1、2015年福建省三明市中考真题数学 一、选择题 (共 10 题，每题 4 分，满分 40 分，每题只有一个正确选项 ) 1.下列各数中，绝对值最大的数是 ( ) A.5 B.-3 C.0 D.-2 解析 ： |5|=5， |-3|=3， |0|=0， |-2|=2， 5 3 2 0，绝对值最大的数是 5. 答案： A 2.一个正常人的心跳平均每分 70 次，一天大约跳 100800 次，将 100800 用科学记数法表示为 ( ) A.0.1008 106 B.1.008 106 C.1.008 105 D.10.08 104 解析 ： 100800=1.008 105. 答案： C. 3.如
2、图是由 4 个完全相同的小正方形组成的几何体，这个几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 观察该几何体发 现：其主视图的第一层有两个正方形，上面有一个正方形，且位于左侧 . 答案： D. 4.下列计算正确的是 ( ) A.22=4 B.20=0 C.2-1=-2 D. 4 =2 解析 ： 22=4，选项 A 正确； 20=1，选项 B 不正确； 2-1=12，选项 C 不正确； 4 =2，选项 D 不正确 . 答案： A 5.在九 (1)班的一次体育测试中，某小组 7 位女生的一分钟跳绳次数分别是： 162， 167， 158，165， 175， 142， 167，这组数据
3、的中位数是 ( ) A.156 B.162 C.165 D.167 解析 ： 这组数据按照从小到大的顺序排列为： 142， 158， 162， 165， 167， 167， 175，第四个数为 165，则中位数为： 165. 答案： C. 6.如图，在 ABCD 中， O 是对角线 AC， BD 的交点，下列结论错误的是 ( ) A.AB CD B.AB=CD C.AC=BD D.OA=OC 解析 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD， AB=CD， OA=OC，但是 AC和 BD 不一定相等 . 答案： C. 7.在一个不透明的盒子里装有 3 个黑球和 1 个白球，每个球除颜色外
4、都相同，从中任意摸出2 个球，下列事件中，不可能事件是 ( ) A.摸出的 2 个球都是白球 B.摸出的 2 个球有一个是白球 C.摸出的 2 个球都是黑球 D.摸出的 2 个球有一个黑球 解析 ： A、只有一个白球，故 A 是不可能事件，故 A 正确； B、摸出的 2 个球有一个是白球是随机事件，故 B 错误； C、摸出的 2 个球都是黑球是随机事件，故 C 错误； D、摸出的 2 个球有一个黑球是随机事件，故 D 错误 . 答案： A 8.在半径为 6 的 O 中， 60圆心角所对的弧长是 ( ) A. B.2 C.4 D.6 解析 ： l= 6 0 61 8 0 1 8 0nr=2 .
5、答案： B 9.如图，在 ABC 中， ACB=90，分别以点 A 和 B 为圆心，以相同的长 (大于 12AB)为半径作弧，两弧相交于点 M和 N，作直线 MN 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 CD，下列结论错误的是 ( ) A.AD=BD B.BD=CD C. A= BED D. ECD= EDC 解析 ： MN 为 AB 的垂直平分线， AD=BD， BDE=90； ACB=90， CD=BD； A+ B= B+ BED=90， A= BED； A 60， AC AD， EC ED， ECD EDC. 答案： D 10.如图，已知点 A 是双曲线 y=2x在第一象限的分支上
6、的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B，过点 A作 y 轴的垂线，过点 B 作 x 轴的垂线，两垂线交于点 C，随着点 A 的运动，点 C 的位置也随之变化 .设点 C 的坐标为 (m， n)，则 m， n 满足的关系式为 ( ) A.n=-2m B.n=-2mC.n=-4m D.n=-4m解析： 点 C 的坐标为 (m， n)， 点 A 的纵坐标是 n，横坐标是： 2n，点 A 的坐标为 (2n， n)， 点 C 的坐标为 (m， n)， 点 B 的横坐标是 m，纵坐标是： 2m，点 B 的坐标为 (m， 2m)， 又 22n mnm， mn=2m 2n， m2n2=4， 又 m
7、0， n 0， mn=-2， n=-2m. 答案： B. 二、填空题 (共 6 题，每题 4 分，满分 24 分 ) 11.化简：211xx = . 解析： 原式 = 111 1 1xx x x . 答案： 11x12.某班数学老师想了解学生对数学的喜欢程度，对全班 50 名学生进行调查，根据调查结果绘制了扇形统计图 (如图所示 )，其中 A 表示“很喜欢”， B 表示“一般”， C 表示“不喜欢”，则该班“很喜欢”数学的学生有 人 . 解析： 根据题意得： (1-16%-48%) 50=18(人 )，则该班“很喜欢”数学的学生有 18 人 . 答案： 18 13.在一次函数 y=kx+3 中
8、， y 的值随着 x 值的增大而增大，请你写出符合条件的 k 的一个值： . 解析： 当在一次函数 y=kx+3 中， y 的值随着 x 值的增大而增大时， k 0，则符合条件的 k的值可以是 1， 2， 3， 4， 5 答案： 2 14.如图，正五边形 ABCDE 内接于 O，则 CAD= 度 . 解析： 五边形 ABCDE 是正五边形， 弧 AB=弧 BC=弧 CD=弧 DE=弧 EA=72， ADB=12 72 =36 . 答案： 36 15.观察下列图形的构成规律，依照此规律，第 10 个图形中共有 个“ ” . 解析： 由图形可知： n=1 时，“ ”的个数为： 1 2+1=3， n
9、=2 时，“ ”的个数为： 2 3+1=7， n=3 时，“ ”的个数为： 3 4+1=13， n=4 时，“ ”的个数为： 4 5+1=21， 所以 n=n 时，“ ”的个数为： n(n+1)+1， n=10 时，“ ”的个数为： 10 11+1=111. 答案： 111 16.如图，在 ABC 中， ACB=90， AB=5， BC=3， P 是 AB 边上的动点 (不与点 B 重合 )，将 BCP沿 CP所在的直线翻折，得到 B CP，连接 B A，则 B A长度的最小值是 . 解析： 在 Rt ABC 中，由勾股定理可知： AC= 2 2 2 253A B B C =4， 由轴对称的性
10、质可知： BC=CB =3， CB长度固定不变，当 AB +CB有最小值时， AB的长度有最小值 . 根据两点之间线段最短可知： A、 B、 C 三点在一条直线上时， AB有最小值， AB =AC-B C=4-3=1. 答案： 1 三、解答题 (共 9 题，满分 86 分 ) 17.先化简，再求值： (x-1)2+x(x+2)，其中 x= 2 . 解析： 原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 =x2-2x+1+x2+2x=2x2+1， 当 x= 2 时，原式 =4+1=5. 18.解不等式组
11、2 5 33 2 2 4xxx， ，并把解集在数轴上表示出来 . 解析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上，再表示出它们的公共部分即可 . 答案： 2 5 33 2 2 4xxx， ，解得： x -1，解得： x 2. 不等式组的解集是： -1 x 2. 19.如图，一条河的两岸 l1， l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸 l1上选取一个点 A，然后在河岸 l2时选择点 B，使得 AB与河岸垂直，接着沿河岸 l2走到点 C 处，测得 BC=60 米， BCA=62，请你帮小颖算出河宽 AB(结果精确到 1米 ).(参考数据：
12、sin62 0.88， cos62 0.47， tan62 1.88) 解析： 在直角三角形 ABC 中，利用锐角三角函数定义求出 AB 的长即可 . 答案： 在 Rt ABC 中， BC=60 米， BCA=62， 可得 tan BCA=ABBC，即 AB=BC tan BCA=60 1.88 113(米 )，则河宽 AB 为 113 米 . 20.某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的 20 位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后
13、两行的数据中有一个是错误的 . 根据以上信息，解答下列问题： (1)统计表中的 a= ， b= ； (2)统计表后两行错误的数据是 ，该数据的正确值是 ； (3)校园小记者决定从 A， B， C 三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用画树状图或列表的方法，求 A， B 都被采访到的概率 . 解析： (1)根据频率 =本频 数样 总 数直接求得 a、 b 的值即可； (2)用频数除以样本总数看是否等于已知的频率即可； (3)列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 . 答案： (1)由题意得： a=20 0.20=4， b=3 20=0.15； (2) 6 20=0.3 0.32
14、，最后一行数据错误，正确的值为 0.30. (3)列表得： 共有 6 种等可能的结果， A、 B 都被选中的情况有 2 种， P(A， B 都被采访到 )=2163. 21.某一天，蔬菜经营户老李用了 145 元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了 90 元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？ 解析： 设批发的黄瓜是 x 千克，茄子是 y 千克，根据“用了 145 元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，卖完这些黄瓜和茄子共赚了 90 元，”列出方程组解答即可 . 答案： 设批发的黄瓜是 x 千克，茄子是 y
15、 千克， 由题意得 3 4 1 4 54 3 7 4 9 0xyxy ，解得 1525xy，答：这天他批发的黄瓜 15 千克，茄子是 25 千克 . 22.已知二次函数 y=-x2+2x+m. (1)如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围； (2)如图，二次函数的图象过点 A(3， 0)，与 y 轴交于点 B，直线 AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点 P，求点 P 的坐标 . 解析： (1)由二次函数的图象与 x 轴有两个交点，得到 =22+4m 0 于是得到 m -1； (2)把点 A(3， 0)代入二次函数的解析式得到 m=3，于是确定二次函数的解析式为： y=-x
16、2+2x+3，求得 B(0， 3)，得到直线 AB 的解析式为： y=-x+3，把对称轴方程 x=1，直线 y=-x+3 即可得到结果 . 答案： (1)二次函数的图象与 x 轴有两个交点， =22+4m 0 m -1. (2)二次函数的图象过点 A(3， 0)， 0=-9+6+m， m=3，二次函数的解析式为： y=-x2+2x+3， 令 x=0，则 y=3， B(0， 3)， 设直线 AB 的解析式为： y=kx+b， 033kbb，解得： 13kb，直线 AB 的解析式为： y=-x+3， 抛物线 y=-x2+2x+3，的对称轴为： x=1，把 x=1 代入 y=-x+3 得 y=2，
17、P(1， 2). 23.已知： AB 是 O 的直径，点 P 在线段 AB 的延长线上， BP=OB=2，点 Q 在 O 上，连接 PQ. (1)如图，线段 PQ 所在的直线与 O 相切，求线段 PQ 的长； (2)如图，线段 PQ 与 O 还有一个公共点 C，且 PC=CQ，连接 OQ， AC 交于点 D. 判断 OQ 与 AC 的位置关系，并说明理由； 求线段 PQ 的长 . 解析： (1)如图，连接 OQ.利用切线的性质和勾股定理来求 PQ 的长度 . (2)如图，连接 BC.利用三角形中位线的判定与性质得到 BC OQ.根据圆周角定理推知 BC AC，所以， OQ AC. (3)利用割
18、线定理来求 PQ 的长度即可 . 答案： (1)如图，连接 OQ. 线段 PQ 所在的直线与 O 相切，点 Q 在 O 上， OQ OP. 又 BP=OB=OQ=2， PQ= 2 2 2 242O P O Q =2 3 ，即 PQ=2 3 . (2)OQ AC.理由如下：如图，连接 BC. BP=OB，点 B 是 OP 的中点， 又 PC=CQ，点 C 是 PQ 的中点， BC 是 PQO 的中位线， BC OQ. 又 AB 是直径， ACB=90，即 BC AC， OQ AC. (3)如图， PC PQ=PB PA，即 12PQ2=2 6，解得 PQ=2 6 . 24.如图，在平面直角坐标系
19、中，顶点为 A(1， -1)的抛物线经过点 B(5， 3)，且与 x 轴交于C， D 两点 (点 C 在点 D 的左侧 ). (1)求抛物线的解析式； (2)求点 O 到直线 AB 的距离； (3)点 M 在第二象限内的抛物线上，点 N 在 x 轴上，且 MND= OAB，当 DMN 与 OAB 相似时，请你直接写出点 M 的坐标 . 解析： (1)根据待定系数法，可得抛物线的解析式； (2)根据勾股定理，可得 OA2、 OB2、 AB2的长，根据勾股定理的逆定理，可得 OAB 的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案； (3)根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程，根据相似三角形的性质，
20、可得方程，根据解方程组，可得 M 点的坐标 . 答案： (1)设抛物线的解析式为 y=a(x-1)2-1， 将 B 点坐标代入函数解析式，得 (5-1)2a-1=3，解得 a=14. 故抛物线的解析式为 y=14(x-1)2-1； (2)由勾股定理，得 OA2=12+12=2， OB2=52+32=34， AB2=(5-1)2+(3+1)2=32， OA2+AB2=OB2， OAB=90， O 到直线 AB 的距离是 OA= 2 . (3)设 M(a， b)， N(a， 0) 当 y=0 时， 14(x-1)2-1=0，解得 x1=3， x2=-1， D(3， 0)， DN=3-a. 当 MN
21、D OAB 时， NM DNOA AB，即 32 4 2ba ，化简，得 4b=a-3 M 在抛物线上，得 b=14(a-1)2-1 联立，得 2431 4 1 1baba ，解得 a1=3(不符合题意，舍 )， a2=-2， b=54， M1(-2， 54)， 当 MND BAO 时， MN NDBA OA，即 34 2 2ba ， 化简，得 b=12-4a，联立，得 21 2 41 114baba ，解得 a1=3(不符合题意，舍 )， a2=-17， b=12-4 (-17)=80， M2(-17， 80). 综上所述：当 DMN 与 OAB 相似时，点 M 的坐标 (-2， 54)，
22、(-17， 80). 25.在正方形 ABCD 中，点 E， F 分别在边 BC， CD 上，且 EAF= CEF=45 . (1)将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG(如图 )，求证： AEG AEF； (2)若直线 EF 与 AB， AD 的延长线分别交于点 M， N(如图 )，求证： EF2=ME2+NF2； (3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变 (如图 )，请你直接写出线段 EF，BE， DF 之间的数量关系 . 解析： (1)根据旋转的性质可知 AF=AG， EAF= GAE=45，故可证 AEG AEF； (2)将 ADF绕着点 A顺时针旋转 90
23、，得到 ABG，连结 GM.由 (1)知 AEG AEF，则 EG=EF.再由 BME、 DNF、 CEF 均为等腰直角三角形，得出 CE=CF， BE=BM， NF= 2 DF，然后证明 GME=90， MG=NF，利用勾股定理得出 EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明 EF2=ME2+NF2； (3)将 ADF绕着点 A顺时针旋转 90，得到 ABG，根据旋转的性质可以得到 ADF ABG，则 DF=BG，再证明 AEG AEF，得出 EG=EF，由 EG=BG+BE，等量代换得到 EF=BE+DF. 答案： (1) ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG， AF=AG，
24、FAG=90， EAF=45， GAE=45， 在 AGE 与 AFE 中， 45A G A FG A E F A EA E A E ， AGE AFE(SAS). (2)设正方形 ABCD 的边长为 a. 将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG，连结 GM.则 ADF ABG， DF=BG. 由 (1)知 AEG AEF， EG=EF. CEF=45， BME、 DNF、 CEF 均为等腰直角三角形， CE=CF， BE=BM， NF= 2 DF， a-BE=a-DF， BE=DF， BE=BM=DF=BG， BMG=45， GME=45 +45 =90， EG2=ME2+MG2， EG=EF， MG= 2 BM= 2 DF=NF， EF2=ME2+NF2. (3)EF2=2BE2+2DF2.
