1、2014 年山东省潍坊市中考真题数学 一、选择题 1.(3 分 ) 的立方根是 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 1 解析： 的立方根是 1， 答案： C. 2.(3 分 )下列标志中不是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不合题意； 答案： C. 3.(3 分 )下列实数中是无理数的是 ( ) A. B. 2-2 C. 5. D. sin45 解析： A、 B、 C、是有理数； D、是无限不循环小
2、数，是无理数； 答案： D. 4.(3 分 )一个几何体的三视图如图，则该几何体是 ( ) A. B. C. D. 解析： 由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱， 答案： D. 5.(3 分 )若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是 ( ) A. x -1 B. x -1 且 x3 C. x -1 D. x -1 且 x3 解析： 由题意得， x+10 且 x-30 ，解得 x -1 且 x3. 答案： B. 6.(3分 )如图， ABCD的顶点 A、 B、 D在 O 上，顶点 C在 O 的直径 BE上，连接 AE， E=36 ，则 ADC 的度数是 ( ) A. 44 B.
3、 54 C. 72 D. 53 解析： BE 是直径， BAE=90 ， 四边形 ABCD 是平行四边形， E=36 ， BEA=DAE=36 ， BAD=126 ，ADC=54 . 答案： B. 7.(3 分 )若不等式组 无解，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. a -1 B. a -1 C. a1 D. a -1 解析： ，由 得， x -a，由 得， x 1， 不等式组无解， -a1 ，解得 a -1. 答案： D. 8.(3 分 )如图，已知矩形 ABCD 的长 AB为 5，宽 BC 为 4， E 是 BC 边上的一个动点， AEEF ，EF 交 CD 于点 F.设 BE=x，
4、FC=y，则点 E 从点 B 运动到点 C 时，能表示 y 关于 x 的函数关系的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 解析： BC=4 ， BE=x， CE=4 -x. AEEF ， AEB+CEF=90 ， CEF+CFE=90 ， AEB=CFE. 又 B=C=90 ， RtAEBRtEFC ， ，即 ， 整理得： y= (4x-x2)=- (x-2)2+ ， y 与 x 的函数关系式为： y=- (x-2)2+ (0x4) . 由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为 (2， )，对称轴为直线 x=2. 答案： A. 9.(3 分 )等腰三角形一条边的边长为 3，
5、它的另两条边的边长是关于 x 的一元二次方程x2-12x+k=0 的两个根，则 k 的值是 ( ) A. 27 B. 36 C. 27 或 36 D. 18 解析： 分两种情况： 当其他两条边中有一个为 3 时，将 x=3 代入原方程，得 32-123+k=0 ， k=27. 将 k=27 代入原方程，得 x2-12x+27=0，解得 x=3 或 9. 3， 3， 9 不能够组成三角形，不符合题意舍去； 当 3 为底时，则其他两条边相等，即 =0 ，此时 144-4k=0， k=36. 将 k=36 代入原方程，得 x2-12x+36=0，解得 x=6. 3， 6， 6 能够组成三角形，符合题
6、意 .故 k 的值为 36. 答案： B. 10.(3 分 )如图是某市 7月 1 日至 10 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 7 月 1 日至 7 月 8日中的某一天到达该市，并连续停留 3 天，则此人在该市停留期间有且仅有 1 天空气质量优良的概率 是 ( ) A. B. C. D. 解析： 由图可知，当 1 号到达时，停留的日子为 1、 2、 3 号，此时为 (86， 25， 57)， 3 天空气质量均为优； 当 2 号到达时，停留的日子为 2、 3、 4 号，此时为 (25， 57， 143)
7、， 2 天空气质量为优； 当 3 号到达时，停留的日子为 3、 4、 5 号，此时为 (57， 143， 220)， 1 天空气质量为优； 当 4 号到达时，停留的日子为 4、 5、 6 号，此时为 (143， 220， 160)，空气质量为污染； 当 5 号到达时，停留的日子为 5、 6、 7 号，此时为 (220， 160， 40)， 1 天空气质量为优； 当 6 号到达时，停留的日子为 6、 7、 8 号，此时为 (160， 40， 217)， 1 天空气质量为优； 此人在该市停留期间有且仅有 1 天空气质量优良的概率 = = . 答案： C. 11.(3 分 )已知一次函数 y1=kx
8、+b(k 0)与反比例函数 y2= (m0 )的图象相交于 A、 B 两点，其横坐标分别是 -1 和 3，当 y1 y2时，实数 x 的取值范围是 ( ) A. x -1 或 0 x 3 B. -1 x 0 或 0 x 3 C. -1 x 0 或 x 3 D. x x 3 解析： 如图：直线在双曲线上方的部分，故答案为： x -1 或 0 x 3， 答案： A. 12.(3 分 )如图，已知正方形 ABCD，顶点 A(1， 3)、 B(1， 1)、 C(3， 1).规定 “ 把正方形 ABCD先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位 ” 为一次变换，如此这样，连续经过 2014 次变换后，正方
9、形 ABCD 的对角线交点 M 的坐标变为 ( ) A. (-2012， 2) B. (-2012， -2) C. (-2013， -2) D. (-2013， 2) 解析： 正方形 ABCD，顶点 A(1， 3)、 B(1， 1)、 C(3， 1). 对角线交点 M 的坐标为 (2， 2)， 根据题意得：第 1 次变换后的点 M 的对应点的坐标为 (2-1， -2)，即 (1， -2)， 第 2 次变换后的点 M 的对应点的坐标为： (2-2， 2)，即 (0， 2)， 第 3 次变换后的点 B 的对应点的坐标为 (2-3， -2)，即 (-1， -2)， 第 n 次变换后的点 B 的对应点
10、的为：当 n 为奇数时为 (2-n， -2)，当 n 为偶数时为 (2-n， 2)， 连续经过 2014 次变换后，正方形 ABCD 的对角线交点 M 的坐标变为 (-2012， 2). 答案： A. 二、填空题 13.(3 分 )分解因式： 2x(x-3)-8= . 解析： 2x(x-3)-8=2x2-6x-8=2(x2-3x-4)=2(x-4)(x+1). 答案： 2(x-4)(x+1). 14.(3 分 )计算： 82014 (-0.125)2015= . 解析： 原式 =82014( -0.125)2014( -0.125)=(-80.125) 2014( -0.125)=-0.125
11、， 答案： -0.125. 15.(3 分 )如图，两个半径均为 的 O 1与 O 2相交于 A、 B 两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 .(结果保留 ) 解析： 连接 O1O2，过点 O1作 O1CAO 2于点 C， 由题意可得： AO1=O1O2=AO2= ， AO 1O2是等边三角形， CO 1=O1O2sin60= ， S = = ， = = ， = -S = - ， 图中阴影部分的面积为： 4( - )=2 -3 . 答案： 2 -3 . 16.(3 分 )已知一组数据 -3， x， -2， 3， 1， 6 的中位数为 1，则其方差为 . 解析： 数据 -3
12、， x， -2， 3， 1， 6 的中位数为 1， =1，解得 x=1， 数据的平均数 = (-3-2+1+1+3+6)=1， 方差 = (-3-1)2+(-2-1)2+(1-1)2+(1-1)2+(3-1)2+(6-1)2=9. 答案： 9. 17.(3 分 )如图，某水平地面上建筑物的高度为 AB，在点 D 和点 F 处分别竖立高是 2米的标杆 CD 和 EF，两标杆相隔 50 米，并且建筑物 AB、标杆 CD和 EF在同一竖直平面内，从标杆CD 后退 2 米到点 G 处，在 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条直线上；从标杆 FE后退 4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑
13、物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上，则建筑物的高是 米 . 解析： ABBH ， CDBH ， EFBH ， ABCDEF ， CDGABG ， EFHABH ， = ， = ， CD=DG=EF=2m ， DF=50m， FH=4m， = ， = ， = ，解得 BD=50m， = ，解得 AB=52m. 答案： 52. 18.(3 分 )我国古代有这样一道数学问题： “ 枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？ ” 题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而
14、上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺 . 解析： 如图，一条直角边 (即枯木的高 )长 20 尺，另一条直角边长 53=15( 尺 )， 因此葛藤长为 =25(尺 ). 答案： 25. 三、解答题 19.(9 分 )今年我市把男生 “ 引体向上 ” 项目纳入学业水平体育考试内容，考试前某校为了解该项目的整体水平，从九年级 220 名男生中，随机抽取 20 名进行 “ 引体向上 ” 测试，测试成绩 (单位：个 )如图 1：其中有一数据被污损，统计员只记得 11.3 是这组样本数据的平均数 . (1)求该组样本数据中被污损的数据和这组数据的极差； (2)请补充完整下面
15、的频数、频率分布表和频数分布直方图 (如图 2)；频数、频率分布表： (3)估计在学业水平体育考试中该校九年级有多少名男生能完成 11 个以上 (包含 11 个 )“ 引体向上 ” ？ 解析： (1)直接利用平均数求法得出 x 的值，进而求出极差即可； (2)直接利用已知数据得出各组频数，进而求出频率，填表和补全条形图即可； (3)利用样本估计总体的方法得出，能完成 11 个以上的是后两组所占百分比，进而得出九年级男生能完成 11 个以上 (包含 11 个 )“ 引体向上 ” 的人数 . 答案 ： (1)设被污损的数据为 x， 由题意知： =11.3，解得： x=19， 根据极差的定义，可得该
16、组数据的极差是： 19-3=16， (2)由样本数据知，测试成绩在 6 10 个的有 6 名，该组频数为 6，相应频率是： =0.30， 测试成绩在 11 15 个的有 9 名，该组频数为 9，相应频率是： =0.45， 补全的频数、频率分布表和频数分布直方图如下所示： (3)由频率分布表可知，能完成 11 个以上的是后两组， (0.45+0.15)100%=60% ， 由此估计在学业水平体育考试中能完成 11 个以上 “ 引体向上 ” 的男生数是：22060%=132( 名 ). 20.(10 分 )如图，在梯形 ABCD 中， ADBC ， B=90 ，以 AB 为直径作 O ， 恰与另一
17、腰 CD相切于点 E，连接 OD、 OC、 BE. (1)求证： ODBE ； (2)若梯形 ABCD 的面积是 48，设 OD=x， OC=y，且 x+y=14，求 CD 的长 . 解析： (1)连接 OE，证出 RTOADRTOED ，利用同弦对圆周角是圆心角的一半，得出AOD=ABE ，利用同位角相等两直线平行得到 ODBE ， (2)由 RTCOERTCOB ，得到 COD 是直角三角形，利用 S 梯形 ABCD=2SCOD ， 求出 xy=48，结合 x+y=14，求出 CD. 答案 (1)如图，连接 OE， CD 是 O 的切线， OECD ， 在 RtOAD 和 RtOED ，
18、， RtOADRtOED(SAS) ， AOD=EOD= AOE ， 在 O 中， ABE= AOE ， AOD=ABE ， ODBE. (2)与 (1)同理可证： RtCOERtCOB ， COE=COB= BOE ， DOE+COE=90 ， COD 是直角三角形， S DEO =SDAO ， SOCE =SCOB ， S 梯形 ABCD=2(SDOE +SCOE )=2SCOD =OC OD=48，即 xy=48， 又 x+y=14 ， x 2+y2=(x+y)2-2xy=142-248=100 ， 在 RTCOD 中， CD= = = =10， CD=10. 21.(10 分 )如图，
19、某海域有两个海拔均为 200 米的海岛 A 和海岛 B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为 1100米的空中飞行，飞行到点 C处时测得正前方一海岛顶端 A的俯角是 45 ，然后沿平行于 AB 的方向水平飞行 1.9910 4米到达点 D 处，在 D处测得正前方另一海岛顶端 B 的俯角是 60 ，求两海岛间的距离 AB. 解析： 首先过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B作 BFCD 于点 F，易得四边形 ABFE 为矩形，根据矩形的性质，可得 AB=EF， AE=BF.由题意可知： AE=BF=1100-200=900 米， CD=1.9910 4米，然后分别在 RtAEC 与 RtBFD
20、中，利用三角函数即可求得 CE 与 DF 的长，继而求得两海岛间的距离 AB. 答案 ：过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F， ABCD ， AEF=EFB=ABF=90 ， 四边形 ABFE 为矩形 .AB=EF ， AE=BF. 由题意可知： AE=BF=1100-200=900 米， CD=1.9910 4米 =19900 米 . 在 RtAEC 中， C=60 ， AE=900 米 .CE= = =300 (米 ). 在 RtBFD 中， BDF=45 ， BF=900 米 .DF= = =900(米 ). AB=EF=CD+DF -CE=19900+30
21、0 -900=19000+300 (米 ). 答：两海岛间的距离 AB 为 (19000+300 )米 . 22.(12 分 )如图 1，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别为 BC、 CD 的中点，连接 AE、 BF，交点为G. (1)求证： AEBF ； (2)将 BCF 沿 BF 对折，得到 BPF (如图 2)，延长 FP 到 BA的延长线于点 Q，求 sinBQP的值； (3)将 ABE 绕点 A 逆时针方向旋转，使边 AB 正好落在 AE 上，得到 AHM (如图 3)，若 AM和 BF 相交于点 N，当正方形 ABCD 的面积为 4 时，求四边形 GHMN 的面积 . 解析：
22、 (1)运用 RtABERtBCF ，再利用角的关系求得 BGE=90 求证； (2)BCF 沿 BF 对折，得到 BPF ，利用角的关系求出 QF=QB，解出 BP， QP 求解； (3)先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得 SAGN = ，再利用 S 四边形 GHMN=SAHM -SAGN 求解 . 答案： (1)如图 1， E ， F 分别是正方形 ABCD 边 BC， CD 的中点， CF=BE ， 在 RtABE 和 RtBCF 中， RtABERtBCF(SAS) ， BAE=CBF ， 又 BAE+BEA=90 ， CBF+BEA=90 ， BGE=90 ，
23、 AEBF. (2)如图 2，根据题意得， FP=FC， PFB=BFC ， FPB=90 CDAB ， CFB=ABF ， ABF=PFB ， QF=QB ， 令 PF=k(k 0)，则 PB=2k 在 RtBPQ 中，设 QB=x， x 2=(x-k)2+4k2， x= ， sinBQP= = = . (3) 正方形 ABCD 的面积为 4， 边长为 2， BAE=EAM ， AEBF ， AN=AB=2 ， AHM=90 ， GNHM ， = ， = ， S AGN = ， S 四边形 GHMN=SAHM -SAGN =1- = ， 四边形 GHMN的面积是 . 23.(12 分 )经统
24、计分析，某市跨河大桥上的车流速度 v(千米 /小时 )是车流密度 x(辆 /千米 )的函数，当桥上的车流密度达到 220 辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 千米 /小时；当车流密度不超过 20 辆 /千米时，车流速度为 80 千米 /小时，研究表明：当 20x220 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 . (1)求大桥上车流密度为 100 辆 /千米时的车流速度； (2)在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于 40 千米 /小时且小于 60 千米 /小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？ (3)车流量 (辆 /小时 )是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量
25、=车流速度 车流密度 .求大桥上车流量 y 的最大值 . 解析： (1)当 20x220 时，设车流速度 v 与车流密度 x 的函数关系式为 v=kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可； (2)由 (1)的解析式建立不等式组求出其解即可； (3)设车流量 y 与 x 之间的关系式为 y=vx，当 x 20 和 20x220 时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论 . 答案： (1)设车流速度 v 与车流密度 x 的函数关系式为 v=kx+b，由题意，得 ，解得： ， 当 20x220 时， v=- x+88， 当 x=100 时， v=- 100+88=48( 千米 /小时
26、 )； (2)由题意，得 ，解得： 70 x 120. 应控制大桥上的车流密度在 70 x 120 范围内； (3)设车流量 y 与 x 之间的关系式为 y=vx， 当 0x20 时 y=80x， k=80 0， y 随 x 的增大而增大， x=20 时， y最大 =1600； 当 20x220 时 y=(- x+88)x=- (x-110)2+4840， 当 x=110 时， y 最大 =4840. 4840 1600， 当车流密度是 110 辆 /千米，车流量 y 取得最大值时 4840 辆 /小时 . 24.(13 分 )如图，抛物线 y=ax2+bx+c(a0 )与 y 轴交于点 C(
27、0， 4)，与 x 轴交于点 A 和点 B，其中点 A 的坐标为 (-2， 0)，抛物线的对称轴 x=1 与抛物线交于点 D，与直线 BC 交于点 E. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 F是直线 BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F使四边形 ABFC的面积为 17，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平行于 DE 的一条动直线 l 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以 D、 E、 P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标 . 解析： (1)先把 C(0， 4)代入 y=ax2+bx+c，得出 c=4 ，再由抛物线的对称轴 x=-
28、 =1，得到 b=-2a ，抛物线过点 A(-2， 0)，得到 0=4a-2b+c ，然后由 可解得， a=- ， b=1，c=4，即可求出抛物线的解析式为 y=- x2+x+4； (2)假设存在满足条件的点 F，连结 BF、 CF、 OF，过点 F 作 FHx 轴于点 H， FGy 轴于点G.设点 F 的坐标为 (t， - t2+t+4)，则 FH=- t2+t+4， FG=t，先根据三角形的面积公式求出SOBF = OB FH=-t2+2t+8， SOFC = OC FG=2t，再由 S 四边形 ABFC=SAOC +SOBF +SOFC ，得到 S 四边形ABFC=-t2+4t+12.令
29、 -t2+4t+12=17，即 t2-4t+5=0，由 =( -4)2-45= -4 0，得出方程 t2-4t+5=0无解，即不存在满足条件的点 F. (3)先运用待定系数法求出直线 BC 的解析式为 y=-x+4，再求出抛物线 y=- x2+x+4 的顶点D(1， )，由点 E 在直线 BC 上，得到点 E(1， 3)，于是 DE= -3= .若以 D、 E、 P、 Q为顶点的四边形是平行四边形，因为 DEPQ ，只须 DE=PQ，设点 P 的坐标是 (m， -m+4)，则点 Q的坐标是 (m， - m2+m+4).分两种情况进行讨论： 当 0 m 4 时， PQ=(- m2+m+4)-(-
30、m+4)=-m2+2m，解方程 - m2+2m= ，求出 m 的值，得到 P1(3， 1)； 当 m 0或 m 4 时， PQ=(-m+4)-(-m2+m+4)= m2-2m，解方程 m2-2m= ，求出 m 的值，得到 P2(2+ ， 2- )， P3(2- ，2+ ). 答案 ： (1) 抛物线 y=ax2+bx+c(a0) 过点 C(0， 4)， c=4 . 对称轴 x=- =1， b= -2a . 抛物线过点 A(-2， 0)， 0=4a -2b+c ， 由 解得， a=- ， b=1， c=4， 抛物线的解析式为 y=- x2+x+4； (2)假设存在满足条件的点 F，如图所示，连结
31、 BF、 CF、 OF，过点 F 作 FHx 轴于点 H， FGy轴于点 G. 设点 F 的坐标为 (t， - t2+t+4)，其中 0 t 4，则 FH=- t2+t+4， FG=t， S OBF = OB FH= 4( - t2+t+4)=-t2+2t+8， SOFC = OC FG= 4t=2t ， S 四边形 ABFC=SAOC +SOBF +SOFC =4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12. 令 -t2+4t+12=17，即 t2-4t+5=0，则 =( -4)2-45= -4 0， 方程 t2-4t+5=0 无解， 故不存在满足条件的点 F. (3)设直线 BC 的解析式为
32、 y=kx+n(k0) ， B(4 ， 0)， C(0， 4)， ，解得 ， 直线 BC 的解析式为 y=-x+4. 由 y=- x2+x+4=- (x-1)2+ ， 顶点 D(1， )， 又点 E 在直线 BC 上，则点 E(1， 3)，于是 DE= -3= . 若以 D、 E、 P、 Q 为顶点的四边形是平行四边形，因为 DEPQ ，只须 DE=PQ， 设点 P 的坐标是 (m， -m+4)，则点 Q 的坐标是 (m， - m2+m+4). 当 0 m 4 时， PQ=(- m2+m+4)-(-m+4)=- m2+2m， 由 - m2+2m= ，解得： m=1 或 3. 当 m=1 时，线段 PQ 与 DE 重合， m=1 舍去， m=3 ， P1(3， 1). 当 m 0 或 m 4 时， PQ=(-m+4)-(- m2+m+4)= m2-2m， 由 m2-2m= ，解得 m=2 ，经检验适合题意，此时 P2(2+ ， 2- )， P3(2- ， 2+ ). 综上所述，满足题意的点 P 有三个，分别是 P1(3， 1)， P2(2+ ， 2- )， P3(2- ， 2+ ).
