1、2015 年湖南省邵阳市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分 ) 1.计算 (-3)+(-9)的结果是 ( ) A.-12 B.-6 C.+6 D.12 解析 ： (-3)+(-9)=-(3+9)=-12. 答案 ： A 2.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意； B、圆锥的左视图是等腰三角形，符合题意； C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意； D、长方体的左视图是矩形，不符合题意 . 答案 ： B 3. 2011 年 3 月，英国和新加坡研究人员制造出观测极限为 0.000 0
2、00 05 米的光学显微镜，其中 0.000 000 05 米用科学记数法表示正确的是 ( ) A.0.5 10-9米 B.5 10-8米 C.5 10-9米 D.5 10-7米 解析 ： 0.000 000 05 米用科学记数法表示为 5 10-8米 . 答案 ： B 4.如图是某校参加各兴趣 小组的学生人数分布扇形统计图，则参加人数最多的兴趣小组是( ) A.棋类 B.书画 C.球类 D.演艺 解析 ： 根据扇形统计图中扇形的面积越大，参加的人数越多， 因为 35% 30% 20% 10%5%， 所以 参加球类的人数最多 . 答案 ： C 5.将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知 1=3
3、0，则 2 的大小是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.65 解析 ： 1+ 3=90， 1=30， 3=60 . 直尺的两边互相平行， 2= 3=60 . 答案 ： C 6.已知 a+b=3， ab=2，则 a2+b2的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 ： a+b=3， ab=2， a2+b2=(a+b)2-2ab=32-22 =5. 答案 ： C 7.如图，四边形 ABCD 内接于 O，已知 ADC=140，则 AOC 的大小是 ( ) A.80 B.100 C.60 D.40 解析 ： 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， ABC+ ADC=180， ABC
4、=180 -140=40 . AOC=2 ABC=80 . 答案： A 8.不等式组 2 1 330xx ， 的整数解的个数是 ( ) A.3 B.5 C.7 D.无数个 解析 ： 2 1 330xx ，解得： x -2， 解得： x 3. 则不等式组的解集是： -2 x 3. 则整数解是： -1， 0， 1， 2， 3 共 5 个 . 答案： B 9.如图，在等腰 ABC 中，直线 l 垂直底边 BC，现将直线 l 沿线段 BC 从 B 点匀速平移至 C点，直线 l 与 ABC 的边相交于 E、 F 两点 .设线段 EF 的长度为 y，平移时间为 t，则下图中能较好反映 y 与 t 的函数关
5、系的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：作 AD BC 于 D，如图，设点 F 运动的速度为 1， BD=m， ABC 为等腰三角形， B= C， BD=CD， 当点 F 从点 B 运动到 D 时，如图 1， 在 Rt BEF 中， tanB=EFCF， y=tanB t(0 t m)； 当点 F 从点 D 运动到 C 时，如图 2， 在 Rt CEF 中， tanC=EFCF， y=tanC CF=tanC (2m-t)=-tanB t+2mtanB(m t 2m). 答案： B 10.如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB=4， BC=3，矩形在直线 l 上绕其右下角的顶点 B
6、 向右旋转 90至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转 90至图位置，以此类推，这样连续旋转 2015 次后，顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ( ) A.2015 B.3019.5 C.3018 D.3024 解析 ： 转动一次 A 的路线长是： 90 3 3180 2 ， 转动第二次的路线长是： 90 5 5180 2 ， 转动第三次的路线长是： 90 4180=2， 转动第四次的路线长是： 0， 转动五次 A 的路线长是： 90 3180=32， 以此类推，每四次循环， 故顶点 A 转动四次经过的路线长为： 32+52+2 =6， 2015 4=503 余 3， 顶点 A 转
7、动四次经过的路线长为： 6 504=3024 . 答案 ： D 二、填空题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分 ) 11.多项式 a2-4 因式分解的结果是 . 解析 ： a2-4=(a+2)(a-2). 答案 ： (a+2)(a-2). 12.如图，在 ABCD 中， E、 F 为对角线 AC 上两点，且 BE DF，请从图中找出一对全等三角形： . 解析 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC， DAC= BCA， BE DF， DFC= BEA， AFD= BEC， 在 ADF 与 CEB 中， D A C B C AA F D B E CA D B C ， ADF
8、 BEC(AAS). 答案 ： ADF BEC. 13.下列计算中正确的序号是 . 2 5 - 5 =2； sin30 = 32； |-2|=2. 解析 ： 2 5 - 5 = 5 ，故错误； sin30 =12，故错误； |-2|=2，正确 . 答案： 14.某同学遇到一道不会做的选择题，在四个选项中有且只有一个是正确的，则他选对的概率是 . 解析 ： 四个选项中有且只有一个是正确的，他选对的概率是 14. 答案： 14. 15.某正 n 边形的一个内角为 108，则 n= . 解析 ： 正 n边形的一个内角为 108，正 n边形的一个外角为 180 -108 =72， n=360 72 =
9、5. 答案： 5 16.关于 x 的方程 x2+2x-m=0 有两个相等的实数根，则 m= . 解析 ： 关于 x 的方程 x2+2x-m=0 有两个相等的实数根， =0， 22-4 1 (-m)=0，解得m=-1. 答案 ： -1 17.如图，某登山运动员从营地 A 沿坡角为 30的斜坡 AB 到达山顶 B，如果 AB=2000 米，则他实际上升了 米 . 解析 ： 过点 B 作 BC水平面于点 C， 在 Rt ABC 中， AB=2000 米， A=30， BC=ABsin30 =2000 12=1000. 答案 ： 1000 18.抛物线 y=x2+2x+3 的顶点坐标是 . 解析 ：
10、y=x2+2x+3=x2+2x+1-1+3=(x+1)2+2，抛物线 y=x2-2x+3 的顶点坐标是 (-1， 2). 答案： (-1， 2). 三、解答题 (共 3 小题，满分 24 分 ) 19.解方程组： 241.xyxy ， 解析 ： 方程组利用加减消元法求出解即可 . 答案 ： 241.xyxy ， +得： 3x=3，即 x=1，把 x=1 代入得： y=2， 则方程组的解为 12.xy， 20.先化简 21 2 222xxxx （ ），再从 0， 1， 2 中选一个合适的 x 的值代入求值 . 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把 x=
11、1代入计算即可求出值 . 答案 ： 原式 = 242xxxx 22xx =42x，当 x=1 时，原式 =32. 21.如图，等边 ABC 的边长是 2， D、 E 分别为 AB、 AC 的中点，延长 BC 至点 F，使 CF=12BC，连接 CD 和 EF. (1)求证： DE=CF； (2)求 EF 的长 . 解析 ： (1)直接利用三角形中位线定理得出 DE 平行等于 12BC，进而得出 DE=FC； (2)利用平行四边形的判定与性质得出 DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出 EF 的长 . 答案 (1) D、 E 分别为 AB、 AC 的中点， DE 平行等于 12BC
12、， 延长 BC 至点 F，使 CF=12BC， DE 平行等于 FC，即 DE=CF. (2) DE 平行等于 FC，四边形 DEFC 是平行四边形， DC=EF， D 为 AB 的中点，等边 ABC 的边长是 2， AD=BD=1， CD AB， BC=2， DC=EF= 3 . 四、应用题 (共 3 个小题，每小题 8 分，共 24 分 ) 22.亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了 100 名初中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表 . 请根据图表信息解答下列问题： (1)a= ； (2)补全条
13、形统计图； (3)小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的时间在什么范围内？ (4)据了解该市大约有 30 万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在 1小时以上的人数 . 解析： (1)用样本总数 100 减去 A、 B、 D、 E 类的人数即可求出 a 的值； (2)由 (1)中所求 a 的值得到 C 类别的人数，即可补全条形统计图； (3)根据中位数的定义，将这组数据按从小到大的顺序排列，求出第 50 与第 51 个数的平均数得到中位数，进而求解即可； (4)用 30 万乘以样本中每天进行体育锻炼时间在 1 小时以上的人数所占的百分比即可
14、. 答案 ： (1)a=100-(5+20+30+10)=35. (2)补全条形统计图如下所示： (3)根据中位数的定义可知，这组数据的中位数落在 C 类别，所以小王每天进行体育锻炼的时间范围是 1 t 1.5； (4)30 35 30 10100=22.5(万人 ). 即估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在 1 小时以上的人数是 22.5 万人 . 23.为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40 元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量 y(件 )与销售单价 x(元 )满足一次函数关系： y=-10x+1200. (1)求出
15、利润 S(元 )与销售单价 x(元 )之间的关系式 (利润 =销售额 -成本 )； (2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 解析： (1)根据“总利润 =单件的利润销售量”列出二次函数关系式即可； (2)将得到的二次函数配方后即可确定最大利润 . 答案 ： (1)S=y(x-40)=(x-40)(-10x+1200)=-10x2+1600x-48000； (2)S=-10x2+1600x-48000=-10(x-80)2+16000， 则当销售单价定为 80 元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是 16000 元 . 24.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直
16、角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF与地面保持平行，并使边 DE与旗杆顶点 A在同一直线上，已知 DE=0.5 米， EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米，到旗杆的水平距离 DC=20米，求旗杆的高度 . 解析： 根据题意可得： DEF DCA，进而利用相似三角形的性质得出 AC 的长，即可得出答案 . 答案 ：由题意可得： DEF DCA，则 DE EFDC AC， DE=0.5 米， EF=0.25 米， DG=1.5m， DC=20m， 0.5 0.2520 AC，解得： AC=10， 故 AB=AC+BC=1
17、0+1.5=11.5(m)， 答：旗杆的高度为 11.5m. 五、综合题 (共 2 个小题， 25 题 8 分， 26 题 10分，共 18分 ) 25.已知在 Rt ABC 中， ACB=90，现按如下步骤作图： 分别以 A， C 为圆心， a 为半径 (a 12AC)作弧，两弧分别交于 M， N 两点； 过 M， N 两点作直线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E； 将 ADE 绕点 E 顺时针旋转 180，设点 D 的像为点 F. (1)请在图中直线标出点 F 并连接 CF； (2)求证：四边形 BCFD 是平行四边形； (3)当 B 为多少度时，四边形 BCFD 是菱形 .
18、解析： (1)根据题意作出图形即可； (2)首先根据作图得到 MN是 AC的垂直平分线，然后得到 DE等于 BC的一半，从而得到 DE=EF，即 DF=BC，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可； (3)得到 BD=CB 后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可 . 答案 ： (1)如图所示： (2)根据作图可知： MN 垂直平分线段 AC， D、 E 为线段 AB 和 AC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， DE=12BC， 将 ADE 绕点 E 顺时针旋转 180，点 D 的像为点 F， EF=ED， DF=BC， DE BC，四边形 BCFD 是平行四边形
19、 . (3)当 B=60时，四边形 BCFD 是菱形； B=60， BC=12AB， DB=12AB， DB=CB， 四边形 BCFD 是平行四边形，四边形 BCFD 是菱形 . 26.如图，已知直线 y=x+k 和双曲线 y= 1kx(k 为正整数 )交于 A， B 两点 . (1)当 k=1 时，求 A、 B 两点的坐标； (2)当 k=2 时，求 AOB 的面积； (3)当 k=1 时， OAB 的面积记为 S1，当 k=2 时， OAB 的面积记为 S2，依此类推，当k=n 时， OAB 的面积记为 Sn，若 S1+S2+ +Sn=1332，求 n 的值 . 解析： (1)由 k=1
20、得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到 A、B 两点的坐标； (2)先由 k=2 得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到 A、 B两点的坐标；再求出直线 AB 的解析式，得到直线 AB 与 y 轴的交点 (0， 2)，利用三角形的面积公式，即可解答 . (3)根据当 k=1 时， S1=12 1 (1+2)=32，当 k=2 时， S2=12 2 (1+3)=4，得到当 k=n时， Sn=12n(1+n+1)=12n2+n，根据若 S1+S2+ +Sn=1332，列出等式，即可解答 . 答案 ： (1)当 k=1 时，直线 y=x+k 和双曲线
21、y= 1kx化为： y=x+1 和 y=2x， 解 12yxy x ， 得 21xy，12xy， A(1， 2)， B(-2， -1)， (2)当 k=2 时，直线 y=x+k 和双曲线 y= 1kx化为： y=x+2 和 y=3x， 解 23yxy x ， 得 31xy，13xy， A(1， 3)， B(-3， -1) 设直线 AB 的解析式为： y=mx+n， 313mnmn ， 12mn，直线 AB 的解析式为： y=x+2 直线 AB 与 y 轴的交点 (0， 2)， S AOB=12 2 1+12 2 3=4. (3)当 k=1 时， S1=12 1 (1+2)=32， 当 k=2 时， S2=12 2 (1+3)=4， 当 k=n 时， Sn=12n(1+n+1)=12n2+n， S1+S2+ +Sn=1332， 12 (12+22+32+ +n2)+(1+2+3+ n)=1332， 整理得： 12 1 2 1 162n n n n n =1332，解得： n=6.
