1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学文 一、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40分 .在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1.若集合 A=0， 1， 2， 4， B=1， 2， 3，则 AB= ( ) A. 0， 1， 2， 3， 4 B. 0， 4 C. 1， 2 D. 3 解析 ： A=0 ， 1， 2， 4， B=1， 2， 3， AB=0 ， 1， 2， 41 ， 2， 3=1， 2. 答案 ： C. 2.下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是 ( ) A. y=e-x B. y=x C. y=lnx D. y=|x| 解析 ： A.函数的定义域
2、为 R，但函数为减函数，不满足条件 . B.函数的定义域为 R，函数增函数，满足条件 . C.函数的定义域为 (0， + )，函数为增函数，不满足条件 . D.函数的定义域为 R，在 (0， + )上函数是增函数，在 (- ， 0)上是减函数，不满足条件 . 答案 ： B. 3.已知向量 =(2， 4)， =(-1， 1)，则 2 - =( ) A. (5， 7) B. (5， 9) C. (3， 7) D. (3， 9) 解析 ： 由 =(2， 4)， =(-1， 1)，得： 2 - =2(2， 4)-(-1， 1)=(4， 8)-(-1， 1)=(5， 7). 答案 ： A. 4.执行如图
3、所示的程序框图，输出的 S 值为 ( ) A. 1 B. 3 C. 7 D. 15 解析 ： 由程序框图知：算法的功能是求 S=1+21+22+2 k的值， 跳出循环的 k 值为 3， 输出 S=1+2+4=7. 答案 ： C. 5.设 a， b 是实数，则 “a b” 是 “a 2 b2” 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： 因为 a， b 都是实数，由 a b，不一定有 a2 b2，如 -2 -3，但 (-2)2 (-3)2，所以 “a b” 是 “a 2 b2” 的不充分条件； 反之，由 a2 b2也不一定
4、得 a b，如 (-3)2 (-2)2，但 -3 -2，所以 “a b” 是 “a 2 b2”的不必要条件 . 答案 ： D 6.已知函数 f(x)= -log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是 ( ) A. (0， 1) B. (1， 2) C. (2， 4) D. (4， + ) 解析 ： f (x)= -log2x， f (2)=2 0， f(4)=- 0， 满足 f(2)f(4) 0， f (x)在区间 (2， 4)内必有零点， 答案 ： C 7.已知圆 C： (x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m， 0)， B(m， 0)(m 0)，若圆 C 上存在点 P，使得
5、APB=90 ，则 m 的最大值为 ( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 解析 ： 圆 C： (x-3)2+(y-4)2=1 的圆心 C(3， 4)，半径为 1， 圆心 C 到 O(0， 0)的距离为 5， 圆 C 上的点到点 O的距离的最大值为 6. 再由 APB=90 ，以 A 为直径的圆和圆 C 有交点，可得 PO= AB=m，故有 m6 ， 答案 ： B. 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为 “ 可食用率 ” ，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟 )满足函数关系 p=at2+bt+c(a， b， c 是常数 )，如图记录了三次实验的
6、数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 ( ) A. 3.50 分钟 B. 3.75 分钟 C. 4.00 分钟 D. 4.25 分钟 解析 ： 将 (3， 0.7)， (4， 0.8)， (5， 0.5)分别代入 p=at2+bt+c，可得 ， 解得 a=-0.2， b=1.5， c=-2， p= -0.2t2+1.5t-2，对称轴为 t=- =3.75. 答案 ： B. 二、填空题共 6小题，每小题 5 分，共 30分 . 9.若 (x+i)i=-1+2i(x R)，则 x= . 解析 ： (x+i)i=-1+2i， -1+xi=-1+2i，由复数相等可得 x=2 答案
7、： 2 10.设双曲线 C 的两个焦点为 (- ， 0)， ( ， 0)，一个顶点是 (1， 0)，则 C 的方程为 . 解析 ： 双曲线 C 的两个焦点为 (- ， 0)， ( ， 0)，一个顶点是 (1， 0)， c= ， a=1， b=1 ， C 的方程为 x2-y2=1. 答案 ： x2-y2=1. 11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 . 解析 ： 由主视图知 CD 平面 ABC，设 AC 中点为 E，则 BEAC ，且 AE=CE=1； 由左视图知 CD=2， BE=1， 在 RtBCE 中， BC= ， 在 RtBCD 中， BD=2 ， 在 RtACD 中，
8、 AD=2 . 则三棱锥中最长棱的长为 2 . 答案 ： 2 . 12.在 ABC 中， a=1， b=2， cosC= ，则 c= ； sinA= . 解析 ： 在 ABC 中， a=1， b=2， cosC= ， 由余弦定理得： c2=a2+b2-2abcosC=1+4-1=4，即 c=2； cosC= ， C 为三角形内角， sinC= = ， 由正弦定理 = 得： sinA= = = . 答案 ： 2； 13.若 x， y 满足 ，则 z= x+y 的最小值为 . 解析 ： 由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 z= x+y 为 ， 由图可知，当直线 过 C(0， 1)时直线在 y
9、 轴上的截距最小 . 此时 . 答案 ： 1. 14.顾客请一位工艺师把 A， B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间 （ 单位：工作日 ） 如下： 则最短交货期为 个工作日 . 解析 ： 由题意，徒弟利用 6 天完成原料 B 的加工，由师傅利用 21 天完成精加工，与此同时，徒弟利用 9 天完成原料 A 的加工，最后由师傅利用 15 天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日 . 答案 ： 42. 三、解答题，共 6 小题，满分 80 分，解答
10、应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 15.(13 分 )已知 an是等差数列，满足 a1=3， a4=12，数列 bn满足 b1=4， b4=20，且 bn-an为等比数列 . ( )求数列 an和 bn的通项公式； ( )求数列 bn的前 n 项和 . 解析 ： ( )利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论； ( )利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求得数列的和 . 答案 ： ( )设等差数列 an的公差为 d，由题意得 d= = =3. a n=a1+(n-1)d=3n(n=1， 2， )， 设等比数列 bn-an的公比为 q，则 q3= =
11、 =8， q=2 ， b n-an=(b1-a1)qn-1=2n-1， b n=3n+2n-1(n=1， 2， ). ( )由 ( )知 bn=3n+2n-1(n=1， 2， ). 数列 3n的前 n 项和为 n(n+1)，数列 2n-1的前 n 项和为 1 =2n-1， 数列 bn的前 n 项和为 n(n+1)+2n-1. 16.(13 分 )函数 f(x)=3sin(2x+ )的部分图象如图所示 . ( )写出 f(x)的最小正周期及图中 x0， y0的值； ( )求 f(x)在区间 - ， - 上的最大值和最小值 . 解析 ： ( )由题目所给的解析式和图象可得所求； ( )由 x -
12、， - 可得 2x+ -， 0，由三角函数的性质可得最值 . 答案 ： ( )f (x)=3sin(2x+ )， f (x)的最小正周期 T= = ， 可知 y0为函数的最大值 3， x0= ； ( )x - ， - ， 2x+ - ， 0， 当 2x+ =0，即 x= 时， f(x)取最大值 0， 当 2x+ = ，即 x=- 时， f(x)取最小值 -3 17.(14 分 )如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面， ABBC ， AA1=AC=2， BC=1， E，F 分别是 A1C1， BC 的中点 . ( )求证：平面 ABEB 1BCC1； ( )求证： C1F 平面
13、 ABE； ( )求三棱锥 E-ABC 的体积 . 解析 ： ( )证明 ABB 1BCC1，可得平面 ABEB 1BCC1； ( )证明 C1F 平面 ABE，只需证明四边形 FGEC1为平行四边形，可得 C1FEG ； ( )利用 VE-ABC= ，可求三棱锥 E-ABC 的体积 . 答案： ( ) 三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面， BB 1AB ， ABBC ， BB1BC=B ， ABB 1BCC1， AB 平面 ABE， 平面 ABEB 1BCC1； ( )取 AB 中点 G，连接 EG， FG，则 F 是 BC的中点， FGAC ， FG= AC， E 是 A1C1
14、的中点， FGEC 1， FG=EC1， 四边形 FGEC1为平行四边形， C 1FEG ， C 1F平面 ABE， EG平面 ABE， C 1F 平面 ABE； ( )AA 1=AC=2， BC=1， ABBC ， AB= ， V E-ABC= = = 18.(13分 )从某校随机抽取 100名学生，获得了他们一周课外阅读时间 (单位：小时 )的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： ( )从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率； ( )求频率分布直方图中的 a， b 的值； ( )假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本
15、中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 (只需写结论 ) 解析 ： ( )根据频率分布表求出周课外阅读时间少于 12 小时的频数，再根据频率 =求频率； ( )根据小矩形的高 = 求 a、 b 的值； ( )利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案 . 答案 ： ( )由频率分布表知：周课外阅读时间少于 12 小时的频数为 6+8+17+22+25+12=90， 周课外阅读时间少于 12 小时的频率为 =0.9； ( )由频率分布表知：数据在 4， 6)的频数为 17， 频率为 0.17， a=0.085 ； 数据在 8， 10)的频数为 25， 频率为 0.25， b=0.12
16、5 ； ( )数据的平均数为10.06+30.08+50.17+70.22+90.25+110.12+130.06+150.02+170.02=7.68(小时 )， 样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组 . 19.(14 分 )已知椭圆 C： x2+2y2=4. ( )求椭圆 C 的离心率； ( )设 O 为原点，若点 A 在直线 y=2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB ，求线段 AB 长度的最小值 . 解析 ： ( )椭圆 C： x2+2y2=4 化为标准方程为 ，求出 a， c，即可求椭圆 C 的离心率； ( )先表示出线段 AB 长度，再利用基本不等式，求出
17、最小值 . 答案 ： ( )椭圆 C： x2+2y2=4 化为标准方程为 ， a=2 ， b= ， c= ， 椭圆 C 的离心率 e= = ； ( )设 A(t， 2)， B(x0， y0)， x00 ，则 OAOB ， =0， tx 0+y0=0， t= - ， ， |AB| 2=(x0-t)2+(y0-2)2= +44+4=8 ， 当且仅当 ，即 x02=4 时等号成立， 线段 AB 长度的最小值为 2 . 20.(13 分 )已知函数 f(x)=2x3-3x. ( )求 f(x)在区间 -2， 1上的最大值； ( )若过点 P(1， t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切，求 t
18、的取值范围； ( )问过点 A(-1， 2)， B(2， 10)， C(0， 2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切？ （ 只需写出结论 ） 解析 ： ( )利用导数求得极值点比较 f(-2)， f(- )， f( )， f(1)的大小即得结论； ( )利用导数的几何意义得出切线方程 4 -6 +t+3=0，设 g(x)=4x3-6x2+t+3，则 “ 过点P(1， t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切 ” ， 等价于 “g (x)有 3 个不同的零点 ” .利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论； ( )利用 ( )的结论写出即可 . 答案 ： ( )由 f(
19、x)=2x3-3x 得 f (x)=6x2-3， 令 f (x)=0 得， x=- 或 x= ， f (-2)=-10， f(- )= ， f( )=- ， f(1)=-1， f (x)在区间 -2， 1上的最大值为 . ( )设过点 p(1， t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点 (x0， y0)， 则 y0=2 -3x0，且切线斜率为 k=6 -3， 切线方程为 y-y0=(6 -3)(x-x0)， t -y0=(6 -3)(1-x0)，即 4 -6 +t+3=0， 设 g(x)=4x3-6x2+t+3，则 “ 过点 P(1， t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切 ” ，等价于
20、“g (x)有 3 个不同的零点 ” . g (x)=12x2-12x=12x(x-1)， g (x)与 g (x)变化情况如下： g (0)=t+3 是 g(x)的极大值， g(1)=t+1 是 g(x)的极小值 . 当 g(0)=t+30 ，即 t -3 时， g(x)在区间 (- ， 1和 (1， + )上分别至多有一个零点，故g(x)至多有 2 个零点 . 当 g(1)=t+10 ，即 t -1 时， g(x)在区间 (- ， 0和 (0， + )上分别至多有一个零点，故g(x)至多有 2 个零点 . 当 g(0) 0 且 g(1) 0，即 -3 t -1 时， g (-1)=t-7 0， g(2)=t+11 0， g (x)分别在区间 -1， 0)， 0， 1)和 1， 2)上恰有 1 个零点，由于 g(x)在区间 (- ， 0)和1， + )上单调， 故 g(x)分别在区间 (- ， 0)和 1， + )上恰有 1 个零点 . 综上所述，当过点过点 P(1， t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时， t 的取值范围是 (-3，-1). ( )过点 A(-1， 2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切； 过点 B(2， 10)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切； 过点 C(0， 2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切 .
