1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学文 一、填空题 (本大题共 14 题，满分 56 分 )考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。 1.函数 y=1-2cos2(2x)的最小正周期是 . 解析： y=1-2cos2(2x)=-2cos2(2x)-1=-cos4x， 函数的最小正周期为 T= = 答案： 2.若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则 (z+ ) = . 解析： 复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位， 则 (z+ ) = =(1+2i)(1-2i)+1=1-4i2+1=2+4=6. 答案： 6 3.设常数 a
2、 R，函数 f(x)=|x-1|+|x2-a|，若 f(2)=1，则 f(1)= . 解析： 常数 a R，函数 f(x)=|x-1|+|x2-a|，若 f(2)=1， 1=|2 -1|+|22-a|， a=4 ， 函数 f(x)=|x-1|+|x2-4|， f(1)=|1 -1|+|12-4|=3， 答案： 3. 4.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 . 解析： 由题意椭圆 + =1，故它的右焦点坐标是 (2， 0)， 又 y2=2px(p 0)的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，故 p=4， 抛物线的准线方程为 x=-2. 答案： x=
3、-2 5.某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名， 1200 名， 800 名 .为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取 20 名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 . 解析： 高一、高二、高三分别有学生 1600 名， 1200 名， 800 名， 若高三抽取 20 名学生，设共需抽取的学生数为 x， 则 ，解得 x=90，则高一、高二共需抽取的学生数为 90-20=70， 答案： 70 6.若实数 x， y 满足 xy=1，则 x2+2y2的最小值为 . 解析： xy=1 ， y= ， x2+2y2=x2+ 2 =2 ， 当且仅当 x2= ，即
4、x= 时取等号， 答案： 2 7.若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与轴所成角的大小为 (结果用反三角函数值表示 ) 解析： 设圆锥母线与轴所成角为 ， 圆锥的侧面积是底面积的 3 倍， = =3， 即圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，故圆锥的轴截面如下图所示： 则 sin= = ， =arcsin ， 答案： arcsin 8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 . 解析： 由已知中的三视图，可知：大长方体的长，宽，高分别为： 3， 4， 5， 故大长方体的体积为： 60，切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为
5、3的柱体，其底面面积为 45 -2222=12 ， 故切去两个小长方体后的几何体的体积为： 123=36 ， 故切割掉的两个小长方体的体积之和为： 60-36=24， 答案： 24 9.设 f(x)= ，若 f(0)是 f(x)的最小值，则 a 的取值范围为 . 解析： 当 x=0 时， f(0)=a， 由题意得： ax+ ，又 x+ 2 =2， a2 ， 答案： (- ， 2. 10.设无穷等比数列 an的公比为 q，若 a1= (a3+a4+a n)，则 q= . 解析： 无穷等比数列 an的公比为 q， a1= (a3+a4+a n)= ( -a1-a1q)= ， q 2+q-1=0，解
6、得 q= 或 q= (舍 ). 答案： . 11.若 f(x)= - ，则满足 f(x) 0 的 x 的取值范围是 . 解析： f(x)= - ，若满足 f(x) 0，即 ， ， y= 是增函数， 的解集为： (0， 1). 故答案为： (0， 1). 12.方程 sinx+ cosx=1 在闭区间 0， 2 上的所有解的和等于 . 解析： sinx+ cosx=1， sinx+ cosx= ，即 sin(x+ )= ， 可知 x+ =2k+ ，或 x+ =2k+ ， k Z， 又 x 0， 2 ， x= ，或 x= ， + = . 答案： 13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天
7、中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 (结果用最简分数表示 ). 解析： 在未来的连续 10 天中随机选择 3 天共有 种情况， 其中选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况有 8 种， 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 ， 答案： . 14.已知曲线 C： x=- ，直线 l： x=6，若对于点 A(m， 0)，存在 C 上的点 P和 l 上的Q 使得 + = ，则 m 的取值范围为 . 解析： 曲线 C： x=- ，是以原点为圆心， 2 为半径的圆，并且 xP -2， 0， 对于点 A(m， 0)，存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得
8、 + = ， 说明 A 是 PQ 的中点， Q 的横坐标 x=6， m= 2， 3. 答案： 2， 3. 二、选择题 (共 4 题，满分 20 分 )每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否则一律得零分 15.设 a， b R，则 “a+b 4” 是 “a 2 且 b 2” 的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 解析： 当 a=5， b=0 时，满足 a+b 4，但 a 2 且 b 2 不成立，即充分性不成立， 若 a 2 且 b 2，则必有 a+b 4，即必要性成立， 故 “a+b 4” 是 “a 2 且 b 2” 的必要不充
9、分条件， 答案： B. 16.已知互异的复数 a， b 满足 ab0 ，集合 a， b=a2， b2，则 a+b=( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 解析： 根据集合相等的条件可知，若 a， b=a2， b2，则 或 ， 由 得 ， ab0 ， a0 且 b0 ，即 a=1， b=1，此时集合 1， 1不满足条件 . 若 b=a2， a=b2，则两式相减得 a2-b2=b-a， 互异的复数 a， b， b -a0 ，即 a+b=-1， 答案： D. 17.如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形， AB 是大正方形的一条边， Pi(i=1， 2， ，7)是小正方形的其余顶
10、点，则 (i=1， 2， ， 7)的不同值的个数为 ( ) A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 解析： 如图建立平面直角坐标系， 则 A(0， 0)， B(0， 2)， P1(0， 1)， P2(1， 0)， P3(1， 1)， P4(1， 2)， P5(2， 0)， P6(2， 1)， P7(2，2)， ， =(0， 1)， =(1， 0)， =(1， 1)， =(1， 2)， =(2，0)， =(2， 1)， =(2， 2)， =2， =0， =2， =4， =0， =2，=4， (i=1， 2， ， 7)的不同值的个数为 3， 答案： C. 18.已知 P1(a1， b1)与 P2(
11、a2， b2)是直线 y=kx+1(k 为常数 )上两个不同的点，则关于 x和 y 的方程组 的解的情况是 ( ) A. 无论 k， P1， P2如何，总是无解 B. 无论 k， P1， P2如何，总有唯一解 C. 存在 k， P1， P2，使之恰有两解 D. 存在 k， P1， P2，使之有无穷多解 解析： P1(a1， b1)与 P2(a2， b2)是直线 y=kx+1(k 为常数 )上两个不同的点，直线 y=kx+1 的斜率存在， k= ，即 a1a 2，并且 b1=ka1+1， b2=ka2+1， a 2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1 ， b 2-b 1
12、得： (a2b1-a1b2)x=b2-b1， 即 (a2-a1)x=b2-b1. 方程组有唯一解 . 答案： B. 三、解答题 (共 5 小题，满分 74 分 ) 19.(12 分 )底面边长为 2 的正三棱锥 P-ABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3，如图，求 P 1P2P3的各边长及此三棱锥的体积 V. 解析： 利用侧面展开图三点共线，判断 P 1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积 答案： 根据题意可得： P1， B， P2共线， ABP 1=BAP 1=CBP 2， ABC=60 ， ABP 1=BAP 1=CBP 2=60 ， P 1=60 ，
13、同理 P 2=P 3=60 ， P 1P2P3是等边三角形， P-ABC 是正四面体， P 1P2P3的边长为 4， VP-ABC= = 20.(14 分 )设常数 a0 ，函数 f(x)= . (1)若 a=4，求函数 y=f(x)的反函数 y=f-1(x)； (2)根据 a 的不同取值，讨论函数 y=f(x)的奇偶性，并说明理由 . 解析： (1)根据反函数的定义，即可求出， (2)利用分类讨论的思想，若为偶函数求出 a 的值，若为奇函数，求出 a 的值，问题得以解决 答案： (1)a=4 ， ， ， 调换 x， y 的位置可得 ， x (- ， -1)(1 ， +). (2)若 f(x)
14、为偶函数，则 f(x)=f(-x)对任意 x 均成立， = ，整理可得 a(2x-2-x)=0. 2 x-2-x不恒为 0， a=0 ，此时 f(x)=1， x R，满足条件； 若 f(x)为奇函数，则 f(x)=-f(-x)对任意 x 均成立， =- ，整理可得 a2-1=0， a=1 ， a0 ， a=1 ，此时 f(x)= ，满足条件； 综上所述， a=0 时， f(x)是偶函数， a=1 时， f(x)是奇函数 . 21.(14 分 )如图，某公司要在 A、 B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D为顶端，AC 长 35 米， CB长 80 米，设点 A、 B 在同一水平
15、面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 和 . (1)设计中 CD 是铅垂方向，若要求 2 ，问 CD 的长至多为多少 (结果精确到 0.01 米 )？ (2)施工完成后， CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得 =38.12 ， =18.45 ，求 CD 的长 (结果精确到 0.01 米 ). 解析： (1)设 CD 的长为 x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论 . (2)利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论 . 答案 ： (1)设 CD 的长为 x 米，则 tan= ， tan= ， 0 ， tantan2 ， tan ， 即 = ，解得 0 28.28 ， 即 CD 的
16、长至多为 28.28 米 . (2)设 DB=a， DA=b， CD=m，则 ADB=180 - -=123.43 ， 由正弦定理得 ，即 a= ， m= 26.93 ， 答： CD 的长为 26.93 米 . 22.(16 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线 l： ax+by+c=0 和点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，记 = (ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，若 0，则称点 P1， P2被直线 l 分隔，若曲线 C 与直线 l没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1、 P2被直线 l 分隔，则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线 . (1)求证：点 A(
17、1， 2)， B(-1， 0)被直线 x+y-1=0 分隔； (2)若直线 y=kx 是曲线 x2-4y2=1 的分隔线，求实数 k的取值范围； (3)动点 M 到点 Q(0， 2)的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为 E，求 E 的方程，并证明 y 轴为曲线 E 的分隔线 . 解析： (1)把 A、 B 两点的坐标代入 =(ax 1+by1+c)(ax2+by2+c)，再根据 0，得出结论 . (2)联立 可得 (1-4k2)x2=1，根据此方程无解，可得 1-4k20 ，从而求得 k的范围 . (3)设点 M(x， y)，与条件求得曲线 E 的方程为 x2+(y-2)2x
18、2=1 . 由于 y 轴为 x=0，显然与方程 联立无解 .把 P1、 P2的坐标代入 x=0，由 =1( -1)=-1 0，可得 x=0 是一条分隔线 . 答案 ： (1)把点 (1， 2)、 (-1， 0)分别代入 x+y-1 可得 (1+2-1)(-1-1)=-4 0， 点 (1， 2)、 (-1， 0)被直线 x+y-1=0 分隔 . (2)联立 可得 (1-4k2)x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1-4k20 ， k - ，或 k . (3)设点 M(x， y)，则 |x|=1，故曲线 E 的方程为 x2+(y-2)2x2=1 . y 轴为 x=0，显然与方程 联立无解 . 又
19、 P1(1， 2)、 P2(-1， 2)为 E 上的两个点，且代入 x=0，有 =1( -1)=-1 0， 故 x=0 是一条分隔线 . 23.(18 分 )已知数列 an满足 ana n+13a n， n N*， a1=1. (1)若 a2=2， a3=x， a4=9，求 x 的取值范围； (2)若 an是等比数列，且 an= ，求正整数 m 的最小值，以及 m 取最小值时相成 an的公比； (3)若 a1， a2， a 100成等差数列，求数列 a1， a2， a 100的公差的取值范围 . 解析： (1)由题意可得： ， ，代入解出即可； (2)设公比为 q，由已知可得， ，由于 ，可得 .而，可得 ，再利用对数的运算法则和性质即可得出 . (3)设公差为 d，由已知可得 31+(n-2)d，其中 2n100 ，即 ，解出即可 . 答案 ； (1)由题意可得： ， ； 又 ， 3x27. 综上可得： 3x6. (2)设公比为 q，由已知可得， ，又 ， .因此 ， ， m=1 -logq1000= =1- = 7.28. m 的最小值是 8，因此 q7= ， = . (3)设公差为 d，由已知可得 31+(n-2)d，其中 2n100 ， 即 ，令 n=2，得 . 当 3n100 时，不等式即 ， . . 综上可得：公差 d 的取值范围是 .
