1、2015 年浙江省湖州市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分 ) 1. -5 的绝对值为 ( ) A.-5 B.5 C.-15D.15解析 ： -5 的绝对值为 5. 答案： B 2.当 x=1 时，代数式 4-3x 的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ： 当 x=1 时，原式 =4-3=1. 答案： A 3. 4 的算术平方根是 ( ) A. 2 B.2 C.-2 D.2 解析 ： 4 的算术平方根是 2 . 答案： B 4.若一个圆锥的侧面展开图是半径为 18cm，圆心角为 240的扇形，则这个圆锥的底面半径长是 ( ) A.6cm
2、B.9cm C.12cm D.18cm 解析 ： 圆锥的弧长为： 240 18180=24，圆锥的底面半径为 24 2 =12. 答案： C 5.已知一组数据的方差是 3，则这组数据的标准差是 ( ) A.9 B.3 C.32D. 3 解析 ： 数据的方差是 S2=3，这组数据的标准差是 3 . 答案： D 6.如图，已知在 ABC 中， CD是 AB 边上的高线， BE 平分 ABC，交 CD 于点 E， BC=5， DE=2，则 BCE 的面积等于 ( ) A.10 B.7 C.5 D.4 解析 ： 作 EF BC 于 F， BE 平分 ABC， ED AB， EF BC， EF=DE=2
3、， S BCE=12BC EF=12 5 2=5. 答案： C 7.一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是 ( ) A.49B.13C.16D.19解析 ：列表得： 共 9 种等可能的结果，两次都是黑色的情况有 1 种， 两次摸出的球都是黑球的概率为 19. 答案： D 8.如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C， OA 交小圆于点 D，若 OD=2，tan OAB=12，则 AB 的长是 ( ) A.4 B.2 3 C.8 D.4 3 解析 ：连接 OC， 大
4、圆的弦 AB 切小圆于点 C， OC AB， AB=2AC， OD=2， OC=2， tan OAB=12， AC=4， AB=8. 答案： C 9.如图， AC 是矩形 ABCD 的对角线， O 是 ABC 的内切圆，现将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG.点 F， G 分别在边 AD， BC 上，连结 OG， DG.若 OGDG，且 O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是 ( ) A.CD+DF=4 B.CD-DF=2 3 -3 C.BC+AB=2 3 +4 D.BC-AB=2 解析 ： 如图， 设 O 与 BC 的切点为 M，连接 MO 并延长
5、 MO交 AD于点 N， 将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG， OG=DG， OG DG， MGO+ DGC=90， MOG+ MGO=90， MOG= DGC， 在 OMG 和 GCD 中， 90O M G D C GM O G D G CO G D G ， OMG GCD， OM=GC=1， CD=GM=BC-BM-GC=BC-2. AB=CD， BC-AB=2. 设 AB=a， BC=b， AC=c， O 的半径为 r， O 是 Rt ABC 的内切圆可得 r=12(a+b-c)， c=a+b-2. 在 Rt ABC 中，由勾股定理可得 a2+
6、b2=(a+b-2)2，整理得 2ab-4a-4b+4=0， 又 BC-AB=2 即 b=2+a，代入可得 2a(2+a)-4a-4(2+a)+4=0， 解得 a1=1+ 3 ， a2=1- 3 (舍去 )， a=1+ 3 ， b=3+ 3 ， BC+AB=2 3 +4. 再设 DF=x，在 Rt ONF 中， FN=3+ 3 -1-x， OF=x， ON=1+ 3 -1= 3 ， 由勾股定理可得 (2+ 3 -x)2+( 3 )2=x2，解得 x=4- 3 ， CD-DF= 3 +1-(4- 3 )=2 3 -3， CD+DF= 3 +1+4- 3 =5. 综上只有选项 A 错误 . 答案：
7、 A. 10.如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中， O 是坐标原点，点 A 是函数 y=1x(x 0)图象上一点， AO 的延长线交函数 y= 2kx(x 0， k 是不等于 0 的常数 )的图象于点 C，点 A 关于 y 轴的对称点为 A，点 C 关于 x 轴的对称点为 C，交于 x 轴于点 B，连结 AB， AA， A C .若 ABC 的面积等于 6，则由线段 AC， CC， C A， A A 所围成的图形的面积等于 ( ) A.8 B.10 C.310 D.46 解析 ：过 A 作 AD x 轴于 D，连接 OA， 点 A 是函数 y=1x(x 0)图象上一点，设 A(a， 1a)
8、， 点 C 在函数 y= 2kx(x 0， k 是不等于 0 的常数 )的图象上，设 C(b， 2kb)， AD BD， BC BD， OAD BCO， 2 22A D OB C OS O D aS O B b ， S ADO=12， S BOC= 22k， k2=(ba)2， k=-ba， S ABC=S AOB+S BOC=12(-1a) b+ 22k=6， k2-ba=12， k2+k-12=0， 解得： k=3， k=-4(不合题意舍去 )， 点 A 关于 y 轴的对称点为 A，点 C 关于 x 轴的对称点为 C， 1= 2， 3= 4， 1+ 4= 2+ 3=90， OA， OC在同
9、一条直线上， S OBC =S OBC= 22k=92， S OAA =2S OAD=1， 由线段 AC， CC， C A， A A 所围成的图形的面积 =S OBC+S OBC +S OAA =10. 答案： B. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 ) 11.计算： 23 (12)2= . 解析 ： 23 (12)2=8 14=2， 答案： 2 12.放学后，小明骑车回家，他经过的路程 s(千米 )与所用时间 t(分钟 )的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是 千米 /分钟 . 解析 ： 由纵坐标看出路程是 2 千米， 由横坐标看出时间是 10 分钟， 小明的骑车速
10、度是 2 10=0.2(千米 /分钟 ). 答案： 0.2 13.在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中， 10 位评委给某校的评分情况下表所示： 则这 10 位评委评分的平均数是 分 . 解析 ： 这 10 位评委评分的平均数是： (80+85 2+90 5+95 2) 10=89(分 ). 答案： 89 14.如图，已知 C， D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点， O 是圆心，半径 OA=2， COD=120，则图中阴影部分的面积等于 . 解析 ： 图中阴影部分的面积 =12 22- 2120 2360=2 -43 =23 . 答案： 23 15.如图，已知抛物线 C1： y
11、=a1x2+b1x+c1和 C2： y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为 A， B，与 x 轴的另一交点分别为 M， N，如果点 A 与点 B，点 M 与点 N 都关于原点 O 成中心对称，则称抛物线 C1和 C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线 C1和 C2，使四边形 ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是 和 . 解析 ： 连接 AB， 根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零， 设抛物线 C1的解析式为 y=ax2+bx， 根据四边形 ANBM 恰好是矩形可得： OA=OM， OA=MA， AOM 是等
12、边三角形， 设 OM=2，则点 A 的坐标是 (1， 3 )，则 30 4 2abab，解得： 323ab ，则抛物线 C1 的解析式为 y=- 3 x2+2 3 x，抛物线 C2 的解析式为 y= 3 x2+2 3 x. 答案： y=- 3 x2+2 3 x， y= 3 x2+2 3 x. 16.已知正方形 ABC1D1的边长为 1，延长 C1D1到 A1，以 A1C1为边向右作正方形 A1C1C2D2，延长C2D2到 A2，以 A2C2为边向右作正方形 A2C2C3D3(如图所示 )，以此类推 .若 A1C1=2，且点 A， D2，D3， D10都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D1
13、0的边长是 . 解析： 延长 D4A 和 C1B 交于 O， AB A2C1， AOB D2OC2，2 2 2OB ABOC D C ， AB=BC1=1， D2C2=C1C2=2，2 2 212O B A BO C D C， OC2=2OB， OB=BC2=3， OC2=6， 设正方形 A2C2C3D3的边长为 x1， 同理证得： D2OC2 D3OC3，11266xx ，解得 x1=3，正方形 A2C2C3D3的边长为 3， 设正方形 A3C3C4D4的边长为 x2， 同理证得： D3OC3 D4OC4，22399xx ，解得 x2=92 ，正方形 A3C3C4D4的边长为 92 ； 设正
14、方形 A4C4C5D5的边长为 x3， 同理证得： D4OC4 D5OC5，339 2722272x x ，解得 x=274， 正方形 A4C4C5D5的边长为 274； 以此类推 . 正方形 An-1Cn-1CnDn的边长为 2332nn；正方形 A9C9C10D10的边长为 8732 . 答案： 8732 . 三、解答题 (本题有 8 个小题，共 66 分 ) 17.计算： 22aba b a b. 解析： 原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果 . 答案 ：原式 = 22 a b a baba b a b =a+b. 18.解不等式组 242 1 1.xx ，解析： 先求出每
15、个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可 . 答案 ： 242 1 1 .xx ，解不等式得： x 6，解不等式得： x 1，不等式组的解集为 1 x 6. 19.已知 y 是 x 的一次函数，当 x=3 时， y=1；当 x=-2 时， y=-4，求这个一次函数的解析式 . 解析： 一次函数解析式为 y=kx+b，将 x 与 y 的两对值代入求出 k 与 b 的值，即可确定出一次函数解析式 . 答案 ：设一次函数解析式为 y=kx+b， 将 x=3， y=1； x=-2， y=-4 代入得： 3124kbkb ，解得： k=1， b=-2. 则一次函数解析式为 y=x
16、-2. 20.如图，已知 BC 是 O 的直径， AC 切 O 于点 C， AB 交 O 于点 D， E为 AC 的中点，连结DE. (1)若 AD=DB， OC=5，求切线 AC 的长； (2)求证： ED 是 O 的切线 . 解析： (1)连接 CD，由直径所对的圆周角为直角可得： BDC=90，即可得： CD AB，然后根据 AD=DB，进而可得 CD 是 AB 的垂直平分线，进而可得 AC=BC=2OC=10； (2)连接 OD，先由直角三角形中线的性质可得 DE=EC，然后根据等边对等角可得 1= 2，由OD=OC，根据等边对等角可得 3= 4，然后根据切线的性质可得 2+ 4=90
17、，进而可得： 1+ 3=90，进而可得： DE OD，从而可得： ED 是 O 的切线 . 答案 (1)连接 CD， BC 是 O 的直径， BDC=90，即 CD AB， AD=DB， OC=5， CD 是 AB 的垂直平分线， AC=BC=2OC=10； (2)连接 OD，如图所示， ADC=90， E 为 AC 的中点， DE=EC=12AC， 1= 2， OD=OC， 3= 4， AC 切 O 于点 C， AC OC， 1+ 3= 2+ 4=90，即 DE OD， ED 是 O 的切线 . 21.为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈
18、”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团 .为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表 (不完整 )： 根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1)求本次调查的学生总人数及 a， b， c 的值； (2)将条形统计图补充完整； (3)若该校共有 1200 名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数 . 解析： (1)先计算出本次调查的学生总人数，再分别计算出百分比，即可解答； (2)根据百分比，计算出文学鉴赏和手工编织的人数，即可补全条形统计图； (3)用总人数乘以“科学实验”社团的百分比，即可解答 . 答案 ： (1)本次调查
19、的学生总人数是： 70 35%=200(人 )， b=40 200=20%， c=10 200=5%， a=1-(35%+20%+10%+5%)=30%. (2)文学鉴赏的人数： 30% 200=60(人 )， 手工编织的人数： 10% 200=20(人 )， 如图所示， (3)全校选择“科学实验”社团的学生人数： 1200 35%=420(人 ). 22. 某工厂计划在规定时间内生产 24000 个零件 .若每天比原计划多生产 30 个零件，则在规定时间内可以多生产 300 个零件 . (1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数； (2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常
20、生产的同时，引进 5 组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比 20 个工人原计划每天生产的零件总数还多 20%.按此测算，恰好提前两天完成 24000 个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数 . 解析： (1)可设原计划每天生产的零件 x 个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间 =工作总量工作效率，即可求得规定的天数； (2)可设原计划安排的工人人数为 y 人，根据等量关系：恰好提前两天完成 24000 个零件的生产任务，列出方程求解即可 . 答案 ： (1)设原计划每天生产的零件 x 个， 依题意有 2 4 0
21、0 0 2 4 0 0 0 3 0 030xx ，解得 x=2400， 经检验， x=2400 是原方程的根，且符合题意 . 规定的天数为 24000 2400=10(天 ). 答：原计划每天生产的零件 2400 个，规定的天数是 10 天； (2)设原计划安排的工人人数为 y 人， 依题意有 5 20 (1+20%) 2400y+2400 (10-2)=24000，解得 y=480， 经检验， y=480 是原方程的根，且符合题意 . 答：原计划安排的工人人数为 480 人 . 23. 问题背景 已知在 ABC 中， AB 边上的动点 D 由 A 向 B 运动 (与 A， B 不重合 )，点
22、 E 与点 D 同时出发，由点 C 沿 BC 的延长线方向运动 (E 不与 C 重合 )，边结 DE 交 AC 于点 F，点 H 是线段 AF 上一点 . (1)初步尝试 如图 1，若 ABC 是等边三角形， DH AC，且点 D， E 的运动速度相等 . 求证： HF=AH+CF. 小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题： 思路一：过点 D 作 DG BC，交 AC 于点 G，先证 DH=AH，再证 GF=CF，从而证得结论成立； 思路二：过点 E作 EM AC，交 AC 的延长线于点 M，先证 CM=AH，再证 HF=MF，从而证得结论成立 . 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过
23、程 (如用两种方法作答，则以第一种方法评分 )； (2)类比探究 如图 2，若在 ABC 中， AB=AC， ADH= BAC=36，且 D， E 的运动速度之比是 3 ： 1，求ACHF 的值； (3)延伸拓展 如图 3，若在 ABC 中， AB=AC， ADH= BAC=36，记 BCAB=m，且点 D， E 运动速度相等，试用含 m 的代数式表示 ACHF(直接写出结果，不必写解答过程 ). 解析： (1)过点 D作 DG BC，交 AC 于点 G，先证明 ADG 是等边三角形，得出 GD=AD=CE，再证明 GH=AH，由 ASA 证明 GDF CEF，得出 GF=CF，即可得出结论；
24、 (2)过点 D 作 DG BC，交 AC 于点 G，先证出 AH=GH=GD， AD= 3 GD，由题意 AD= 3 CE，得出GD=CE，再证明 GDF CEF，得出 GF=CF，即可得出结论； (3)过点 D 作 DG BC，交 AC 于点 G，先证出 DG=DH=AH，再证明 ADG ABC， ADG DGH， DGH ABC，得出 DG BCAD AB=m， G F D G D GC F C E A D=m， DGH ABC，得出 GH BCDG AB=m， GHAH=m，证明 DFG EFC，得出 GF DGFC CE=m， GH GFAH FC=m， 1AH FCHF m ，即可
25、得出结果 . 答案： (1)证明 (选择思路一 )：过点 D 作 DG BC，交 AC 于点 G，如图 1所示： 则 ADG= B， AGD= ACB， ABC 是等边三角形， A= B= ACB=60， ADG= AGD= A， ADG 是等边三角形， GD=AD=CE， DH AC， GH=AH， DG BC， GDF= CEF， DGF= ECF， 在 GDF 和 CEF 中， G D F C E FG D C ED G F E C F ， GDF CEF(ASA)， GF=CF， GH+GF=AH+CF，即 HF=AH+CF. (2)过点 D 作 DG BC，交 AC 于点 G，如图
26、2所示： 则 ADG= B=90， BAC= ADH=30， HGD= HDG=60， AH=GH=GD， AD= 3 GD， 根据题意得： AD= 3 CE， GD=CE， DG BC， GDF= CEF， DGF= ECF， 在 GDF 和 CEF 中， G D F C E FG D C ED G F E C F ， GDF CEF(ASA)， GF=CF， GH+GF=AH+CF， 即 HF=AH+CF， ACHF=2. (3) 1AC mHF m，理由如下：过点 D 作 DG BC，交 AC 于点 G，如图 3所示： 则 ADG= B， AGD= ACB， AB=AC， BAC=36，
27、 ACB= B= ADG= AGD=72， ADH= BAC=36， AH=DH， DHG=72 = AGD， DG=DH=AH， ADG ABC， ADG DGH， DG BCAD AB=m， G F D G D GC F C E A D=m， DGH ABC， GH BCDG AB=m， GHAH=m， DG BC， DFG EFC， GF DGFC CE=m， GH GFAH FC=m， 即 HFAH FC=m， AH FCHF=1m， 111A C A H F C H F mH F H F m m . 24.已知在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点，线段 AB 的两个端点 A
28、(0， 2)， B(1， 0)分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，点 C 为线段 AB 的中点，现将线段 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 90得到线段 BD，抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)经过点 D. (1)如图 1，若该抛物线经过原点 O，且 a=-13. 求点 D 的坐标及该抛物线的解析式； 连结 CD，问：在抛物线上是否存在点 P，使得 POB 与 BCD 互余？若存在，请求出所有满足条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； (2)如图 2，若该抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)经过点 E(1， 1)，点 Q 在抛物线上，且满足 QOB与 BCD 互余 .若符合条件的
29、Q 点的个数是 4 个，请直接写出 a 的取值范围 . 解析： (1)过点 D作 DF x 轴于点 F，先通过三角形全等求得 D 的坐标，把 D 的坐标和 a=-13 ， c=0 代入 y=ax2+bx+c 即可求得抛物线的解析式； 先证得 CD x 轴，进而求得要使得 POB 与 BCD 互余，则必须 POB= BAO，设 P 的坐标为 (x， -13x2+43x)，分两种情况讨论即可求得； (2)若符合条件的 Q 点的个数是 4 个，则当 a 0 时，抛物线交于 y 轴的负半轴，当 a 0 时，最小值得 -1，解不等式即可求得 . 答案： (1)过点 D 作 DF x 轴于点 F，如图 1
30、， DBF+ ABO=90， BAO+ ABO=90， DBF= BAO， 又 AOB= BFD=90， AB=BD， 在 AOB 和 BFD 中，D B F B A OA O B B F DA B B D ， AOB BFD(AAS)， DF=BO=1， BF=AO=2， D 的坐标是 (3， 1)， 根据题意，得 a=-13， c=0，且 a 32+b 3+c=1， b=43， 该抛物线的解析式为 y=-13x2+43x； 点 A(0， 2)， B(1， 0)，点 C 为线段 AB 的中点， C(12， 1)， C、 D 两点的纵坐标都为 1， CD x 轴， BCD= ABO， BAO
31、与 BCD 互余， 要使得 POB 与 BCD 互余，则必须 POB= BAO， 设 P 的坐标为 (x， -13x2+43x)， ( )当 P 在 x 轴的上方时，过 P 作 PG x轴于点 G，如图 2， 则 tan POB=tan BAO，即 PG BOOG AO， 214 1332xxx ，解得 x1=0(舍去 )， x2=52 ， -13 x2+43 x=54 ， P 点的坐标为 (52 ， 54 )； ( )当 P 在 x 轴的上方时，过 P 作 PG x轴于点 G，如图 3. 则 tan POB=tan BAO，即 PG BOOG AO， 2141332xxx ，解得 x1=0(
32、舍去 )， x2=112 ， 21433xx=-114， P 点的坐标为 (52， -114)； 综上，在抛物线上是否存在点 P(52， 54)或 (52， -114)，使得 POB 与 BCD 互余 . (2)如图 3， D(3， 1)， E(1， 1)， 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 E、 D， 代入可 得 19 3 1abca b c ，解得 413baca，所以y=ax2-4ax+3a+1. 分两种情况： 当抛物线 y=ax2+bx+c 开口向下时，若满足 QOB 与 BCD 互余且符合条件的 Q 点的个数是4 个，则点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个 . (i)当点 Q 在
33、x 轴的下方时，直线 OQ 与抛物线有两个交点，满足条件的 Q有 2个； (ii)当点 Q 在 x 轴的上方时，要使直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点必须在 x 轴的正半轴上，与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴，所以 3a+1 0，解得 a -13； 当抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上时，点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个， (i)当点 Q 在 x 轴的上方时，直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，符合条件的点 Q 有两个； (ii)当点 Q 在 x 轴的下方时，要使直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，符合条件的点Q 才两个 . 根据 (2)可知，要使得 QOB 与 BCD 互余，则必须 POB= BAO， tan QOB=tan BAO= 12OBOA，此时直线 OQ的斜率为 -12，则直线 OQ的解析式为 y=-12x，要使直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，所以方程 ax2-4ax+3a+1=-12x 有两个不相等的实数根，所以 =(-4a+12)2-4a(3a+1) 0，即 4a2-8a+14 0，解得 a 4 154(a4 154 舍去 ) 综上所示， a 的取值范围为 a -13或 a 4 154.
