1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学理 一、填空题 (每题 4 分， 共 14 题，满分 56分 ) 1.函数 y=1-2cos2(2x)的最小正周期是 . 解析 ： y=1-2cos2(2x)=-2cos2(2x)-1=-cos4x， 函数的最小正周期为 T= = 答案 ： 2.若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则 (z+ ) = . 解析 ： 复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位， 则 (z+ ) = =(1+2i)(1-2i)+1=1-4i2+1=2+4=6. 答案： 6 3.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合， 则该抛物线的准线
2、方程为 . 解析 ： 由题意椭圆 + =1，故它的右焦点坐标是 (2， 0)， 又 y2=2px(p 0)的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，故 p=4， 抛物线的准线方程为 x=-2. 答案： x=-2 4.设 f(x)= ，若 f(2)=4，则 a 的取值范围为 . 解析 ： 当 a 2 时， f(2)=24 ，不合题意； 当 a=2 时， f(2)=22=4，符合题意； 当 a 2 时， f(2)=22=4，符合题意； a2 ， 答案： (- ， 2. 5.若实数 x， y 满足 xy=1，则 x2+2y2的最小值为 . 解析 ： xy=1 ， y= ， x 2+2y2=x2+ 2 =
3、2 ， 当且仅当 x2= ，即 x= 时取等号， 答案： 2 6.若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 (结果用反三角函数值表示 ). 解析 ： 设圆锥母线与轴所成角为 ， 圆锥的侧面积是底面积的 3 倍， = =3， 即圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍， 故圆锥的轴截面如下图所示： 则 cos= = ， =arccos ， 答案： arccos 7.已知曲线 C 的极坐标方程为 (3cos -4sin )=1，则 C 与极轴的交点到极点的距离是 . 解析 ： 由题意， =0 ，可得 (3cos0 -4sin0)=1， C 与极轴的交点到极点的距离是 = . 答案： .
4、 8.设无穷等比数列 an的公比为 q，若 a1= (a3+a4+a n)，则 q= . 解析 ： 无穷等比数列 an的公比为 q， a1= (a3+a4+a n)= ( -a1-a1q)= ， q 2+q-1=0，解得 q= 或 q= (舍 ). 答案： . 9.若 f(x)= - ，则满足 f(x) 0 的 x 的取值范围是 . 解析 ： f(x)= - ，若满足 f(x) 0，即 ， ， y= 是增函数， 的解集为： (0， 1). 答案： (0， 1). 10.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是
5、(结果用最简分数表示 ). 解析 ： 在未来的连续 10 天中随机选择 3 天共有 种情况， 其中选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况有 8 种， 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 ， 答案： . 11.已知互异的复数 a， b 满足 ab0 ，集合 a， b=a2， b2，则 a+b= . 解析 ： 根据集合相等的条件可知，若 a， b=a2， b2，则 或 ， 由 得 ， ab0 ， a0 且 b0 ，即 a=1， b=1，此时集合 1， 1不满足条件 . 若 b=a2， a=b2，则两式相减得 a2-b2=b-a， 互异的复数 a， b， b -a0 ，即 a+b=-1， 答案
6、： -1. 12.设常数 a 使方程 sinx+ cosx=a 在闭区间 0， 2 上恰有三个解 x1， x2， x3，则x1+x2+x3= . 解析 ： sinx+ cosx=2( sinx+ cosx)=2sin(x+ )=a， 如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在 0， 2 上，当 a= 时，直线与三角函数图象恰有三个交点， 令 sin(x+ )= ， x+ =2k+ ，即 x=2k ，或 x+ =2k+ ，即 x=2k+ ， 此时 x1=0， x2= ， x3=2 ， x 1+x2+x3=0+ +2= . 答案： 13.某游戏的得分为 1， 2， 3， 4， 5，随机变量 表示
7、小白玩该游戏的得分，若 E( )=4.2，则小白得 5 分的概率至少为 . 解析 ： 设小白得 5 分的概率至少为 x， 则由题意知小白得 4 分的概率为 1-x， 某游戏的得分为 1， 2， 3， 4， 5，随机变量 表示小白玩该游戏的得分， E()=4.2 ，4(1 -x)+5x=4.2，解得 x=0.2. 答案： 0.2. 14.已知曲线 C： x=- ，直线 l： x=6，若对于点 A(m， 0)，存在 C 上的点 P和 l 上的Q 使得 + = ，则 m 的取值范围为 . 解析 ： 曲线 C： x=- ，是以原点为圆心， 2 为半径的圆，并且 xP -2， 0， 对于点 A(m， 0
8、)，存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得 + = ， 说明 A 是 PQ 的中点， Q 的横坐标 x=6， m= 2， 3. 答案： 2， 3. 二、选择题 (共 4 题，满分 20 分 )每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否则一律得零分 15.设 a， b R，则 “a+b 4” 是 “a 2 且 b 2” 的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 解析 ： 当 a=5， b=0 时，满足 a+b 4，但 a 2 且 b 2 不成立，即充分性不成立， 若 a 2 且 b 2，则必有 a+b 4，即必要性成立， 故 “a
9、+b 4” 是 “a 2 且 b 2” 的必要不充分条件， 答案： B. 16.如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱， AB 是一条侧棱， Pi(i=1， 2， 8 )是上底面上其余的八个点，则 (i=1， 2， ， 8)的不同值的个数为 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ： 如图建立空间直角坐标系， 则 A(2， 0， 0)， B(2， 0， 1)， P1(1， 0， 1)， P2(0， 0， 1)， P3(2， 1， 1)， P4(1， 1， 1)， P5(0，1， 1)， P6(2， 2， 1)， P7(1， 2， 1)， P8(0， 2， 1)， ， =(-
10、1， 0， 1)， =(-2， 0， 1)， =(0， 1， 1)， =(-1，1， 1)， =(-2， 1， 1)， =(0， 2， 1)， =(-1， 2， 1)， =(-2， 2， 1)， 易得 =1(i=1， 2， ， 8)， (i=1， 2， ， 8)的不同值的个数为 1， 答案： A. 17.已知 P1(a1， b1)与 P2(a2， b2)是直线 y=kx+1(k 为常数 )上两个不同的点，则关于 x和 y 的方程组 的解的情况是 ( ) A. 无论 k， P1， P2如何，总是无解 B. 无论 k， P1， P2如何，总有唯一解 C. 存在 k， P1， P2，使之恰有两解 D
11、. 存在 k， P1， P2，使之有无穷多解 解析 ： P1(a1， b1)与 P2(a2， b2)是直线 y=kx+1(k 为常数 )上两个不同的点，直线 y=kx+1 的斜率存在， k= ，即 a1a 2，并且 b1=ka1+1， b2=ka2+1， a 2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1 ， b 2-b 1得： (a2b1-a1b2)x=b2-b1，即 (a2-a1)x=b2-b1. 方程组有唯一解 . 答案： B. 18.设 f(x)= ，若 f(0)是 f(x)的最小值，则 a 的取值范围为 ( ) A. -1， 2 B. -1， 0 C. 1， 2 D
12、. 0， 2 解析 ： 当 a 0 时，显然 f(0)不是 f(x)的最小值， 当 a0 时， f(0)=a2，由题意得： a2x+ +a2+a ， 解不等式： a2-a-20 ，得 -1a2 ， 0a2 ， 答案： D. 三、解答题 (共 5 题，满分 72 分 ) 19.(12 分 )底面边长为 2 的正三棱锥 P-ABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3，如图，求 P 1P2P3的各边长及此三棱锥的体积 V. 解析 ：利用侧面展开图三点共线，判断 P 1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积 . 答案 ：根据题意可得： P1， B， P2共线， ABP
13、1=BAP 1=CBP 2， ABC=60 ， ABP 1=BAP 1=CBP 2=60 ， P 1=60 ，同理 P 2=P 3=60 ， P 1P2P3是等边三角形， P-ABC 是正四面体， P 1P2P3的边长为 4， VP-ABC= = 20.(14 分 )设常数 a0 ，函数 f(x)= . (1)若 a=4，求函数 y=f(x)的反函数 y=f-1(x)； (2)根据 a 的不同取值，讨论函数 y=f(x)的奇偶性，并说明理由 . 解析 ： (1)根据反函数的定义，即可求出， (2)利用分类讨论的思想，若为偶函数求出 a 的值，若为奇函数，求出 a 的值，问题得以解决 . 答案
14、： (1)a=4 ， ， ， 调换 x， y 的位置可得 ， x (- ， -1)(1 ， +). (2)若 f(x)为偶函数，则 f(x)=f(-x)对任意 x 均成立， = ，整理可得 a(2x-2-x)=0. 2 x-2-x不恒为 0， a=0 ，此时 f(x)=1， x R，满足条件； 若 f(x)为奇函数，则 f(x)=-f(-x)对任意 x 均成立， =- ，整理可得 a2-1=0， a=1 ， a0 ， a=1 ，此时 f(x)= ，满足条件； 综上所述， a=0 时， f(x)是偶函数， a=1 时， f(x)是奇函数 . 21.(14 分 )如图，某公司要在 A、 B 两地连
15、线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D为顶端，AC 长 35 米， CB长 80 米，设点 A、 B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 和 . (1)设计中 CD 是铅垂方向，若要求 2 ，问 CD 的长至多为多少 (结果精确到 0.01 米 )？ (2)施工完成后， CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得 =38.12 ， =18.45 ，求 CD 的长 (结果精确到 0.01 米 ). 解析 ： (1)设 CD 的长为 x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论 . (2)利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论 . 答案 ： (1)设 CD 的长为 x 米，
16、则 tan= ， tan= ， 0 ， tantan2 ， tan ，即 = ，解得 0 28.28 ， 即 CD 的长至多为 28.28 米 . (2)设 DB=a， DA=b， CD=m，则 ADB=180 - -=123.43 ， 由正弦定理得 ， 即 a= ， m= 26.93 ， 答： CD 的长为 26.93 米 . 22.(16 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线 l： ax+by+c=0 和点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，记 = (ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，若 0，则称点 P1， P2被直线 l 分隔，若曲线 C 与直线 l没有公共
17、点，且曲线 C 上存在点 P1、 P2被直线 l 分隔，则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线 . (1)求证：点 A(1， 2)， B(-1， 0)被直线 x+y-1=0 分隔； (2)若直线 y=kx 是曲线 x2-4y2=1 的分隔线，求实数 k的取值范围； (3)动点 M 到点 Q(0， 2)的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为曲线 E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 E 的分隔线 . 解析 ： (1)把 A、 B 两点的坐标代入 =(ax 1+by1+c)(ax2+by2+c)，再根据 0，得出结论 . (2)联立直线 y=kx 与曲线 x2-4y2=1
18、 可得 (1-4k2)x2=1，根据此方程无解，可得 1-4k20 ，从而求得 k 的范围 . (3)设点 M(x， y)，与条件求得曲线 E 的方程为 x2+(y-2)2x2=1 . 由于 y 轴为 x=0，显然与方程 联立无解 .把 P1、 P2的坐标代入 x=0，由 =1( -1)=-1 0，可得 x=0 是一条分隔线 . 答案： (1)把点 (1， 2)、 (-1， 0)分别代入 x+y-1 可得 (1+2-1)(-1-1)=-4 0， 点 (1， 2)、 (-1， 0)被直线 x+y-1=0 分隔 . (2)联立直线 y=kx与曲线 x2-4y2=1可得 (1-4k2)x2=1，根据
19、题意，此方程无解，故有 1-4k20 ，k - ，或 k . (3)设点 M(x， y)，则 |x|=1，故曲线 E 的方程为 x2+(y-2)2x2=1 . y 轴为 x=0，显然与方程 联立无解 . 又 P1(1， 2)、 P2(-1， 2)为 E 上的两个点，且代入 x=0，有 =1( -1)=-1 0， 故 x=0 是一条分隔线 . 若过原点的直线不是 y 轴，设为 y=kx，代入 x2+(y-2)2x2=1，可得 x2+(kx-2)2x2=1， 令 f(x)=x2+(kx-2)2x2-1， f(0)f(2) 0， f(x)=0 有实数解，即 y=kx 与 E 有公共点， y=kx 不
20、是 E 的分隔线 . 通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 E 的分隔线 . 23.(16 分 )已知数列 an满足 ana n+13a n， n N*， a1=1. (1)若 a2=2， a3=x， a4=9，求 x 的取值范围； (2)设 an是公比为 q 的等比数列， Sn=a1+a2+a n，若 SnS n+13S n， n N*，求 q 的取值范围 . (3)若 a1， a2， a k成等差数列，且 a1+a2+a k=1000，求正整数 k的最大值，以及 k取最大值时相应数列 a1， a2， a k的公差 . 解析 ： (1)依题意： ，又 将已知代入求出 x 的范围； (2)先求
21、出通项： ，由 求出 ，对 q 分类讨论求出 Sn分别代入不等式 SnS n+13S n，得到关于 q 的不等式组，解不等式组求出 q 的范围 . (3)依题意得到关于 k 的不等式，得出 k 的最大值，并得出 k 取最大值时 a1， a2， a k的公差 . 答案 ： (1)依题意： ， ；又 ， 3x27 ， 综上可得： 3x6 ， (2)由已知得， ， ， ， 当 q=1 时， Sn=n， SnS n+13S n，即 ，成立 . 当 1 q3 时， ， SnS n+13S n，即 ， 不等式 q 1，故 3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-2 2qn-2 0 对于不等式 qn+1-3
22、qn+20 ，令 n=1， 得 q2-3q+20 ，解得 1q2 ，又当 1q2 ， q-3 0， q n+1-3qn+2=qn(q-3)+2q(q -3)+2=(q-1)(q-2)0 成立， 1 q2 ， 当 时， ， SnS n+13S n，即 ， 此不等式即 ， 3q-1 0， q-3 0， 3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-2 2qn-2 0， qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2q(q -3)+2=(q-1)(q-2) 0， 时，不等式恒成立， 上， q 的取值范围为： . (3)设 a1， a2， a k的公差为 d.由 ，且 a1=1， 得 即 当 n=1 时， - d2 ； 当 n=2， 3， ， k-1 时，由 ，得 d ，所以 d ， 所以 1000=k ，即 k2-2000k+10000 ， 得 k1999 . 所以 k 的最大值为 1999， k=1999 时， a1， a2， a k的公差为 - .
