1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学理 一、选择题（本大题共 12个小题 ， 每小题 5分 ， 共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 解析 ： ， ，所以 ，故选 A. 2.某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 （ ） A.167 B.137 C.123 D.93 【答案】 B 解析：该校女教师的人数是 110 70%+150（ 1-60%） =137，故选 B. 3.如图，某港口一天 6 时到 18 时的水
2、深变化曲线近似满足函数 ，据此函数可知，这段时间水深（单位： m）的最大值为 （ ） A.5 B.6 2 | M x x x | lg 0N x xMN0,1(0,10,1)( ,1 2 0 , 1x x x l g 0 0 1x x x x 0,1 3 s i n ( )6y x k C.8 D.10 【答案】 C 解析 ：由图象知： ，因为 ，所以 ，解得： ，所以这段时间水深的最大值是 ，故选 C. 4.二项式 的展开式中 的系数为 15，则 （ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】 C 解析： 二项式（ x+1） n（ n N+）的展开式中 x2的系数为 15， ，解得 n=6
3、， 故选： C 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 解析 ：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为 ，母线长为 ，所以该几何体的表面积是 ，故选 D. 6.“ ”是“ ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 解析 ：因为 ，所以 或 ，因为min 2y min 3yk 32k 5km a x 3 3 5 8yk ( 1) ( )nx n N 2x n3424341 2 1 2 1 1 2 2 2 3 42 sin cos cos 2 0 22c o
4、 s 2 c o s s i n 0 si cos sin cos “ ” “ ”，但“ ” “ ”，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件， 故选 A. 7.对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 解析：因为 所以 A 选项正确；当 方向相反时，不成立， B 选项不成立，所以 B 选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以 C 选项正确； 所以 D 选项正确，故答案选 B. 8.根据右边的图，当输入 x 为 2006 时，输出的 （ ） A.28 B.10 C.4 D.2 【答案】 B 解析 ： 初始条件： ；第 1 次运行： ；第 2 次运行： ；第
5、 3 次运行： ； ；第 1003 次运行： ；第 1004 次运行： .不满足条件，停止运行，所以输出的 ， 故选 B. 9.设 ，若 ， ， ，则sin cos cos 2 0 sin cos cos 2 0 sin cos cos 2 0 ,ab| | | | |a b a b| | | | | |a b a b 22( ) | |a b a b 22( ) ( )a b a b a b | | | | | |a b a b y2006x 2004x 2002x2000x 0x 2x0?x 23 1 1 0y ( ) l n , 0f x x a b ()p f ab ()2abqf 1
6、 ( ( ) ( ) )2r f a f b 下列关系式中正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 解析 ： ； ；因为 ，由 是个递增函数， 所以 ，故答案选 10.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A， B 两种原料 .已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为 （ ） A.12 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元 【答案】 D 解析 ：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 、 吨，则利润 由题意可列 ，其表示如图阴影部分区域： q r pq r pp
7、 r qp r q1( ) l n l n2p f a b a b a b ( ) l n22a b a bqf 11( ( ) ( ) ) l n22r f a f b a b 2ab ab ( ) lnf x x ( ) ( )2abf f a b q p r C甲 乙 原料限额A ( 吨) 3 2 12B ( 吨) 1 2 8x y 34z x y3 2 1 22800xyxyxy 当直线 过点 时， 取得最大值，所以 ， 故选 D. 11.设复数 ，若 ，则 的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 解析 ： 如图可求得 ， ，阴影面积等于 若 ，则 的概率是 ， 故选
8、B. 12.对二次函数 （ a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 （ ） A.-1 是 的零点 B.1 是 的极值点 C.3 是 的极值 D. 点 在曲线 上 【答案】 A 解析：若选项 A 错误时，选项 B、 C、 D 正确， 因为 1 是 的极值点， 33 4 0x y z (2,3)A z m a x 3 2 4 3 1 8z ( 1)z x yi ( , )x y R | | 1z yx31421142112 112 2 2 2 2( 1 ) | | ( 1 ) 1 ( 1 ) 1z x y i z x y x y (1,1)A (1
9、,0)B 21 1 11 1 14 2 4 2 | | 1z yx 2111421 4 22()f x a x b x c ()fx()fx()fx(2,8) ()y f x()fx 是 的极值，所以 解得： 因为点（ 2,8）在曲线上，所以 4a+2b+c=8，即 4a+2（ -2a） +a+3=8.解得： a=5，所以 b=-10， c=8，所以 因为 所以 -1不是 的零点，所以选项 A 错误，选项 B、 C、 D 正确，故选 A. 二、填空题 （ 本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共 20 分 .） 13.中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为
10、 . 【答案】 解析 ：设数列的首项为 ，则 ，所以 ，故该数列的首项为 ，所以答案应填： . 14.若抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则 p= . 【答案】 解析： 抛物线 的准线方程是 ，双曲线 的一个焦点因为抛物线 的准线方程经过双曲线 的一个焦点，所以，解得 P= . 15.设曲线 在点（ 0,1）处的切线与曲线 上点 p 处的切线垂直，则 p 的坐标为 . 【答案】 解析 ：因为 ，所以 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率，设 的坐标为 （ ），则 ，因为 ，所以，所以曲线 在点 处的切线的斜率 ，因为 ，所以 ，即 ，解得 ，因为 ，所以 ，所以 ，即的坐标是 ，所以答案应填：
11、 . ()fx()y f x()fx51a 1 2 0 1 5 2 1 0 1 0 2 0 2 0a 1 5a5 52 2 ( 0 )y p x p 221xy222 2 ( 0 )y p x p2 2 ( 0 )y p x p22xye 1 ( 0)yxx 1,1xye xye xye 0,1010 1xk y e 00,xy 0 0x 0 01y x 1y x21y x 1y x 02 201xxky x 121kk 201 1x 20 1x 0 1x 0 0x 0 1x 0 1y 1,1 1,1 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示）
12、，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 . 【答案】 解析 ：建立空间直角坐标系，如图所示： 原始的最大流量是 ，设抛物线的方程为 （ ），因为该抛物线过点 ，所以 ，解得 ，所以 ，即 ，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是 ， 所以答案应填： . 三、解答题 （ 本大题共 6小题， 共 70 分 .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .） 17. 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .向量 与平行 . （ I）求 ； （ II）若 ， 求 的面积 . 解析： （）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A； （）利用 A，以及 ，通过余弦定理求出 c，然
13、后求解 ABC 的面积 . 答案 ：（ I）因为 ，所以 ， 由正弦定理，得 1.2 1 1 0 1 0 2 2 2 1 62 2 2x py 0p 5,2 22 2 5p 254p 2 252xy 2225yx 5 32 3 5 355 2 2 2 2 4 02 2 2 5 5 2 5 52 5 7 5 7 5 7 5 3x d x x x 16 1.2403 1.2C C a b c ,3m a b c o s , s inn 7a 2b C7 , 2ab/mn s i n 3 c o s 0a B b A-=s i n A s i n B 3 s i n B c o s A 0-= 又
14、，从而 ， 由于 ，所以 (II)解法一：由余弦定理，得 而 得 ，即 因为 ，所以 . 故 ABC 的面积为 . 解法二：由正弦定理，得 从而 又由 知 ，所以 故 ， 所以 面积为 . 18.如图 ，在直角梯形 中， ， ， ， ，是 的中点， 是 与 的交点 .将 沿 折起到 的位置，如图 . （ I）证明： 平面 ； （ II）若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值 . 解析：（ 1）运用 E 是 AD 的中点，判断得出 BE AC， BE面 A1OC，考虑 CD DE，即可判断sin 0 tan 3A =0 A 3A 2 2 2 2 c o sa b c b c A= + -7
15、 b 2,a =327 4 2cc= + - 2 2 3 0cc- - =0c 3c= 1 3 3b c s i n A22=72sinsin3B 21sin 7B ab AB 27cos7B s i n s i n ( ) s i n ( )3C A B B 3 2 1s i n c o s c o s s i n3 3 1 4BB ABC 1 3 3s i n22a b C 1 CD D/ C D2 C1 D2 D C 1 2CD 1 C1 CD 1 C 1CD CD面 A1OC. (II)先建立空间直角坐标系，再算出平面 和平面 的法向量，进而可得出平面与平面 夹角的余弦值 . 答案 ：
16、（ I）在图 1 中， 因为 AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点， BAD= ，所以 BE AC 即在图 2 中， BE ， BE OC 从而 BE 平面 又 CD/BE，所以 CD 平面 . (II)由已知，平面 平面 BCDE，又由（ 1）知， BE ， BE OC 所以 为二面角 的平面角，所以 . 如图，以 O 为原点，建立空间直角坐标系， 因为 , BC/ED 所以 得 ， . 设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，平面与平面 夹角为 ， 则 ，得 ，取 ， 1 C 1CD1 C 1CD2 1OA 1AOC 1AOC1ABE 1OA 1AOC 1- -CA BE 1OC
17、2A 11B = E = B C = E D = 1AA12 2 2 2( , 0 , 0 ) , E ( , 0 , 0 ) , A ( 0 , 0 , ) , C ( 0 , , 0 ) ,2 2 2 2B -22B C ( , , 0 ) ,22-122A C ( 0 , , )- C D B E ( 2 , 0 , 0 )= = -1BCA 1 1 1 1( , , )n x y z= 1CDA 2 2 2 2( , , )n x y z= 1BCA1CDA 11100n BCn A C 111100xyyz 1 (1,1,1)n = ，得 ，取 ， 从而 ， 即平面 与平面 夹角的余
18、弦值为 . 19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 ， 只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下： （分钟） 25 30 35 40 频数（次） 20 30 40 10 （ I）求 的分布列与数学期望 ； （ II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率 . 解析 ：（ I）先算出 的频率分布，进而可得 的分布列，再 利用数学期望公式可得数学期望 ；（ II） 先设事件 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 分钟”，再算出 的概率 . 答案 ：（ I
19、）由统计结果可得 T 的频率分步为 （分钟） 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得 T 的分布列为 25 30 35 40 0.2 0.3 0.4 0.1 从而 （分钟） (II)设 分别表示往、返所需时间， 的取值相互独立，且与 T 的分布列相同 .设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”，由于讲座时间为 50 分钟，所以事件 A 对应于“刘教授在途中的时间不超过 70 分钟” . 解法一： . 解法二：故 . 22100n CDn A C 22200xyz 2 (0,1,1)n 1226c o s | c o s , |332nn 1
20、BCA 1CDA 63 100 1202 5 0 . 2 3 0 0 . 3 3 5 0 . 4 4 0 0 . 1 3 2ET 12,TT 12,TT1 2 1 2 1 2( A ) P ( 7 0 ) P ( 2 5 , 4 5 ) P ( 3 0 , 4 0 )P T T T T T T 1 2 1 2P ( 3 5 , 3 5 ) P ( 4 0 , 3 0 )T T T T 1 0 . 2 1 0 . 3 0 . 9 0 . 4 0 . 5 0 . 1 0 . 9 1 1 2 1 2 1 2( A ) P ( 7 0 ) P ( 3 5 , 4 0 ) P ( 4 0 , 3 5 )
21、P T T T T T T= + = = = + = =12P ( 4 0 , 4 0 )TT+ = =0 . 4 0 . 1 0 . 1 0 . 4 0 . 1 0 . 1 0 . 0 9 ( A ) 1 P ( A ) 0 . 9 1P = - = 20.已知椭圆 （ ）的半焦距为 ，原点 到经过两点 ，的直线的距离为 . （ I）求椭圆 的离心率； （ II）如图， 是圆 的一条直径，若椭圆 经过 ， 两点，求椭圆 的方程 . 解析 ：（ I）先写过点 ， 的直线方程，再计算原点 到该直线的距离，进而可得椭圆 的离心率；（ II）先由（ I）知椭圆 的方程，设 的方程，联立 ，消去 ，可
22、得 和 的值，进而可得 ，再利用 可得 的值，进而可得椭圆 的方程 . 答案 ：（ I）过点 (c,0),(0,b)的直线方程为 ， 则原点 O 到直线的距离 ， 由 ，得 ，解得离心率 . (II)解法一：由（ I）知，椭圆 E 的方程为 . (1) 依题意，圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点，且 . 易知， AB 不与 x 轴垂直，设其直线方程为 ，代入 (1)得 设 则 由 ，得 解得 . 从而 . : 221xyab0ab c ,0c 0,b12c : 22 5212xy ,0c 0,b 2 2 22144y k xxyb y 12xx 12xx k 10 2b0bx cy bc
23、+ - =22b c b cd abc12dc= 2222a b a c= = - 32ca =2 2 244x y b+=| AB | 10=( 2 ) 1y k x= + +2 2 2 2( 1 4 ) 8 ( 2 1 ) 4 ( 2 1 ) 4 0k x k k x k b+ + + + + - =1 1 2 2( , y ) , B ( , y ) ,A x x221 2 1 2228 ( 2 1 ) 4 ( 2 1 ) 4,.1 4 1 4k k k bx x x xkk+ + -+ = - = -+124xx+ = - 28 ( 2 1 ) 4,14kkk+- = -+ 12k=2
24、12 82x x b=- 于是 . 由 ，得 ，解得 . 故椭圆 E 的方程为 . 解法二：由（ I）知，椭圆 E 的方程为 . (2) 依题意，点 A， B 关于圆心 M(-2,1)对称，且 . 设 则 ， ， 两式相减并结合 得 . 易知， AB 不与 x 轴垂直，则 ，所以 AB 的斜率 因此 AB 直线方程为 ，代入 (2)得 所以 ， . 于是 . 由 ，得 ，解得 . 故椭圆 E 的方程为 . 21.设 是等比数列 ， ， ， ， 的各项和，其中 ， ， . （ I）证明：函数 在 内有且仅有一个零点（记为 ），且； （ II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差
25、数列，其各项和为 ，比较 与 的大小，并加以证明 . 解析 ：（ I）先利用零点定理可证 在 内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证 在 内有且仅有一个零点，进而利用 是 的零点可证 2 2 21 2 1 2 1 215| A B | 1 | | 4 1 0 ( 2 )22x x x x x x b | AB | 10= 21 0 ( 2 ) 1 0b -= 2 3b=22112 3xy+=2 2 244x y b+=| AB | 10=1 1 2 2( , y ) , B ( , y ) ,A x x 2 2 21144x y b+= 2 2 22244x y b+=1 2 1 24 ,
26、 y 2 ,x x y+ = - + = ( )1 2 1 2- 4 ( ) 8 0x x y y- + - =12xx 12121k.2AByyxx-=-1 ( 2 ) 12yx= + + 224 8 2 0 .x x b+ + - =124xx+ = - 212 82x x b=- 2 2 21 2 1 2 1 215| A B | 1 | | 4 1 0 ( 2 )22x x x x x x b | AB | 10= 21 0 ( 2 ) 1 0b -= 2 3b=22112 3xy+=nfx 1 x 2x nx 0x n 2n F2nnx f x1,12 nx11122nnnxxngx
27、nfx ngxFnx 1,12Fnx 1,12 nx Fnx ；（ II）先设 ，再对 的取值范围进行讨论来判断与 的大小，进而可得 和 的大小 . 答案 ：（ I） 则 所以 在 内至少存在一个零点 . 又 ，故在 内单调递增， 所以 在 内有且仅有一个零点 . 因为 是 的零点，所以 ，即 ，故 . (II)解法一：由题设， 设 当 时 , 当 时 , 若 ,若 , 所以 在 上递增，在 上递减， 11122nnnxx nnh x f x g x x hx 0 nfx ngx2( ) ( ) 2 1 2 ,nnnF x f x x x x= - = + + + -(1) 1 0 ,nFn=
28、 - 12111 1 1 1 12( ) 1 2 2 0 ,12 2 2 2 212nnn nF ()nFx 1,12 nx1( ) 1 2 0nnF x x n x 1,12()nFx 1,12 nxnx ()nFx ( )=0nnFx 11 201 nnnxx+- -=- 111=+22nnnxx+( ) ( )11( ) .2nnnxgx +=( ) ( )2 11( ) ( ) ( ) 1 , 0 .2nnnn nxh x f x g x x x x x+= - = + + + - 1x= ( ) ( )nnf x g x=1x 11 1( ) 1 2 .2nn n n xh x x
29、n x 01x 1 1 1 11( ) 22n n n nnnh x x x n x x ( ) ( )1111 0.22nnn n n nxx-+= - =()hx (0,1) (1, ) 所以 ，即 . 综上所述，当 时 , ；当 时 解法二 由题设， 当 时 , 当 时 , 用数学归纳法可以证明 . 当 时 , 所以 成立 . 假设 时，不等式成立，即 . 那么，当 时， . 又 令 ，则所以当 , , 在 上递减； 当 , , 在 上递增 . 所以 ，从而 故 .即 ，不等式也成立 . 所以，对于一切 的整数，都有 . 解法三 :由已知，记等差数列为 ,等比数列为 , 则 ， 所以 ,
30、 ( ) (1) 0h x h1x= ( ) ( )nnf x g x=1x ( ) ( )nnf x g x 11( ) ( k 1 ) 1 1 ( x 1 )k k kkh x k x k k x k k x 01x ( ) 0khx ()khx (1, )( ) (1) 0kkh x h= ( )1k + 1 2 1 1() 2kkx k x kgx + + + + +11( ) ( )kkf x g x+ 11nk 01x 1 1nkx -+ ( ) 0kmx ()kmx (0,1) ()kmx (1, ) ( ) (1 ) 0kkm x m=0 1 ( 2 ) ,kkx x a b
31、k n 且 时 , 11ab= 11nnab+= ( ) ( )nnf x g x1x= ( ) ( )nnf x g x= 1x ( ) ( )nnf x g x D D CD CC D D D 3DC C2C D D DD C D D D C D B E D E D B 90 =3BA ADBC CD =2BC 32AB=22 4A C A B B C= - =D=3A2 = A DAB AE 2=ADABAE 23.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） .以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系， C 的极坐标方程为 . （ I）写出 C 的直角坐标方程 ； （ II） 为
32、直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求 的直角坐标 . 【答案】（ I） ；（ II） . 解析 ：（ I）先将 两边同乘以 可得 ，再利用 ，可得 C 的直角坐标方程 ；（ II）先设 的坐标，则 ，再利用二次函数的性质可得 的最小值，进而可得 的直角坐标 . 答案 ： （ I） 由 ， 从而有 . (II)设 ,则 ， 故当 t=0 时， |PC|取最小值，此时 P 点的直角坐标为（ 3， 0） . 24.已知关于 的不等式 的解集为 . （ I）求实数 ， 的值 ； （ II）求 的最大值 . 【答案】（ I） ， ；（ II） . 解析 ：（ I）先由 可得 ，再利用 关于 的不
33、等式 的解集为 可得 ， 的值；（ II）先将 变形为 ，再利用柯西不等式可得 的最大值 . 答案 ： （ I） 由 ，得 则 解得 , （ II） xy l13232xtyt t x2 3 sin l C 22 33xy 3,02 3 sin 2 2 3 s i n 2 2 2xy sinx 2C 1 2t C 22 3 s i n , 2 3 s i n 得 22 2 2+ 2 3 , + 3 3x y y x y 所 以13( 3 t , t ) , C ( 0 , 3 )22P + 又 22 213| P C | 3 3 1 222t t t x x a b 24xxa b12at bt3a 1b 4x a b b a x b a x x a b 24xx a b 3 1 2tt 34tt 3 1 2tt |x a b+ b a x b a- - -2,4,baba 3a=- 1b= 2 2 223 + 1 2 + 3 4 3 1 4t t t t t t 2 4 4tt= - + = 当且仅当 ，即 时等号成立， 故 . 413tt- = 1t=( ) m a x3 + 1 2 + 4tt-=
