1、2015 年江苏省宿迁市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 ) 1.-12的倒数是 ( ) A.-2 B.2 C.-12D.12解析 ： -12的倒数是 -2. 答案 ： A. 2.若等腰三角形中有两边长分别为 2 和 5，则这个三角形的周长为 ( ) A.9 B.12 C.7 或 9 D.9 或 12 解析 ： 当腰为 5 时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长 =5+5+2=12； 当腰长为 2 时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 所以这个三角形的周长是 12. 答案 ： B. 3.计算 (-a3)2的结果是 ( ) A.-a5 B.a5
2、 C.-a6 D.a6 解析 ： (-a3)2=a6. 答案 ： D 4.如图所示，直线 a， b 被直线 c 所截， 1 与 2 是 ( ) A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.邻补角 解析 ： 1 和 2 两个角都在两被截直线直线 b 和 a 同侧，并且在第三条直线 c(截线 )的同旁，故 1 和 2 是直线 b、 a 被 c 所截而成的同位角 . 答案 ： A. 5.函数 y= 2x ，自变量 x 的取值范围是 ( ) A.x 2 B.x 2 C.x 2 D.x 2 解析 ： 由题意得， x-2 0，解得 x 2. 答案 ： C. 6.已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多
3、边形的边数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 ： 设多边形的边数为 n，根据题意列方程得 (n-2) 180 =360， n-2=2， n=4. 答案 ： B. 7.在平面直角坐标系中，若直线 y=kx+b 经过第一、三、四象限，则直线 y=bx+k 不经过的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 ： 由一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限， k 0， b 0， 直线 y=bx+k 经过第一、二、四象限， 直线 y=bx+k 不经过第三象限 . 答案 ： C. 8.在平面直角坐标系中，点 A， B 的坐标分别为 (-3， 0)，
4、 (3， 0)，点 P 在反比例函数 y=2x的图象上，若 PAB 为直角三角形，则满足条件的点 P 的个数为 ( ) A.2 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 解析 ： 当 PAB=90时， P 点的横坐标为 -3，把 x=-3 代入 y=2x得 y=-23，所以此时 P 点有 1 个； 当 APB=90，设 P(x， 2x)， PA2=(x+3)2+(2x)2， PB2=(x-3)2+(2x)2， AB2=(3+3)2=36， 因为 PA2+PB2=AB2，所以 (x+3)2+(2x)2+(x-3)2+(2x)2=36， 整理得 x4-9x2+4=0，所以 x2=9 6 52，或 x
5、2=9 6 52，所以此时 P点有 4个， 当 PBA=90时， P 点的横坐标为 3，把 x=3 代入 y=2x得 y=23，所以此时 P点有 1个； 综上所述，满足条件的 P 点有 6 个 . 答案 ： D. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 ) 9.某市今年参加中考的学生大约为 45000 人，将数 45000 用科学记数法可以表示为 . 解析 ：将 45000 用科学记数法表示为 4.5 104. 答案： 4.5 104. 10.关于 x 的不等式组 2 1 31xax ，的解集为 1 x 3，则 a 的值为 . 解析 ： 2 1 31xax ， ，解不等
6、式得： x 1，解不等式得： x a-1， 不等式组 2 1 31xax ，的解集为 1 x 3， a-1=3， a=4. 答案： 4. 11. 因式分解： x3-4x= . 解析 ： x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2). 答案： x(x+2)(x-2) 12.方程 322xx =0 的解是 . 解析 ： 去分母得： 3(x-2)-2x=0， 去括号得： 3x-6-2x=0， 整理得： x=6， 经检验得 x=6 是方程的根 . 答案： x=6. 13.如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形，若 C=130，则 BOD= . 解析 ： A+ C=180， A=180 -1
7、30 =50， BOD=2 A=100 . 答案 ： 100. 14.如图，在 Rt ABC 中， ACB=90，点 D， E， F 分别为 AB， AC， BC 的中点 .若 CD=5，则EF 的长为 . 解析 ： ABC 是直角三角形， CD 是斜边的中线， CD=12AB， 又 EF 是 ABC 的中位线， AB=2CD=2 5=10cm， EF=12 10=5cm. 答案： 5. 15.如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为 (0， 4)，直线 y=34x-3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A， B，点 M 是直线 AB 上的一个动点，则 PM 长的最小值为 . 解析： 如图，过
8、点 P 作 PM AB，则： PMB=90， 当 PM AB 时， PM 最短， 因为直线 y=34x-3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A， B， 可得点 A 的坐标为 (4， 0)，点 B 的坐标为 (0， -3)， 在 Rt AOB 中， AO=4， BO=3， AB= 2234 =5， BMP= AOB=90， B= B， PB=OP+OB=7， PBM ABO， PB PMAB AO，即： 754PM，所以可得： PM=285. 答案： 28516.当 x=m 或 x=n(m n)时，代数式 x2-2x+3 的值相等，则 x=m+n 时，代数式 x2-2x+3 的值为 . 解析：
9、设 y=x2-2x+3， 当 x=m 或 x=n(m n)时，代数式 x2-2x+3 的值相等，2mn= 221 ， m+n=2， 当 x=m+n 时，即 x=2 时， x2-2x+3=(2)2-2 (2)+3=3. 答案： 3. 三、解答题 (本大题共 10 小题，共 72 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.计算： cos60 -2-1+ 22 -( -3)0. 解析： 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用二次根式性质化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 . 答案： 原式 =12-12+2-1=1. 18.(1
10、)解方程： x2+2x=3； (2)解方程组： 233 4 1xyxy ，解析： (1)先移项，然后利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解，然后解方程； (2)利用“加减消元法”进行解答 . 答案 ： (1)由原方程，得 x2+2x-3=0， 整理，得 (x+3)(x-1)=0， 则 x+3=0 或 x-1=0，解得 x1=-3， x2=1. (2) 233 4 1xyxy ，由 2+，得 5x=5，解得 x=1， 将其代入，解得 y=-1.故原方程组的解集是： 11xy，19.某校为了了解初三年级 1000 名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重 (均为整数，单
11、位： kg)分成五组 (A： 39.5 46.5； B： 46.5 53.5； C： 53.560.5； D： 60.5 67.5； E： 67.5 74.5)，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图 . 解答下列问题： (1)这次抽样调查的样本容量是 ，并补全频数分布直方图； (2)C 组学生的频率为 ，在扇形统计图中 D 组的圆心角是 度； (3)请你估计该校初三年级体重超过 60kg 的学生大约有多少名？ 解析： (1)根据 A 组的百分比和频数得出样本容量，并计算出 B 组的频数补全频数分布直方图即可； (2)由图表得出 C 组学生的频率，并计算出 D 组的圆心角即可； (3)根
12、据样本估计总体即可 . 答案 ： (1)这次抽样调查的样本容量是 4 8%=50， B 组的频数 =50-4-16-10-8=12， 补全频数分布直方图，如图： (2)C 组学生的频率是 0.32； D 组的圆心角 =1050 360 =72； (3)样本中体重超过 60kg 的学生是 10+8=18 人， 该校初三年级体重超过 60kg 的学生 =1850 100% 1000=360 人 . 20.一只不透明的袋子中装有 1 个白球、 1 个蓝球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同 . (1)从袋中随机摸出 1 个球，摸出红球的概率为 ； (2)从袋中随机摸出 1 个球 (不放回 )后，再从
13、袋中余下的 3 个球中随机摸出 1 个球 .求两次摸到的球颜色不相同的概率 . 解析： (1)直接利用概率公式求出摸出红球的概率； (2)利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可 . 答案 ： (1)从袋中随机摸出 1 个球，摸出红球的概率为： 2142. (2)如图所示： 所有的可能有 12 种，符合题意的有 10 种，故两次摸到的球颜色不相同的概率为： 10 512 6. 21.如图，已知 AB=AC=AD，且 AD BC，求证： C=2 D. 解析： 首先根据 AB=AC=AD，可得 C= ABC， D= ABD， ABC= CBD+ D；然后根据 AD BC，可得 CB
14、D= D，据此判断出 ABC=2 D，再根据 C= ABC，即可判断出 C=2 D. 答案 ： AB=AC=AD， C= ABC， D= ABD， ABC= CBD+ D， AD BC， CBD= D， ABC= D+ D=2 D， 又 C= ABC， C=2 D. 22.如图，观测点 A、旗杆 DE 的底端 D、某楼房 CB 的底端 C 三点在一条直线上，从点 A 处测得楼顶端 B 的仰角为 22，此时点 E 恰好在 AB 上，从点 D 处测得楼顶端 B 的仰角为 38.5 .已知旗杆 DE 的高度为 12 米，试求楼房 CB 的高度 .(参考数据： sin22 0.37， cos220.9
15、3， tan22 0.40， sin38.5 0.62， cos38.5 0.78， tan38.5 0.80) 解析： 由 ED 与 BC 都和 AC 垂直，得到 ED与 BC 平行，得到三角形 AED 与三角形 ABC 相似，由相似得比例，在直角三角形 AED 中，利用锐角三角函数定义求出 AD 的长，在直角三角形BDC 中，利用锐角三角函数定义求出 BC 的长即可 . 答案 ： ED AC， BC AC， ED BC， AED ABC， E D A DB C A D D C ， 在 Rt AED 中， DE=12 米， A=22， tan22 =12AD，即 AD= 12tan22=30
16、 米， 在 Rt BDC 中， tan BDC=BCDC，即 tan38.5 =BCDC=0.8， tan22 =30B C B CA D D C D C=0.4， 联立得： BC=24 米 . 23.如图，四边形 ABCD 中， A= ABC=90， AD=1， BC=3， E 是边 CD 的中点，连接 BE 并延长与 AD 的延长线相交于点 F. (1)求证：四边形 BDFC 是平行四边形； (2)若 BCD 是等腰三角形，求四边形 BDFC 的面积 . 解析： (1)根据同旁内角互补两直线平行求出 BC AD，再根据两直线平行，内错角相等可得 CBE= DFE，然后利用“角角边”证明 B
17、EC 和 FCD 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； (2)分 BC=BD 时，利用勾股定理列式求出 AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解； BC=CD 时，过点 C作 CG AF 于 G，判断出四边形 AGCB 是矩形，再根据矩形的对边相等可得 AG=BC=3，然后求出 DG=2，利用勾股定理列式求出 CG，然后利用平行四边形的面积列式计 算即可得解； BD=CD 时， BC 边上的中线应该与 BC垂直，从而得到 BC=2AD=2，矛盾 . 答案 (1) A= ABC=90， BC AD， CBE= DFE， 在
18、 BEC 与 FED 中， C B E D F EB E C F E DC E D E ， BEC FED， BE=FE， 又 E 是边 CD 的中点， CE=DE，四边形 BDFC 是平行四边形 . (2) BC=BD=3 时，由勾股定理得， AB= 2 2 2 231B D A D =2 2 ， 所以，四边形 BDFC 的面积 =3 2 2 =6 2 ； BC=CD=3 时，过点 C 作 CG AF 于 G，则四边形 AGCB是矩形， 所以， AG=BC=3， 所以， DG=AG-AD=3-1=2， 由勾股定理得， CG= 2 2 2 232C D D G = 5 ， 所以，四边形 BDF
19、C 的面积 =3 5 =3 5 ； BD=CD 时， BC 边上的中线应该与 BC 垂直，从而得到 BC=2AD=2，矛盾，此时不成立； 综上所述，四边形 BDFC 的面积是 6 2 或 3 5 . 24.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(8， 1)， B(0， -3)，反比例函数 y=kx(x 0)的图象经过点 A，动直线 x=t(0 t 8)与反比例函数的图象交于点 M，与直线 AB 交于点 N. (1)求 k 的值； (2)求 BMN 面积的最大值； (3)若 MA AB，求 t 的值 . 解析： (1)把点 A 坐标代入 y=kx(x 0)，即可求出 k 的值； (2)先求出直线
20、AB 的解析式，设 M(t， 8t)， N(t， 12t-3)，则 MN=8t-12t+3，由三角形的面积公式得出 BMN 的面积是 t 的二次函数，即可得出面积的最大值； (3)求出直线 AM 的解析式，由反比例函数解析式和直线 AM 的解析式组成方程组，解方程组求出 M 的坐标，即可得出结果 . 答案 ： (1)把点 A(8， 1)代入反比例函数 y=kx(x 0)得： k=1 8=8， y=8x， k=8. (2)设直线 AB 的解析式为： y=kx+b， 根据题意得： 813kbb，解得： k=12， b=-3， 直线 AB 的解析式为： y=12x-3； 设 M(t， 8t)， N(
21、t， 12t-3)，则 MN=8t-12t+3， BMN 的面积 S=12(8t-12t+3)t=-14t2+23t+4=-14(t-3)2+254， BMN 的面积 S 是 t 的二次函数， -14 0， S 有最大值， 当 t=3 时， BMN 的面积的最大值为 254； (3) MA AB，设直线 MA 的解析式为： y=-2x+c， 把点 A(8， 1)代入得： c=17，直线 AM 的解析式为： y=-2x+17， 解方程组 2 178yxy x ， 得：1612xy ， 或 81xy， (舍去 )， M 的坐标为 (12， 16)， t=12. 25.已知： O 上两个定点 A，
22、B 和两个动点 C， D， AC 与 BD 交于点 E. (1)如图 1，求证： EA EC=EB ED； (2)如图 2，若 弧 AB=弧 BC， AD 是 O 的直径，求证： AD AC=2BD BC； (3)如图 3，若 AC BD，点 O 到 AD 的距离为 2，求 BC 的长 . 解析： (1)根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论； (2)如图 2，连接 CD， OB 交 AC 于点 F 由 B 是弧 AC 的中点得到 BAC= ADB= ACB，且AF=CF=0.5AC.证得 CBF ABD.即可得到结论； (3)如图 3，连接 AO 并延长交 O
23、于 F，连接 DF 得到 AF 为 O 的直径于是得到 ADF=90，过 O 作 OH AD 于 H，根据三角形的中位线定理得到 DF=2OH=4，通过 ABE ADF，得到 1= 2，于是结论可得 . 答案： (1) EAD= EBC， BCE= ADE， AED BEC， AE DEBE CE， EA EC=EB ED. (2)如图 2，连接 CD， OB 交 AC 于点 F. B 是弧 AC 的中点， BAC= ADB= ACB，且 AF=CF=0.5AC. 又 AD 为 O 直径， ABC=90，又 CFB=90 . CBF ABD. CF BCBD AD，故 CF AD=BD BC.
24、 AC AD=2BD BC. (3)如图 3，连接 AO 并延长交 O 于 F，连接 DF， AF 为 O 的直径， ADF=90， 过 O 作 OH AD 于 H， AH=DH， OH DF， AO=OF， DF=2OH=4， AC BD， AEB= ADF=90， ABD= F， ABE ADF， 1= 2， 弧 BC=弧 DF， BC=DF=4. 26.如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 2a， 2b，点 A， D，G 在 y 轴上，坐标原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y=mx2过 C， F 两点，连接 FD 并延长交抛物线于点 M. (1)
25、若 a=1，求 m 和 b 的值； (2)求 ba的值； (3)判断以 FM 为直径的圆与 AB 所在直线的位置关系，并说明理由 . 解析： (1)由 a=1，根据正方形的性质及已知条件得出 C(2， 1).将 C 点坐标代入 y=mx2，求出m=14，则抛物线解析式为 y=14x2，再将 F(2b， 2b+1)代入 y=14x2，即可求出 b 的值； (2)由正方形 ABCD 的边长为 2a，坐标原点 O 为 AD 的中点，得出 C(2a， a).将 C 点坐标代入y=mx2，求出 m= 14a，则抛物线解析式为 y=14ax2，再将 F(2b， 2b+a)代入 y=14ax2，整理得出方程
26、 b2-2ab-a2=0，把 a 看作常数，利用求根公式得出 b=(1 2 )a(负值舍去 )，那么 ba=1+2 ； (3)先利用待定系数法求出直线 FD 的解析式为 y=x+a.再求出 M 点坐标为 (2a-2 2 a， 3a-22 a).又 F(2a+2 2 a， 3a+2 2 a)，利用中点坐标公式得到以 FM 为直径的圆的圆心 O的坐标为 (2a， 3a)，再求出 O到直线 AB(y=-a)的距离 d 的值，以 FM 为直径的圆的半径 r 的值，由 d=r，根据直线与圆的位置关系 可得以 FM 为直径的圆与 AB 所在直线相切 . 答案 ： (1) a=1，正方形 ABCD 的边长为
27、 2， 坐标原点 O 为 AD 的中点， C(2， 1). 抛物线 y=mx2过 C 点， 1=4m，解得 m=14，抛物线解析式为 y=14x2， 将 F(2b， 2b+1)代入 y=14x2， 得 2b+1=14 (2b)2， b=1 2 (负值舍去 ).故 m=14， b=1+ 2 . (2)正方形 ABCD 的边长为 2a，坐标原点 O 为 AD 的中点， C(2a， a). 抛物线 y=mx2过 C 点， a=m 4a2，解得 m=14a，抛物线解析式为 y=14ax2， 将 F(2b， 2b+a)代入 y= 14ax2，得 2b+a= 14a (2b)2，整理得 b2-2ab-a2
28、=0， 解得 b=(1 2 )a(负值舍去 )， ba=1+ 2 . (3)以 FM 为直径的圆与 AB 所在直线相切 .理由如下： D(0， a)， 可设直线 FD 的解析式为 y=kx+a， F(2b， 2b+a)， 2b+a=k 2b+a，解得 k=1， 直线 FD 的解析式为 y=x+a. 将 y=x+a 代入 y= 14ax2， 得 x+a= 14ax2，解得 x=2a 2 2 a(正值舍去 )， M 点坐标为 (2a-2 2 a， 3a-2 2 a). F(2b， 2b+a)， b=(1+ 2 )a， F(2a+2 2 a， 3a+2 2 a)， 以 FM 为直径的圆的圆心 O的坐标为 (2a， 3a)， O到直线 AB(y=-a)的距离 d=3a-(-a)=4a， 以 FM 为直径的圆的半径 r=O F= 222 2 2 2 3 2 2 3a a a a a a =4a， d=r，以 FM 为直径的圆与 AB 所在直线相切 .
