 VP-DFBC= SDFBCPE=7 ，即可解得线段 BC的长 . 答案 ： (1)如图， 由 DE=EC， PD=PC 知， E
16、 为等腰 PDC 中 DC 边的中点，故 PEAC ， 又平面 PAC 平面 ABC，平面 PAC 平面 ABC=AC， PE 平面 PAC， PEAC ， 所以 PE 平面 ABC，从而 PEAB. 因为 ABC= ， EFBC ， 故 ABEF ， 从而 AB 与平面 PEF 内两条相交直线 PE， EF 都垂直， 所以 AB 平面 PEF. (2)设 BC=x，则在直角 ABC 中， ， 从而 SABC = AB ， 由 EFBC 知 ，得 AFEABC ， 故 =( )2= ，即 SAFE = SABC ， 由 AD= AE， SAFD = = SABC = SABC = x ， 从而
17、四边形 DFBC 的面积为： SDFBC=SABC -SAFD= . 由 (1)知， PE 平面 ABC，所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高 . 在直角 PEC 中， ， 故体积 VP-DFBC= SDFBC ， 故得 x4-36x2+243=0，解得 x2=9 或 x2=27，由于 x 0，可得 x=3或 x= . 所以： BC=3 或 BC= . 21.如题图，椭圆 =1(a b 0)的左右焦点分别为 F1， F2，且过 F2的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQPF 1. (1)若 |PF1|=2+ ， |PF2|=2- ，求椭圆的标准方程 . (2)若 |PQ|=|PF 1|，且
18、 ，试确定椭圆离心率 e 的取值范围 . 解 析 ： (1)由椭圆的定义可得： 2a=|PF1|+|PF2|，解得 a.设椭圆的半焦距为 c，由于 PQPF 1，利用勾股定理可得 2c=|F1F2|= ，解得 c.利用 b2=a2-c2.即可得出椭圆的标准方程 . (2)如图所示，由 PQPF 1， |PQ|=|PF 1|，可得 |QF1|= ，由椭圆的定义可得： |PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，解得 |PF1|= .|PF2|=2a-|PF1|，由勾股定理可得：2c=|F1F2|= ，代入化简 .令 t=1+ ，则上式化为 e2=，解出即可 . 答案 ： (1)由椭圆的定义可得： 2
19、a=|PF1|+|PF2|=(2+ )+(2- )=4，解得 a=2. 设椭圆的半焦距为 c， PQPF 1， 2c=|F 1F2|= ， c= . b 2=a2-c2=1. 椭圆的标准方程为 . (2)如图所示，由 PQPF 1， |PQ|=|PF 1|， |QF 1|= ， 由椭圆的定义可得： 2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|， |PF 1|+|PQ|+|QF1|=4a， |PF1|=4a，解得 |PF1|= . |PF2|=2a-|PF1|= ， 由勾股定理可得： 2c=|F1F2|= ， =4c2， =e2. 令 t=1+ ，则上式化为 ， t=1+ ，且 ， t 关于 单调递增， 3t 4. ， ，解得 . 椭圆离心率的取值范围是 .
