1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学文 一 .选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） . 1. 设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 解析：由 ，所以，故答案选 A. 2. 某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ） A.93 B.123 C.137 D.167 【答案】 解析 ：由图可知 该校女教师的人数为 故答案选 C. 2 | M x x x | lg 0N x xMN0,1(0,10,1)( ,1（
2、 高中部 ）（ 初中部 ）男男 女女60%70%C1 1 0 7 0 % 1 5 0 ( 1 6 0 % ) 7 7 6 0 1 3 7 3. 已知抛物线 的准线经过点 ，则抛物线焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 解析 ：由 抛物线 得准线 ，因为准线经过点 ，所以 ， 所以抛物线焦点坐标为 ，故答案选 4. 设 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 解析：因为 ，所以 故答案选 C. 5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） 2 2 ( 0 )y p x p ( 1,1)( 1,0)(1,0)(0, 1)(0,1)2 2 ( 0 )y p
3、x p2px ( 1,1) 2p(1,0) B1 , 0()2 , 0xxxfxx ( ( 2)ff1141232C A. B. C. D. 【答案】 解析 ：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半， 所以 该几何体的表面积为 ，故答案选 6. “ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 【答案】 解析： 所以故答案选 A. 7. 根据 下 边框图，当输入 为 6 时，输出的 （ ） A. B. 342434D211 2 1 2 2 2 3 42 Dsin cos cos2 0 Ax y12 C. D. 【答案】 解析 ：该程序
4、框图运行如下： ， ， ，故答案选 . 8.对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 解析：因为 所以 A 选项正确；当 方向相反时， B 选项不成立，所以 B 选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以 C 选项正确；所以 D 选项正确，故答案选 B. 9.设 ，则 （ ） A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 【答案】 解析 ： 又 的定义域为 是关于原点对称，所以 是奇函数； 是增函数 . 故答案选 10.设 ，若 ， ， ，则510D6 3 3 0x 3 3 0x 0 3 3 0x 2( 3
5、 ) 1 1 0y D,ab| | | | |a b a b| | | | | |a b a b 22( ) | |a b a b 22( ) ( )a b a b a b B( ) sinf x x x ()fxB( ) s i n ( ) ( ) s i n ( ) s i n ( s i n ) ( )f x x x f x x x x x x x f x ()fx R ()fx( ) 1 c o s 0 ( )f x x f x B( ) ln , 0f x x a b ()p f ab ()2abqf 1 ( ( ) ( ) )2r f a f b 下列关系式中正确的是（ ） A.
6、B. C. D. 【答案】 解析 ： ； ；因为 ，由 是个递增函数， 所以 ，故答案选 11.某企业生产甲乙两种产品均需用 A， B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产 1 吨甲乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ） A.12 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元 【答案】 解析：设该企业每天生产甲乙两种产品分别 x， y 吨，则利润 z=3x+4y，由题意可列，其表示如图阴影部分区域： q r pq r pp r qp r qC1( ) l n l n2p f a b a b a b ( )
7、ln22a b a bqf 11( ( ) ( ) ) l n22r f a f b a b 2ab ab ( ) lnf x x ( ) ( )2abf f a b q p r C甲 乙 原料限额A ( 吨) 3 2 12B ( 吨) 1 2 8D 当直线 过点 时， 取得最大值 故答案选 12. 设复数 ，若 ，则 的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】 解析 ： 如图可求得 , ，阴影面积等于 若 ，则 的概率 故答案选 二、 填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） . 3 4 0x y z (2,3)A z 3 2 4
8、3 1 8z D( 1)z x yi ( , )x y R | | 1z yx3142112 1142112 C2 2 2 2( 1 ) | | ( 1 ) 1 ( 1 ) 1z x y i z x y x y (1,1)A (1,0)B 21 1 11 1 14 2 4 2 | | 1z yx 2111421 4 2C 13、中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为 _ 【答案】 5 解析：若这组数有 2n+1 个，则 若这组数有 2n 个，则 ；故答案为 5. 14、如图，某港口一天 6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数 y 3sin( x )
9、 k，据此函数可知，这段时间水深 (单位： m)的最大值为 _. 【答案】 8 解析 ：由图像得，当 时 ，求得 ， 当 时， ，故答案为 8. 15、函数 在其极值点处的切线方程为 _. 解析： ，函数在其极值点处的切线方程为 . 16、观察下列等式： 1 1 1 据此规律，第 n 个等式可为 _. 【答案】 6s in ( ) 16 x min 2y 5ksin ( ) 16 x m a x 3 1 5 8y xy xe1y e11221 1 1 1 12 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 12 3 4 5 6 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2
10、 1 2 2n n n n n 【解析】 解析 ：观察等式知： 第 n 个 等式的左边有 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为 1，分母是 1 到 的连续正整数，等式的右边是 . 故答案为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75分） 17. 的内角 所对的边分别为 ，向量 与平行 . (I)求 ； (II)若 求 的面积 . 解析： （）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A； （）利用 A，以及 ，通过余弦定理求出 c，然后求解 ABC 的面积 . 答案 ： (I)因为 ，所以 由正弦定理，得 ， 又 ，从而 ， 由于 所以 (II)
11、解法一：由余弦定理，得 ，而 ， ， 得 ，即 因为 ，所以 ， 故 面积为 . 解法二：由正弦定理，得 从而 2n2n 1 1 11 2 2n n n 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n ABC ,ABC ,abc ( , 3 )m a b (c o s , s in )n A BA7 , 2abABC7 , 2ab/mn s i n 3 c o s 0a B b As i n s i n 3 s i n c o s 0A B B Asin 0B tan 3A 0 A 3A 2 2 2 2 c o sa b c b c A 7 , 2ab3
12、A 27 4 2cc 2 2 3 0cc 0c 3cABC 1 3 3s in22b c A 72sinsin3B 21sin 7B 又由 知 ，所以 故 ， 所以 面积为 . 18.如图 1，在直角梯形 中， ， 是的中点， 是 与 的交点，将 沿 折起到图 2 中 的位置，得到四棱锥 . (I)证明： 平面 ； (II)当平面 平面 时，四棱锥 的体积为 ，求 的值 . 解析：（ 1）运用 E 是 AD 的中点，判断得出 BE AC， BE面 A1OC，考虑 CD DE，即可判断CD面 A1OC (II)由已知，平面 平面 ，且平面 平面 ，又由 (I)知，所以 平面 ，即 是四棱锥 的高
13、，易求得平行四边形 面积 ，从而四棱锥 的为，由 ，得 . 答案：（ 1） 在图 1中， 因为 AB=BC= AD=a， E是 AD 的中点， BAD= ， ab AB 27cos7B s i n s i n ( ) s i n ( )3C A B B 3 2 1s i n c o s c o s s i n3 3 1 4BB ABC 1 3 3s in22a b C ABCD / / , ,2A D B C B A D A B B C 12 AD aEAD O OC BE ABE BE 1ABE1A BCDECD 1AOC1ABE BCDE 1A BCDE 36 2 a1ABE BCDE 1
14、ABE BCDE BE1AO BE 1AO BCDE 1AO 1A BCDEBCDE 2S B C A B a 1A BCDE311236V S A O a 32 36 26 a 6a 所以 BE AC， 即在图 2中， BE A1O， BE OC， 从而 BE面 A1OC， 由 CD DE， 所以 CD面 A1OC. (II)由已知，平面 平面 ， 且平面 平面 又由 (I)知， ，所以 平面 ， 即 是四棱锥 的高， 由图 1 可知， ，平行四边形 面积 ， 从而四棱锥 的为 ， 由 ，得 . 19.随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3
15、4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (I)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (II)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率 . 解析 ： (I)在容量为 30 的样本中，从表格中得，不下雨的天数是 26，以频率估计概率， 4 月份任选一天，西安市不下雨的概率是 . (II)称相
16、邻两个日期为“互邻日期对”（如 1 日与 2 日， 2 日与 3 日等）这样在 4 月份中，前1ABE BCDE1ABE BCDE BE1AO BE1AO BCDE1AO 1A BCDE122A O A B a BCDE 2S B C A B a 1A BCDE2311 1 2 23 3 2 6V S A O a a a 32 36 26 a 6a26 1330 15 一天为晴天的互邻日期对有 16 对，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为 ，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为 . 答案 ： (I)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，
17、4 月份任选一天，西安市不下雨的概率是 . (II)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如 1 日与 2 日， 2 日与 3 日等）这样在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 对，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为 ， 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为 . 20.如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 . (I)求椭圆 的方程； (II)经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同两点 （均异于点 ），证明：直线 与 的斜率之和为 2. 解析 ： (I)由题意知 ，由 ，解得 ，继而得椭圆的方程为； (II) 设 ， 由题设知，直线 的方程为 ，代入 ，化简得
18、，则， 由已知 ， 从而直线 与 的斜率之和147168 781315787822: 1 ( 0 )xyE a bab (0,1A 22E(1,1) k E ,PQ AAP AQ2,12c ba 2 2 2a b c 2a2 212x y 1 1 2 2,P x y Q x y120xx PQ ( 1 ) 1 ( 2 )y k x k 2 212x y22( 1 2 ) 4 ( 1 ) 2 ( 2 ) 0k x k k x k k 1 2 1 2224 ( 1 ) 2 ( 2 ),1 2 1 2k k k kx x x xkk 0 AP AQ 化简得 . 答案 ： (I)由题意知 ， 综合 ，
19、解得 ， 所以，椭圆的方程为 . (II)由题设知，直线 的方程为 ，代入 ，得 ， 由已知 ，设 ， 则 ， 从而直线 与 的斜率之和 . 21. 设 (I)求 ； (II)证明： 在 内有且仅有一个零点（记为 ），且 . 解析 ： (I)由题设 ，所以 ，此式等价于数列 的前 项和，由错位相减法求得 ； 1 2 1 21 2 1 11 1 2 2A P A Qy y k x k k x kkk x x x x 12122 ( 2 )A P A Q xxk k k k xx 4 ( 1 )2 2 2 ( 2 1 ) 22 ( 2 )kkk k k kkk 2 ,12c ba 2 2 2a b
20、 c 2a2 2 12x yPQ ( 1 ) 1 ( 2 )y k x k 2 2 12x y22( 1 2 ) 4 ( 1 ) 2 ( 2 ) 0k x k k x k k 0 1 1 2 2,P x y Q x y 120xx1 2 1 2224 ( 1 ) 2 ( 2 ),1 2 1 2k k k kx x x xkk AP AQ1 2 1 21 2 1 11 1 2 2A P A Qy y k x k k x kkk x x x x 121 2 1 2112 ( 2 ) 2 ( 2 ) xxk k k kx x x x 4 ( 1 )2 2 2 ( 2 1 ) 22 ( 2 )kkk
21、k k kkk 2( ) 1 , , 2 .nnf x x x x n N n (2)nf()nfx 20,3 na 1 1 20 2 3 3 nna 1( ) 1 2 nnf x x n x 1( 2 ) 1 2 2 2 nnfn 1 2 nn n ( 2 ) ( 1 ) 2 1nnfn (II)因为 ， ，所以 在 内至少存在一个零点，又 ，所以 在 内单调递增，因此， 在 内有且 只有 一个 零点 ，由 于 ，所以，由此可得 故 ，继而得 . 答案 ： (I)由题设 ， 所以 由 得 ， 所以 (II)因为 ， 所以 在 内至少存在一个零点， 又 所以 在 内单调递增， 因此， 在 内有
22、且只有一个零点 ， 由于 ， (0) 1 0f 22 2 2( ) 1 2 1 2 03 3 3nnf ()nfx2(0, )31( ) 1 2 0nnf x x n x ()nfx 2(0, )3()nfx 2(0, )3 na 1( ) 11 nn xfx x10 ( ) 11nnnn nafaa 11 1 12 2 2nnnaa 1223na 111 1 1 2 1 20 2 2 2 3 3 3nnnnnaa 1( ) 1 2 nnf x x n x 1( 2 ) 1 2 2 2 nnfn 22 ( 2 ) 1 2 2 2 2 nn 21( 2 ) 1 2 2 2 2nnnfn 212
23、2 ( 1 ) 2 112 nnnn ( 2 ) ( 1 ) 2 1nnfn (0) 1 0f 2221332 2 2( ) 1 1 2 1 2 023 3 313nnnf ()nfx 2(0, )31( ) 1 2 0nnf x x n x ()nfx 2(0, )3()nfx 2(0, )3 na1( ) 11 nnxfx x 所以 由此可得 故 所以 22. 如图， 切 O 于点 ，直线 交 O 于 两点， 垂足为 . (I)证明： (II)若 ，求 O 的直径 . 解析 ： (I)因为 是 O 的直径，则 ，又 ，所以 ，又 切 O 于点 ，得 ，所以； (II)由 (I)知 平分 ，
24、则 ，又 ，从而 ，由， 解得 ，所以 ，由切割线定理得 ，解得 ，故， 即 O 的直径为 3. 答案 ： (I)因为 是 O 的直径， 则 又 ，所以 又 切 O 于点 ， 得 10 ( ) 11nnnn nafaa 11 1 12 2 2nnnaa 1223na111 1 1 2 1 202 2 2 3 3 3nnnnnaa AB B AO ,DE ,BC DE CC BD D BA 3 , 2A D D C B CDE 90B E D E D B BC DE90C B D E D B AB B D BA BED C B D D B A BD CBA 3BA ADBC CD2BC 32AB
25、2 2 2A B B C A C4AC 3AD 2AB AD AE 6AE3D E A E A D DE90B E D E D B BC DE 90C B D E D B AB BD BA BED 所以 (II)由 (I)知 平分 ， 则 ， 又 ，从而 ， 所以 所以 ， 由切割线定理得 即 ， 故 ， 即 O 的直径为 3. 23.在直角坐标 系 中 ，直线 的参数方程为 为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系， C 的极坐标方程为 . (I)写出 C 的直角坐标方程； (II) 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求点 的坐标 . 解析 ： (I) 由 ，得 ，从而
26、有 ，所以(II)设 ，又 ，则 ，故当 时， 取得最小值，此时 点的坐标为 . 答案 ： (I)由 ， 得 ， 从而有 C B D D B A BD CBA3BA ADBC CD2BC 32AB22 4A C A B B C 3AD2AB AD AE2 6ABAEAD3D E A E A D xOy l132 (32xttyt x2 3 sinP l P C P2 3 sin 2 2 3 sin 2223x y y 22 33xy 133,22P t t(0, 3)C222133 3 1 222P C t t t 0t PC P (3,0)2 3 sin2 2 3 sin 2223x y y
27、 所以 (II)设 ，又 ， 则 ， 故当 时， 取得最小值， 此时 点的坐标为 . 24.已知关于 的不等式 的解集为 (I)求实数 的值； (II)求 的最大值 . 解析 ： (I)由 ，得 ，由题意得 ，解得 ； (II)柯西不等式得，当且仅当 即 时等号成立，故. 答案 ： (I)由 ，得 则 ，解得 (II) 当且仅当 即 时等号成立， 故 22 33xy 133,22P t t(0, 3)C222133 3 1 222P C t t t 0t PCP (3,0)x x a b | 2 4xx,ab12at btx a b b a x b a 24baba 3, 1ab 3 1 2 3 4t t t t 2 2 2 2 ( 3 ) 1 ( 4 ) ( )tt 2 4 4tt 413tt 1t m i n3 1 2 4tt x a b b a x b a 24baba 3, 1.ab 3 1 2 3 4t t t t 2 2 2 2 ( 3 ) 1 ( 4 ) ( )tt 2 4 4tt 413tt 1t m i n3 1 2 4tt
