1、 2015 年重庆市高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 A=1， 2， 3， B=2， 3，则（ ） A.A=B B.A B= C.AB D.BA 解析： 直接利用集合的运算法则求解即可 答案 ： D 2.在等差数列 an中，若 a2=4， a4=2，则 a6=（ ） A. 1 B.0 C.1 D.6 解析 ： 在等差数列 an中， a4=12（ a2+a6） = =2， 解得 a6=0 答案 ： B 3.重庆市 2013 年各月的平均气温（ ）数据的茎叶图如，则这组数据的中
2、位数是（ ） A.19 B.20 C.21.5 D.23 解析 ： 样本数据有 12 个，位于中间的两个数为 20， 20， 则中位数为 ， 答案 ： B 4.“x 1”是 “ 0”的（ ） A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ： 由 “ 0” 得： x+2 1，解得： x 1， 故 “x 1”是 “ 0”的充分不必要条件， 答案 ： B 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 解析 ： 由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为 2 ，高为 1，一个侧面与底面垂直，并且垂直
3、底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为 1，高为 2，所求几何体的体积为：. 答案 ： A 6.若非零 向量 a ， b 满足 |a |= |b |，且（ a b ） （ 3a +2b ），则 a 与 b 的 夹角为（ ） A.4B.2C. 34D. 解析 ： （ a b ） （ 3 a +2b ）， （ a b ） （ 3 a +2b ） =0， 即 3 a 2 2 b 2 a b =0， 即 a b =3 a 2 2 b 2=23b 2， ， 即 a ， b =4， 答案 ： A 7.执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 8，则判断框图可填入的条件是（ ） A.s34B.s56C
4、.s1112D.s2524解析 ： 模拟执行程序框图， k 的值依次为 0， 2， 4， 6， 8， 因此 S= （此时 k=6）， 因此可填： S 1112 答案 ： C 8.已知直线 l： x+ay 1=0（ aR）是圆 C： x2+y2 4x 2y+1=0 的对称轴过点 A（ 4， a）作圆 C 的一条切线，切点为 B，则 |AB|=（ ） A.2 B. 42 C.6 D. 2 10 解析 ： 圆 C： x2+y2 4x 2y+1=0，即（ x 2） 2+（ y 1） 2 =4，表示以 C（ 2， 1）为圆心、半径等于 2 的圆 由题意可得，直线 l： x+ay 1=0 经过圆 C 的圆
5、心（ 2， 1），故有 2+a 1=0， a= 1，点 A（ 4， 1） 由于 ， CB=R=2， 切线的长 ， 答案 ： C 9.若 tan=2tan5，则 =（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ： tan=2tan5，则 答案 ： 3 10.设双曲线 =1（ a 0， b 0） 的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B， C 两点，过 B， C 分别作 AC， AB 的垂线，两垂线交于点 D若 D 到直线 BC 的距离小于 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ） A.（ 1， 0） （ 0， 1） B.（ ， 1） （ 1， +） C.（ 2 ，
6、 0） （ 0， 2 ） D.（ ， 2 ） （ 2 ， +） 解析 ： 由题意， A（ a， 0）， B（ c， ）， C（ c， ），由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上， 设 D（ x， 0），则由 BD AC 得 ， c x= ， D 到直线 BC 的距离小于 ， c x= ， c2 a2=b2， 0 ba 1， 双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ 1， 0） （ 0， 1） 答案 ： A 二、填空题：本大题共 3 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 .把答案填写在答题卡相应位置上 . 11.设复数 a+bi（ a， bR）的模为 3 ，则（ a+bi）（ a bi）
7、 = 3 解析： 将所求利用平方差公式展开得到 a2+b2，恰好为已知复数的模的平方 答案 ： 3 12. 的展开式中 x8 的系数是 解析 ： 由于 的展开式的通项公式为 令 15 =8，求得 r=2，故开式中 x8 的系数是 25 51C=42， 答案 ： 52 13.在 ABC 中， B=120， AB= 2 ， A 的角平分线 AD= 3 ，则 AC= 解析 ： 由题意以及正弦定理可知： ，即 ， ADB=45， 12 A=180 120 45，可得 A=30，则 C=30，三角形 ABC 是等腰三角形， AC=2 2 sin60 = 6 答案 ： 6 三、考生注意：（ 14）、（ 1
8、5）、（ 16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分 14.如题图，圆 O 的弦 AB， CD 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P，若 PA=6， AE=9， PC=3，CE： ED=2： 1，则 BE= 2 解析 ： 设 CE=2x， ED=x，则 过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P， 由切割线定理可得 PA2=PCPD，即 36=3（ 3+3x）， x=3， 由相交弦定理可得 9BE=CEED，即 9BE=63， BE=2 答案 ： 2 15.已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x
9、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ，则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为 （ 2， ） 解析： 求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我 2 极坐标即可 答案： 直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），它的直角坐标方程为： x y+2=0； 曲线 C 的极坐标方程为 ， 可得它的直角坐标方程为： x2 y2=4， x 0 由 ，可得 x= 2， y=0， 交点坐标为（ 2， 0）， 它的极坐标为（ 2， ） 16.若函数 f（ x） =|x+1|+2|x a|的最小值为 5，则实数 a= 6 或 4 解析 ： 函数 f（ x） =|x+1|+2|x a
10、|，故当 a 1 时， f（ x） = ， 根据它的最小值为 f（ a） = 3a+2a 1=5，求得 a= 6 当 a= 1 时， f（ x） =3|x+1|，它的最小值为 0，不满足条件 当 a 1 时， f（ x） = ， 根据它的最小值为 f（ a） =a+1=5，求得 a=4 综上可得， a= 6 或 a=4， 答案 ： 6 或 4 四、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个 （ ）求
11、三种粽子各取到 1 个的概率； （ ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望 解析： （ ）根据古典概型的概率公式进行计算即可； （ ）随机变量 X 的取值为： 0， 1， 2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望 答案 ：（ ）令 A 表示事件 “三种粽子各取到 1 个 ”， 则由古典概型的概率公式有 P（ A） = =14 （ ）随机变量 X 的取值为： 0， 1， 2， 则 P（ X=0） = = 715， P（ X=1） = = 715， P（ X=2） = = 115， X 0 1 1 P 715 715 115 EX=0 715+1 715+2 115=35个
12、18.已知函数 f（ x） =sin（2 x） sinx （ ）求 f（ x）的最小正周期和最大值； （ ）讨论 f（ x）在 6， 23上的单调性 解析： （ ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得 f（ x）的最小正周期和最大值 （ ）根据 2x30， ，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得 f（ x）在 6， 23上的单调性 答案： （ ）函数 f（ x） =sin（2 x） sinx x=cosxsinx 32（ 1+cos2x） =12sin2x 32sin2x 32=sin（ 2x3） 32， 故函数的周期为 22=，最大值为 1 32 （ ）当
13、x6， 23时， 2x30， ，故当 02x32时，即 x6， 512时， f（ x）为增函数； 当22x3 时，即 x 512， 23时， f（ x）为减函数 19.如题图，三棱锥 P ABC 中， PC 平面 ABC， PC=3， ACB=2 D， E 分别为线段 AB， BC 上的点，且 CD=DE=2 ， CE=2EB=2 （ ）证明： DE 平面 PCD （ ）求二面角 A PD C 的余弦值 解析： （ ）由已知条件易得 PC DE， CD DE，由线面垂直的判定定理可得； （ ）以 C 为原点，分别以 的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，易得 的坐标，可求平面 PAD
14、 的法向量 ，平面 PCD 的法向量 可取 ，由向量的夹角公式可得 答案 ：（ ）证明： PC 平面 ABC， DE平面 ABC， PC DE， CE=2， CD=DE= 2 ， CDE 为等腰直角三角形， CD DE， PC CD=C， DE 垂直于平面 PCD 内的两条相交直线， DE 平面 PCD （ ）由（ ）知 CDE 为等腰直角三角形， DCE=4， 过点 D 作 DF 垂直 CE 于 F，易知 DF=FC=FE=1，又由已知 EB=1，故 FB=2， 由 ACB=2得 DF AC， ，故 AC=32DF=32， 以 C 为原点，分别以 的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标
15、系， 则 C（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， 3）， A（ 32， 0， 0）， E（ 0， 2， 0）， D（ 1， 1， 0）， =（ 1， 1， 0）， =（ 1， 1， 3）， =（ 12， 1， 0）， 设平面 PAD 的法向量 =（ x， y， z），由 ， 故可取 =（ 2， 1， 1）， 由（ ）知 DE 平面 PCD，故平面 PCD 的法向量 可取 =（ 1， 1， 0）， 两法向量夹角的余弦值 cos ， = = 36 二面角 A PD C 的余弦值为 36 20.设函数 f（ x） = （ aR） （ ）若 f（ x）在 x=0 处取得极值，确定 a 的值，并求此
16、时曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）若 f（ x）在 3， +）上为减函数，求 a 的取值范围 解析： （ I） f （ x） = ，由 f（ x）在 x=0 处取得极值，可得 f （ 0） =0，解得 a可得 f（ 1），f （ 1），即可得出曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ II）解法一：由（ I）可得： f （ x） = ，令 g（ x） = 3x2+（ 6 a） x+a，由 g（ x） =0，解得 x1= ， x2= 对 x 分类讨论：当 x x1 时；当 x1 x x2 时；当 x x2 时由f（ x）在 3， +）上为减
17、函数，可知： x2= 3，解得即可 解法二： “分离参数法 ”：由 f（ x）在 3， +）上为减函数，可得 f （ x） 0，可得 a ，在 3， +）上恒成立令 u（ x） = ，利用导数研究其最大值即可 答案： （ I） f （ x） = = ， f（ x）在 x=0 处取得极值， f （ 0） =0，解得 a=0 当 a=0 时， f（ x） = ， f （ x） = ， f（ 1） = ， f （ 1） = ， 曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 ，化为： 3x ey=0； （ II）解法一：由（ I）可得： f （ x） = ，令 g（ x） = 3x2+（
18、 6 a） x+a， 由 g（ x） =0，解得 x1= ， x2= 当 x x1 时， g（ x） 0，即 f （ x） 0，此时函数 f（ x）为减函数； 当 x1 x x2 时， g（ x） 0，即 f （ x） 0，此时函数 f（ x）为增函数； 当 x x2 时， g（ x） 0，即 f （ x） 0，此时函数 f（ x）为减函数 由 f（ x）在 3， +）上为减函数，可知： x2= 3，解得 a 因此 a 的取值范围为： 解法二：由 f（ x）在 3， +）上为减函数， f （ x） 0， 可得 a ，在 3， +）上恒成立 令 u（ x） = ， u （ x） = 0， u（
19、x）在 3， +）上单调递减， au（ 3） = 因此 a 的取值范围为： 21.如题图，椭圆 =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2 的直线交椭圆于 P， Q 两点，且 PQ PF1 （ ）若 |PF1|=2+ 2 ， |PF2|=2 2 ，求椭圆的标准方程； （ ）若 |PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率 e 解析： （ ）由椭圆的定义， 2a=|PF1|+|PF2|，求出 a，再根据 2c=|F1F2|= =2 3 3 ，求出 c，进而求出椭圆的标准方程； （ ）由椭圆的定义和勾股定理，得 |QF1|= 2 |PF1|=4a |PF1|，解得 |PF1|=2（ 2
20、 2 ） a，从而 |PF2|=2a |PF1|=2（ 2 1） a，再一次根据勾股定理可求出离心率 答案： （ ）由椭圆的定义， 2a=|PF1|+|PF2|=2+ 2 +2 2 =4，故 a=2， 设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF2 PF1，因此 2c=|F1F2|= =2 3 ，即 c= 3 ，从而 b=1， 故所求椭圆的标准方程为 （ ）连接 F1Q，由椭圆的定义， |PF1|+|PF2|=2a， |QF1|+|QF2|=2a，从而由 |PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有 |QF1|=4a |PF1|， 又由 PQ PF1， |PF1|=|PQ|，知 |QF1|= 2 |
21、PF1|=4a |PF1|，解得 |PF1|=2（ 2 2 ） a，从而 |PF2|=2a |PF1|=2（ 2 1）a， 由 PF2 PF1，知 2c=|F1F2|= ，因= = 63 22.在数列 an中， a1=3， an+1an+an+1+an2=0（ nN+） （ ）若 =0， = 2，求数列 an的通项公式； （ ）若 = （ k0N+， k02）， = 1，证明： 解析： （ ）把 =0， = 2 代入数列递推式，得到 （ nN+），分析 an0 后可得 an+1=2an（ nN+），即 an是一个公比 q=2 的等比数列从而可得数列的通项公式； （ ）把 代入数列递推式，整理后
22、可得 （ nN）进一步得到，对 n=1， 2， ， k0 求和后放缩可得不等式左边，结合 ，进一步利用放缩法证明不等式右边 解答： （ ）解：由 =0， = 2，有 （ nN+） 若存在某个 n0N+，使得 ，则由上述递推公式易得 ，重复上述过程可得 a1=0，此与 a1=3 矛盾， 对任意 nN+， an0 从而 an+1=2an（ nN+），即 an是一个公比 q=2 的等比数列 故 （ ）证明：由 ，数列 an的递推关系式变为 ，变形为： （ nN） 由上式及 a1=3 0，归纳可得 3=a1 a2 an an+1 0 = ， 对 n=1， 2， ， k0 求和得： = 另一方面，由上已证的不等式知， ， 得 综上，
