1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学理 一、选择题 (共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ) 1.已知集合 A=x|x2-2x=0， B=0， 1， 2，则 AB= ( ) A. 0 B. 0， 1 C. 0， 2 D. 0， 1， 2 解析 ： A=x|x 2-2x=0=0， 2， B=0， 1， 2， AB=0 ， 2 答案 ： C 2.下列函数中，在区间 (0， + )上为增函数的是 ( ) A. y= B. y=(x-1)2 C. y=2-x D. y=log0.5(x+1) 解析 ： 由于函数 y= 在 (
2、-1， + )上是增函数，故满足条件， 由于函数 y=(x-1)2在 (0， 1)上是减函数，故不满足条件， 由于函数 y=2-x在 (0， + )上是减函数，故不满足条件， 由于函数 y=log0.5(x+1)在 (-1， + )上是减函数，故不满足条件， 答案 ： A. 3.曲线 ( 为参数 )的对称中心 ( ) A. 在直线 y=2x 上 B. 在直线 y=-2x 上 C. 在直线 y=x-1 上 D. 在直线 y=x+1 上 解析 ： 曲线 ( 为参数 )表示圆，圆心为 (-1， 2)，在直线 y=-2x 上， 答案 ： B. 4.当 m=7， n=3 时，执行如图所示的程序框图，输出
3、的 S 的值为 ( ) A. 7 B. 42 C. 210 D. 840 解析 ： 由程序框图知：算法的功能是求 S=76k 的值， 当 m=7， n=3 时， m-n+1=7-3+1=5， 跳出循环的 k 值为 4， 输出 S=765=210 . 答案 ： C. 5.设 an是公比为 q 的等比数列，则 “q 1” 是 “a n” 为递增数列的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： 等比数列 -1， -2， -4， ，满足公比 q=2 1，但 “a n” 不是递增数列，充分性不成立 . 若 an=-1 为递增数列，但
4、 q= 1 不成立，即必要性不成立， 故 “q 1” 是 “a n” 为递增数列的既不充分也不必要条件， 答案 ： D. 6.若 x， y 满足 且 z=y-x 的最小值为 -4，则 k 的值为 ( ) A.2 B.-2 C. D.- 解析 ： 由约束条件 作出可行域如图， 由 kx-y+2=0，得 x= ， B (- ). 由 z=y-x 得 y=x+z. 由图可知，当直线 y=x+z 过 B(- )时直线在 y 轴上的截距最小，即 z 最小 . 此时 ，解得： k=- . 答案 ： D. 7.在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(2， 0， 0)， B(2， 2， 0)， C(0， 2
5、， 0)， D(1， 1， )，若 S1， S2， S3分别表示三棱锥 D-ABC在 xOy， yOz， zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( ) A. S1=S2=S3 B. S2=S1且 S2S 3 C. S3=S1且 S3S 2 D. S3=S2且 S3S 1 解析 ： 设 A(2， 0， 0)， B(2， 2， 0)， C(0， 2， 0)， D(1， 1， )，则各个面上的射影分别为 A， B， C， D， 在 xOy坐标平面上的正投影 A(2， 0， 0)， B(2， 2， 0)， C(0， 2， 0)， D(1， 1， 0)， S1= . 在 yOz 坐标平面上的正投影 A
6、(0， 0， 0)， B(0， 2， 0)， C(0， 2， 0)， D(0， 1， )，S2=. 在 zOx 坐标平面上的正投影 A(2， 0， 0)， B(2， 0， 0)， C(0， 0， 0)， D(1， 0， )，S3= ，则 S3=S2且 S3S 1， 答案 ： D. 8.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为 “ 优秀 ”“ 合格 ”“ 不合格 ” .若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称 “ 学生甲比学生乙成绩好 ” .如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有 (
7、 ) A. 2 人 B. 3 人 C. 4 人 D. 5 人 解析 ： 用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得 A 的学生最多只有 1 个， 语文成绩得 B 得也最多只有一个，得 C 最多只有一个， 因此学生最多只有 3 人，显然 (AC)(BB)(CA)满足条件，故学生最多有 3 个 . 答案 ： B. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 5 分，共 30分 ) 9.复数 ( )2= . 解析 ： ( )2= . 答案 ： -1. 10.已知向量 ， 满足 | |=1， =(2， 1)，且 + = ( R)，则 |= . 解析 ： 设 =(x， y). 向量 ， 满足 | |
8、=1， =(2， 1)，且 + = ( R)， = (x， y)+(2， 1)=(x+2 ， y+1 )， ，化为 2=5.解得 . 答案 ： . 11.设双曲线 C 经过点 (2， 2)，且与 -x2=1 具有相同渐近线，则 C 的方程为 ；渐近线方程为 . 解析 ： 与 -x2=1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 -x2=m， (m0 )， 双曲线 C 经过点 (2， 2)， m= ， 即双曲线方程为 -x2=-3，即 ， 对应的渐近线方程为 y=2x ， 答案 ： ， y=2x . 12.若等差数列 an满足 a7+a8+a9 0， a7+a10 0，则当 n= 时， an的前 n 项
9、和最大 . 解析 ： 由等差数列的性质可得 a7+a8+a9=3a8 0， a 8 0，又 a7+a10=a8+a9 0， a 9 0， 等差数列 an的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数， 等差数列 an的前 8 项和最大， 答案 ： 8. 13.把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A与产品 C不相邻，则不同的摆法有 种 . 解析 ： 根据题意，分 3 步进行分析： 、产品 A 与产品 B 相邻，将 AB 看成一个整体，考虑 AB之间的顺序，有 A22=2 种情况， 、将 AB 与剩余的 2 件产品全排列，有 A33=6种情况， 、产品 A 与产品 C 不
10、相邻， C 有 3 个空位可选，即有 3 种情况， 故不同的摆法有 123=36 种， 答案 ： 36. 14.设函数 f(x)=Asin(x+ )(A， ， 是常数， A 0， 0)若 f(x)在区间 ， 上具有单调性，且 f( )=f( )=-f( )，则 f(x)的最小正周期为 . 解析 ： 由 f( )=f( )，可知函数 f(x)的一条对称轴为 x= ， 则 x= 离最近对称轴距离为 . 又 f( )=-f( )，且 f(x)在区间 ， 上具有单调性， x= 离最近对称轴的距离也为 . 函数图象的大致形状如图， .则 T= . 答案 ： . 三、解答题 (共 6 小题，共 80 分，
11、解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 ) 15.(13 分 )如图，在 ABC 中， B= ， AB=8，点 D 在边 BC 上，且 CD=2， cosADC= . (1)求 sinBAD ； (2)求 BD， AC 的长 . 解析 ： 根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论 . 答案 ： (1)在 ABC 中， cosADC= ， sinADC= ， 则 sinBAD=sin (ADC -B )=sinADCcosB -cosADCsinB= - = . (2)在 ABD 中，由正弦定理得 BD= = ， 在 ABC 中，由余弦定理得 AC2=AB2+CB2-2ABB
12、CcosB=82+52-28 =49， 即 AC=7. 16.(13 分 )李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下 (假设各场比赛相互独立 )； (1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率； (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率； (3)记 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较 EX 与 的大小 (只需写出结论 ). 解析 ： (1)根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过 0.6 的场次，计算即可， (2)根据互斥
13、事件的概率公式，计算即可 . (3)求出平均数和 EX，比较即可 . 答案 ： (1)设李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率为事件 A，由题意知，李明在该场比赛中超过 0.6 的场次有：主场 2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4，共计 5 场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率 P(A)= ， (2)设李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为事件 B，同理可知，李明主场命中率超过 0.6 的概率 ，客场命中率超过 0.6 的概率 ， 故 P(B)=P1 (1-P2)+P2 (1-P1)= ； (3)EX= . 17.(14 分 )如图，正方
14、形 AMDE 的边长为 2， B， C 分别为 AM， MD 的中点，在五棱锥 P-ABCDE中， F 为棱 PE 的中点，平面 ABF 与棱 PD， PC 分别交于点 G， H. (1)求证： ABFG ； (2)若 PA 底面 ABCDE，且 PA=AE，求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小，并求线段 PH 的长 . 解析 ： (1)运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得； (2)由于 PA 底面 ABCDE，底面 AMDE 为正方形，建立如图的空间直角坐标系 Axyz，分别求出 A， B， C， E， P， F，及向量 BC 的坐标，设平面 ABF 的法向量为 n=(x， y，
15、z)，求出一个值，设直线 BC 与平面 ABF 所成的角为 ，运用 sin=|cos |，求出角 ；设H(u， v， w)，再设 ，用 表示 H 的坐标，再由 n =0，求出 和 H 的坐标，再运用空间两点的距离公式求出 PH 的长 . 答案 ： (1)在正方形 AMDE 中， B 是 AM 的中点， ABDE ，又 AB 平面 PDE， AB 平面 PDE， AB 平面 ABF，且平面 ABF 平面 PDE=FG， ABFG ； (2)PA 底面 ABCDE， PAAB ， PAAE ， 如图建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0， 0， 0)， B(1， 0， 0)， C(2， 1， 0
16、)， P(0， 0， 2)， E(0， 2， 0)， F(0， 1， 1)， ， 设平面 ABF 的法向量为 n=(x， y， z)，则 即 ， 令 z=1，则 y=-1， n= (0， -1， 1)， 设直线 BC 与平面 ABF 所成的角为 ，则 sin=|cos |=| |= ， 直线 BC 与平面 ABF 所成的角为 ， 设 H(u， v， w)， H 在棱 PC 上， 可设 ， 即 (u， v， w-2)= (2， 1， -2)， u=2 ， v= ， w=2-2 ， n 是平面 ABF 的法向量， n =0，即 (0， -1， 1)(2 ， ， 2-2 )=0，解得 = ， H (
17、 )， PH= =2. 18.(13 分 )已知函数 f(x)=xcosx-sinx， x 0， (1)求证： f(x)0 ； (2)若 a b 对 x (0， )上恒成立，求 a 的最大值与 b 的最小值 . 解析 ： (1)求出 f (x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，判定出在区间 (0， )上 f (x)=-xsinx 0，得 f(x)在区间 0， 上单调递减，从而 f(x)f (0)=0. (2)当 x 0 时， “ a” 等价于 “sinx -ax 0” ， “ b” 等价于 “sinx -bx 0”构造函数 g(x)=sinx-cx，通过求函数的导数讨论参数 c
18、求出函数的最值，进一步求出 a， b的最值 . 答案 ： (1)由 f(x)=xcosx-sinx 得 f (x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx， 此在区间 (0， )上 f (x)=-xsinx 0， 所以 f(x)在区间 0， 上单调递减， 从而 f(x)f (0)=0. (2)当 x 0 时， “ a” 等价于 “sinx -ax 0” ， “ b” 等价于 “sinx -bx 0” 令 g(x)=sinx-cx，则 g (x)=cosx-c， 当 c0 时， g(x) 0 对 x (0， )上恒成立， 当 c1 时，因为对任意 x (0， )， g (x)=cosx-c
19、 0， 所以 g(x)在区间 0， 上单调递减， 从而， g(x) g(0)=0 对任意 x (0， )恒成立， 当 0 c 1 时，存在唯一的 x0 (0， )使得 g (x0)=cosx0-c=0， g(x)与 g (x)在区间 (0， )上的情况如下： 因为 g(x)在区间 (0， x0)上是增函数， 所以 g(x0) g(0)=0 进一步 g(x) 0 对任意 x (0， )恒成立， 当且仅当 综上所述当且仅当 时， g(x) 0 对任意 x (0， )恒成立， 当且仅当 c1 时， g(x) 0 对任意 x (0， )恒成立， 所以若 a b 对 x (0， )上恒成立，则 a 的最
20、大值为 ， b 的最小值为 1. 19.(14 分 )已知椭圆 C： x2+2y2=4， (1)求椭圆 C 的离心率 (2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y=2 上，且 OAOB ，求直线 AB 与圆 x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论 . 解析 ： (1)化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求； (2)设出点 A， B 的坐标分别为 (x0， y0)， (t， 2)，其中 x00 ，由 OAOB 得到 ，用坐标表示后把 t 用含有 A 点的坐标表示，然后分 A， B 的横坐标相等和不相等写出直线 AB的方程，然后由
21、圆 x2+y2=2的圆心到 AB的距离和圆的半径相等说明直线 AB 与圆 x2+y2=2相切 . 答案 ： (1)由 x2+2y2=4，得椭圆 C 的标准方程为 . a 2=4， b2=2，从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2， c= . 故椭圆 C 的离心率 e= ； (2)直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切 .证明如下： 设点 A， B 的坐标分别为 (x0， y0)， (t， 2)，其中 x00 . OAOB ， ，即 tx0+2y0=0，解得 . 当 x0=t 时， ，代入椭圆 C 的方程，得 . 故直线 AB 的方程为 x= ，圆心 O 到直线 AB 的距离 d= . 此时
22、直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切 . 当 x0t 时，直线 AB 的方程为 ， 即 (y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离 d= . 又 ， t= .故 = . 此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切 . 20.(13分 )对于数对序列 P： (a1， b1)， (a2， b2)， ， (an， bn)，记 T1(P)=a1+b1， Tk(P)=bk+maxTk-1(P)，a1+a2+a k(2kn )，其中 maxTk-1(P)， a1+a2+a k表示 Tk-1(P)和 a1+a2+a k两个数中最大的数， ( )对于数对序列 P：
23、(2， 5)， (4， 1)，求 T1(P)， T2(P)的值； ( )记 m 为 a， b， c， d 四个数中最小的数，对于由两个数对 (a， b)， (c， d)组成的数对序列 P： (a， b)， (c， d)和 P ： (c， d)， (a， b)，试分别对 m=a 和 m=d 两种情况比较 T2(P)和 T2(P )的大小； ( )在由五个数对 (11， 8)， (5， 2)， (16， 11)， (11， 11)， (4， 6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 P 使 T5(P)最小，并写出 T5(P)的值 (只需写出结论 ). 解析 ： ( )利用 T1(P)=a1+b1
24、， Tk(P)=bk+maxTk-1(P)， a1+a2+a k(2kn )，可求 T1(P)，T2(P)的值； ( )T2(P)=maxa+b+d， a+c+d， T2(P )=maxc+d+b， c+a+b，分类讨论，利用新定义，可比较 T2(P)和 T2(P )的大小； ( )根据新定义，可得结论 . 答案： ( )T1(P)=2+5=7， T2(P)=1+maxT1(P)， 2+4=1+max7， 6=8； ( )T2(P)=maxa+b+d， a+c+d， T2(P )=maxc+d+b， c+a+b. 当 m=a 时， T2(P )=maxc+d+b， c+a+b=c+d+b， a+b+dc+d+b ，且 a+c+dc+b+d ， T 2(P)T 2(P )； 当 m=d 时， T2(P )=maxc+d+b， c+a+b=c+a+b， a+b+dc+a+b ，且 a+c+dc+a+d ， T 2(P)T 2(P )； 无论 m=a 和 m=d， T2(P)T 2(P )； ( )数对 (4， 6)， (11， 11)， (16， 11)， (11， 8)， (5， 2)， T5(P)最小； T1(P)=10， T2(P)=26； T3(P)42， T4(P)=50， T5(P)=52.
