1、2014 年四川省雅安市中考 真题 数学 一、单项选择题 (共 12 小题，每小题 3分，共 36分 ) 1.(3 分 ) 0的值是 ( ) A. B.0 C.1 D.3.14 解 析 ： 0=1， 答案： C. 2.(3 分 )在下列四个立体图形中，俯视图为正方形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、俯视图是一个圆，故本选项错误； B、俯视图是带圆心的圆，故本选项错误； C、俯视图是一个圆，故本选项错误； D、俯视图是一个正方形，故本选项正确； 答案： D. 3.(3 分 )某市约有 4500000 人，该数用科学记数法表示为 ( ) A.0.4510 7 B.4.510 6
2、 C.4.510 5 D.4510 5 解 析 ： 4 500 000=4.510 6. 答案： B. 4.(3 分 )数据 0， 1， 1， x， 3， 4 的平均数是 2，则这组数据的中位数是 ( ) A.1 B.3 C.1.5 D.2 解 析 ： 数据 0， 1， 1， x， 3， 4 的平均数是 2， (0+1+1+x+3+4)6=2 ， 解得： x=3， 把这组数据从小到大排列 0， 1， 1， 3， 3， 4， 最中间两个数的平均数是 (1+3)2=2 ， 则这组数据的中位数是 2； 答案： D. 5.(3 分 )下列计算中正确的是 ( ) A. + = B. =3 C.a6=(a
3、3)2 D.b-2=-b2 解 析 ： A、先通分，再加减，故 A 错误； B、负数的立方根是负数，故 B 错误； C、幂的乘方底数不变指数相乘，故 C 正确； D、 b-2= ，故 D 错误； 答案： C. 6.(3 分 )若 m+n=-1，则 (m+n)2-2m-2n 的值是 ( ) A.3 B.0 C.1 D.2 解 析 ： m+n= -1， (m+n)2-2m-2n =(m+n)2-2(m+n) =(-1)2-2 (-1) =1+2 =3. 答案： A. 7.(3 分 )不等式组 的最小整数解是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解 析 ： ， 解 得： x1 ， 解 得： x
4、2， 则不等式的解集为 x 2， 故不等式的最小整数解为 3. 答案： C. 8.(3 分 )如图， ABCD 为正方形， O 为对角线 AC、 BD 的交点，则 COD 绕点 O 经过下列哪种旋转可以得到 DOA ( ) A.顺时针旋转 90 B.顺时针旋转 45 C.逆时针旋转 90 D.逆时针旋转 45 解 析 ： 四边形 ABCD 为正方形， COD=DOA=90 ， OC=OD=OA， COD 绕点 O 逆时针旋转得到 DOA ，旋转角为 COD 或 DOA ， 答案： C. 9.(3 分 )a、 b、 c 是 ABC 的 A 、 B 、 C 的对边，且 a： b： c=1： ： ，
5、则 cosB 的值为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： a ： b： c=1： ： ， b= a， c= a， a 2+b2=a2+( a)2=3a2=c2， ABC 是直角三角形， C=90 ， cosB= = = . 答案： B. 10.(3 分 )在平面直角坐标系中， P 点关于原点的对称点为 P1(-3， - )， P 点关于 x 轴的对称点为 P2(a、 b)，则 =( ) A.-2 B.2 C.4 D.-4 解 析 ： P 点关于原点的对称点为 P1(-3， - )， P (3， )， P 点关于 x 轴的对称点为 P2(a， b)， P 2(3， - )， = =-2.
6、 答案： A. 11.(3 分 )在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，且 AE： ED=3： 1， CE 的延长线与 BA 的延长线交于点 F，则 SAFE ： S 四边形 ABCE为 ( ) A.3： 4 B.4： 3 C.7： 9 D.9： 7 解 析 ： 在平行四边形 ABCD 中， AEBC ， AD=BC， FAEFBC ， AE ： ED=3： 1， = ， = ， S AFE ： S 四边形 ABCE=9： 7. 答案： D. 12.(3 分 )如图， ABCD 为正方形， O 为 AC、 BD 的交点， DCE 为 Rt ， CED=90 ， DCE=30 ，若
7、OE= ，则正方形的面积为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解 析 ：如图，过点 O 作 OMCE 于 M，作 ONDE 交 ED 的延长线于 N， CED=90 ， 四边形 OMEN 是矩形， MON=90 ， COM+DOM=DON+DOM ， COM=DON ， 四边形 ABCD 是正方形， OC=OD ， 在 COM 和 DON 中， ， COMDON (AAS)， OM=ON ， 四边形 OMEN 是正方形， 设正方形 ABCD 的边长为 2a，则 OC=OD= 2a= a， CED=90 ， DCE=30 ， DE= CD=a， 由勾股定理得， CE= = = a， 四边形
8、 OCED 的面积 = a a+ ( a)( a)= ( )2， 解得 a2=1， 所以，正方形 ABCD 的面积 =(2a)2=4a2=41=4 . 答案： B. 二、填空题 (共 5 小题，每小题 3 分，共 15分 ) 13.(3 分 )函数 y= 的自变量 x 的取值范围为 . 解析： 由题意得， x+10 ， 解得 x -1. 答案： x -1. 14.(3 分 )已知：一组数 1， 3， 5， 7， 9， ，按此规律，则第 n 个数是 . 解析： 1=21 -1， 3=22 -1， 5=23 -1， 7=24 -1， 9=25 -1， ， 则第 n 个数是 2n-1. 答案： 2n
9、-1. 15.(3 分 )若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为 “V” 数，如 756，326，那么从 2， 3， 4 这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V” 数的概率为 _ . 解析： 由 2， 3， 4 这三个数字组成的无重复数字为 234， 243， 324， 342， 432， 423 六个，而 “V” 数有 2 个， 故从 2， 3， 4 这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是 “V” 数的概率为 = ， 答案： . 16.(3 分 )在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，则直线 y=x+ 与以 O 点为圆心， 1
10、 为半径的圆的位置关系为 . 解析： 令 y=x+ =0，解得： x=- ， 令 x=0，解得： y= ， 所以直线 y=x+ 与 x 轴交于点 (- ， 0)，与 y 轴交于点 (0， )， 设圆心到直线 y=x+ 的距离为 d， 则 d= =1， 圆的半径 r=1， d=r ， 直线 y=x+ 与以 O 点为圆心， 1 为半径的圆的位置关系为相切， 答案： 相切 . 17.(3 分 )关于 x 的方程 x2-(2m-1)x+m2-1=0 的两实数根为 x1， x2，且 x12+x22=3，则 m= . 解析： 方程 x2-(2m-1)x+m2-1=0 的两实数根为 x1， x2， x 1+
11、x2=2m-1， x1x2=m2-1， x 12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m-1)2-2(m2-1)=3， 解得： x1=0， x2=2(不合题意，舍去 )， m=0 ； 答案： 0. 三、解答题 (共 69 分，解答时要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程 ) 18.(12 分 )(1)|- |+(-1)2014-2cos45+ . (2)先化简，再求值： ( - )，其中 x= +1， y= -1. 解析： (1)原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果； (2)原式括
12、号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 x 与 y 的值代入计算即可求出值 . 答案： (1)原式 = +1-2 +4=5； (2)原式 = = = ， 当 x= +1， y= -1 时， xy=1， x+y=2 ， 则原式 = = . 19.(8 分 )某老师对本班所有学生的数学考试成绩 (成绩为整数，满分为 100 分 )作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)求 a， b 的值； (2)补全频数分布直方图； (3)老师准备从成绩不低于 80 分的学生中选 1 人介绍学习经验，那
13、么被选中的学生其成绩不低于 90 分的概率是多少？ 解析： (1)根据第一组的频数和频率求出总人数，再用总人数乘以 59.5 69.5 的频率，求出a 的值，再用 8 除以总人数求出 b 的值； (2)根据 (1)求出的 a 的值可补全频数分布直方图； (3)根据图表所给出的数据得出成绩不低于 80 分的学生中选 1 人有 24 种结果，其成绩不低于 90 分的学生有 8 种结果，再根据概率公式即可得出答案 . 答案： (1)学生总数是： =50(人 )， a=500.08=4 (人 )， b= =0.16； (2)根据 (1)得出的 a 的值，补图如下： (3)从成绩不低于 80 分的学生中
14、选 1 人有 24 种结果， 其中成绩不低于 90 分的学生有 8 种结果，故所求概率为 = . 20.(8 分 )某地要在规定的时间内安置一批居民，若每个月安置 12 户居民，则在规定时间内只能安置 90%的居民户；若每个月安置 16 户居民，则可提前一个月完成安置任务，问要安置多少户居民？规定时间为多少个月？ (列方程 (组 )求解 ) 解析： 设安置 x 户居民，规定时间为 y 个月 .等量关系为：若每个月安置 12 户居民，则在规定时间内只能安置 90%的居民户；若每个月安置 16 户居民，则可提前一个月完成安置任务 . 答案： 设安置 x 户居民，规定时间为 y 个月 . 则： ，
15、所以 12y=0.916 (y-1)， 所以 y=6， 则 x=16(y-1)=80. 即原方程组的解为： . 答：需要安置 80 户居民，规定时间为 6 个月 . 21.(9 分 )如图：在 ABCD 中， AC 为其对角线，过点 D 作 AC 的平行线与 BC 的延长线交于 E. (1)求证： ABCDCE ； (2)若 AC=BC，求证：四边形 ACED 为菱形 . 解析： (1)利用 AAS 判定两三角形全等即可； (2)首先证得四边形 ACED 为平行四边形，然后证得 AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可 . 答案： (1) 四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD
16、， AB=CD， B=1 ， 又 DEAC 2=E ， 在 ABC 与 DCE 中， ， ABCDCE ； (2) 平行四边形 ABCD 中， ADBC ， 即 ADCE ， 由 DEAC ， ACED 为平行四边形， AC=BC ， B=CAB ， 由 ABCD ， CAB=ACD ， 又 B=ADC ， ADC=ACD ， AC=AD ， 四边形 ACED 为菱形 . 22.(10 分 )如图，已知反比例函数 y= 的图象与正比例函数 y=kx 的图象交于点 A(m， -2). (1)求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点 B 的坐标； (2)试根据图象写出不等式 kx 的解集； (3
17、)在反比例函数图象上是否存在点 C，使 OAC 为等边三角形？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)把点 A 的坐标代入 y= 求出 m 的值，再运用 A 的坐标求出 k，两函数解析式联立得出 B 点的坐标 . (2)把 k 的值代入不等式，讨论当 a 0 和当 a 0 时分别求出不等式的解 . (3)讨论当 C在第一象限时， OAC 不可能为等边三角形，当 C在第三象限时，根据 |OA|=|OC|，求出点 C 的坐标，再看 AC 的值看是否构成等边三角形 . 答案： (1)把 A(m， -2)代入 y= ，得 -2= ， 解得 m=-1， A (-1， -2)代
18、入 y=kx， -2=k (-1)，解得， k=2， y=2x ， 又由 2x= ，得 x=1 或 x=-1(舍去 )， B (1， 2)， (2)k=2 ， kx 为 2x ， 根据图象可得：当 x -1 和 0 x1 时，反比例函数 y= 的图象恒在正比例函数 y=2x 图象的上方，即 2x . (3) 当点 C 在第一象限时， OAC 不可能为等边三角形， 如图，当 C 在第三象限时，要使 OAC 为等边三角形，则 |OA|=|OC|，设 C(t， )(t 0)， A (-1， -2) OA= t 2+ =5，则 t4-5t2+4=0， t 2=1， t=-1，此时 C 与 A 重合，舍
19、去， t2=4， t=-2， C (-2， -1)，而此时 |AC|= ， |AC|AO| ， 不存在符合条件的点 C. 23.(10分 )如图， O 的直径 CD垂直于弦 AB，垂足为 E， F为 DC延长线上一点，且 CBF=CDB. (1)求证： FB 为 O 的切线； (2)若 AB=8， CE=2，求 sinF. 解析： (1)连接 OB，根据圆周角定理证得 CBD=90 ，然后根据等边对等角以及等量代换，证得 OBF=90 即可证得； (2)首先利用垂径定理求得 BE 的长，然后根据 OBEOBF ，利用相似三角形的性质求得OF 的长，则 sinF 即可求解 . 答案： (1)连接
20、 OB. CD 是直径， CBD=90 ， 又 OB=OD ， OBD=D ， 又 CBF=D ， CBF=OBD ， CBF+OBC=OBD+OBC ， OBF=CBD=90 ，即 OBBF ， FB 是圆的切线； (2)CD 是圆的直径， CDAB ， BE= AB=4， 设圆的半径是 R，在直角 OEB 中，根据勾股定理得： R2=(R-2)2+42， 解得： R=5， BOE=FOB ， BEO=OBF ， OBEOBF ， OB 2=OEOF， OF= = ， 则在直角 OBF 中， sinF= = = . 24.(12 分 )如图，直线 y=-3x-3 与 x 轴、 y 轴分别相交
21、于点 A、 C，经过点 C 且对称轴为 x=1的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A、 B 两点 . (1)试求点 A、 C 的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点 M 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度的速度由点 B向点 A运动，同时，点 N在线段OC 上以相同的速度由点 O 向点 C 运动 (当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动 )，又 PNx 轴，交 AC 于 P，问在运动过程中，线段 PM 的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由 . 解析： (1)根据直线解析式 y=-3x-3，将 y=0 代入求出 x 的值，得到直线与 x 轴交点
22、A 的坐标，将 x=0 代入求出 y 的值，得到直线与 y 轴交点 C的坐标； (2)根据抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=1，且过点 A(-1， 0)、 C(0， -3)，列出方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式； (3)由对称性得点 B(3， 0)，设点 M 运动的时间为 t 秒 (0t3 )，则 M(3-t， 0)， N(0， -t)，P(xP， -t)，先证明 CPNCAO ，根据相似三角形对应边成比例列出比例式 = ，求出xP= -1.再过点 P 作 PDx 轴于点 D，则 D( -1， 0)，在 PDM 中利用勾股定理得出 PM2=MD2+PD2=(- +4)2+(-
23、t)2= (25t2-96t+144)，利用二次函数的性质可知当 t= 时， PM2最小值为 ，即在运动过程中，线段 PM 的长度存在最小值 . 答案： (1)y= -3x-3， 当 y=0 时， -3x-3=0，解得 x=-1， A (-1， 0)； 当 x=0 时， y=-3， C (0， -3)； (2) 抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=1，过点 A(-1， 0)、 C(0， -3)， ，解得 ， 抛物线的解析式为 y=x2-2x-3； (3)由对称性得点 B(3， 0)，设点 M 运动的时间为 t 秒 (0t3 )，则 M(3-t， 0)， N(0， -t)，P(xP， -t). PNOA ， CPNCAO ， = ，即 = ， x P= -1. 过点 P 作 PDx 轴于点 D，则 D( -1， 0)， MD= (3-t)-( -1)=- +4， PM 2=MD2+PD2=(- +4)2+(-t)2= (25t2-96t+144)， 又 - = 3， 当 t= 时， PM2最小值为 ， 故在运动过程中，线段 PM 的长度存在最小值 .
