1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学文 一、选择题 (共 10 小题，每小题 5 分，共 50分 ) 1.已知集合 A=x|(x+1)(x-2)0 ，集合 B 为整数集，则 AB= ( ) A. -1， 0 B. 0， 1 C. -2， -1， 0， 1 D. -1， 0， 1， 2 解析 ： A=x|(x+1)(x-2)0=x| -1x2 ，又集合 B 为整数集，故 AB= -1， 0， 1， 2 答案： D. 2.在 “ 世界读书日 ” 前夕，为了了解某地 5000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中， 5000 名居民的
2、阅读时间的全体是 ( ) A. 总体 B. 个体 C. 样本的容量 D. 从总体中抽取的一个样本 解析 ： 根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得， 5000 名居民的阅读时间的全体是总体， 答案： A. 3.为了得到函数 y=sin(x+1)的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点 ( ) A. 向左平行移动 1 个单位长度 B. 向右平行移动 1 个单位长度 C. 向左平行移动 个单位长度 D. 向右平行移动 个单位长度 解析 ： 由 y=sinx 到 y=sin(x+1)，只是横坐标由 x 变为 x+1， 要得到函数 y=sin(x+1)的图象，只需把函数 y=si
3、nx 的图象上所有的点向左平行移动 1 个单位长度 . 答案： A. 4.某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( ) (锥体体积公式： V= Sh，其中 S 为底面面积， h 为高 ) A. 3 B. 2 C. D. 1 解析 ：由三棱锥的俯视图与侧视图知：三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为 ， 底面为等边三角形，边长为 2， 三棱锥的体积 V= 2 =1. 答案： D. 5.若 a b 0， c d 0，则一定有 ( ) A. B. C. D. 解析 ：不妨令 a=3， b=1， c=-3， d=-1， 则 ， C 、 D 不正确； ， A 不正确， B 正确 . 答案： B
4、. 6.执行如图所示的程序框图，若输入的 x， y R，那么输出的 S 的最大值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析 ：由程序框图知：算法的功能是求可行域 内，目标还是 S=2x+y 的最大值， 画出可行域如图： 当 时， S=2x+y 的值最大，且最大值为 2. 答案： C. 7.已知 b 0， log5b=a， lgb=c， 5d=10，则下列等式一定成立的是 ( ) A. d=ac B. a=cd C. c=ad D. d=a+c 解析 ：由 5d=10，可得 ， cd=lgb =log5b=a. 答案： B. 8.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B、 C
5、 的俯角分别为 75 、 30 ，此时气球的高是 60m，则河流的宽度 BC 等于 ( ) A. 240( -1)m B. 180( -1)m C. 120( -1)m D. 30( +1)m 解析 ：如图， 由图可知， DAB=15 ， tan15=tan (45 -30 )= = . 在 RtADB 中，又 AD=60， DB=ADtan15=60 (2- )=120-60 . 在 RtADB 中， DAC=60 ， AD=60， DC=ADtan60=60 . BC=DC -DB=60 -(120-60 )=120( )(m). 河流的宽度 BC 等于 120( )m. 答案： C. 9
6、.设 m R，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x， y)，则|PA|+|PB|的取值范围是 ( ) A. ， 2 B. ， 2 C. ， 4 D. 2 ， 4 解析 ：由题意可知，动直线 x+my=0 经过定点 A(0， 0)， 动直线 mx-y-m+3=0 即 m(x-1)-y+3=0，经过点定点 B(1， 3)， 动直线 x+my=0 和动直线 mx-y-m+3=0 始终垂直， P 又是两条直线的交点， PAPB ， |PA| 2+|PB|2=|AB|2=10. 由基本不等式可得 |PA|2+|PB|2 (|PA|+|PB|)22
7、 (|PA|2+|PB|2)， 即 10 (|PA|+|PB|)220 ，可得 (|PA|+|PB|)22 ， 答案： B 10.已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点，点 A， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， =2(其中 O 为坐标原点 )，则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 ( ) A. 2 B. 3 C. D. 解析 ：设直线 AB 的方程为： x=ty+m，点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 与 x 轴的交点为 M(0，m)， 由 y2-ty-m=0，根据韦达定理有 y1y2=-m， =2， x 1x2+y1y2=2，从而 ， 点 A， B 位于 x
8、 轴的两侧， y 1y2=-2，故 m=2. 不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y1 0，又 ， S ABO +SAFO = = . 当且仅当 ，即 时，取 “=” 号， ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 3，故选 B. 二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 ) 11.双曲线 -y2=1 的离心率等于 . 解析 ：由双曲线的方程可知 a2=4， b2=1，则 c2=a2+b2=4+1=5，则 a=2， c= ， 即双曲线的离心率 e= = ， 答案： 12.复数 = . 解析 ：复数 = = =-2i， 答案： -2i. 13.设 f(x)是定义在 R 上的周期为
9、2 的函数，当 x -1， 1)时， f(x)=，则 f( )= . 解析 ： f (x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数， =1. 答案： 1. 14.平面向量 =(1， 2)， =(4， 2)， =m + (m R)，且 与 的夹角等于 与 的夹角，则 m= . 解析 ： 向量 =(1， 2)， =(4， 2)， =m + (m R)， =m(1， 2)+(4， 2)=(m+4， 2m+2). =m+4+2(2m+2)=5m+8， =4(m+4)+2(2m+2)=8m+20. ， =2 . 与 的夹角等于 与 的夹角， = ， ， 化为 5m+8=4m+10，解得 m=2. 答案： 2
10、. 15.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合， B 表示具有如下性质的函数 (x)组成的集合：对于函数 (x)，存在一个正数 M，使得函数 (x)的值域包含于区间 -M， M.例如，当 1(x)=x3， 2(x)=sinx 时， 1(x) A， 2(x) B.现有如下命题： 设函数 f(x)的定义域为 D，则 “f (x) A” 的充要条件是 “ b R， a D， f(a)=b” ； 若函数 f(x) B，则 f(x)有最大值和最小值 若函数 f(x)， g(x)的定义域相同，且 f(x) A， g(x) B，则 f(x)+g(x)B. 若函数 f(x)=aln(x+2)+ (x -2
11、， a R)有最大值，则 f(x) B. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号 ) 解析 ： (1)对于命题 ， “f (x) A” 即函数 f(x)值域为 R， “ b R， a D， f(a)=b” 表示的是函数可以在 R 中任意取值， 故有：设函数 f(x)的定义域为 D，则 “f (x) A” 的充要条件是 “ b R， a D， f(a)=b” 命题 是真命题； (2)对于命题 ， 若函数 f(x) B，即存在一个正数 M，使得函数 f(x)的值域包含于区间 -M， M. -Mf (x)M .例如：函数 f(x)满足 -2 f(x) 5，则有 -5f (x)5 ，此时， f(x)
12、无最大值，无最小值 . 命题 “ 若函数 f(x) B，则 f(x)有最大值和最小值 .” 是假命题； (3)对于命题 若函数 f(x)， g(x)的定义域相同，且 f(x) A， g(x) B， 则 f(x)值域为 R， f(x) (- ， + )， 并且存在一个正数 M，使得 -Mg (x)M .f (x)+g(x) R. 则 f(x)+g(x)B. 命题 是真命题 . (4)对于命题 函数 f(x)=aln(x+2)+ (x -2， a R)有最大值， 假设 a 0，当 x+ 时， 0 ， ln(x+2)+ ， aln (x+2)+ ，则 f(x)+ .与题意不符； 假设 a 0，当 x
13、 -2 时， ， ln(x+2) - ， aln (x+2)+ ，则 f(x)+ .与题意不符 .a=0 . 即函数 f(x)= (x -2) 当 x 0 时， ， ，即 ； 当 x=0 时， f(x)=0； 当 x 0时， ， ，即 . .即 f(x) B.故命题 是真命题 . 答案： . 三、解答题 (共 6 小题，共 75 分 ) 16.(12 分 )一个盒子里装有三张卡片，分别标记有 1， 2， 3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a， b，c. ( )求 “ 抽取的卡片上的数字满足 a+b=c” 的概率； (
14、 )求 “ 抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同 ” 的概率 . 解析 ： ( )所有的可能结果 (a， b， c)共有 333=27 种，而满足 a+b=c 的 (a， b， c 有计 3个，由此求得 “ 抽取的卡片上的数字满足 a+b=c” 的概率 . ( )所有的可能结果 (a， b， c)共有 333 种，用列举法求得满足 “ 抽取的卡片上的数字a， b， c 完全相同 ” 的 (a， b， c)共计三个，由此求得 “ 抽取的卡片上的数字 a， b， c 完全相同 ” 的概率，再用 1 减去此概率，即得所求 . 答案 ： ( )所有的可能结果 (a， b， c)共有 333=
15、27 种， 而满足 a+b=c 的 (a， b， c)有 (1， 1， 2)、 (1， 2， 3)、 (2， 1， 3)，共计 3 个， 故 “ 抽取的卡片上的数字满足 a+b=c” 的概率为 = . ( )满足 “ 抽取的卡片上的数字 a， b， c 完全相同 ” 的 (a， b， c)有： (1， 1， 1)、 (2， 2， 2)、 (3， 3， 3)，共计三个， 故 “ 抽取的卡片上的数字 a， b， c 完全相同 ” 的概率为 = ， “ 抽取的卡片上的数字 a， b， c 完全相同 ” 的概率为 1- = . 17.(12 分 )已知函数 f(x)=sin(3x+ ). (1)求 f
16、(x)的单调递增区间； (2)若 是第二象限角， f( )= cos(+ )cos2 ，求 cos -sin 的值 . 解析 ： (1)令 2k - 3x+ 2k+ ， k z，求得 x 的范围，可得函数的增区间 . (2)由函数的解析式可得 f( )=sin(+ )，又 f( )= cos(+ )cos2 ，可得sin(+ )= cos(+ )cos2 ，化简可得 (cos -sin )2= .再由 是第二象限角，cos -sin 0，从而求得 cos -sin 的值 . 答案 ： (1) 函数 f(x)=sin(3x+ )，令 2k - 3x+ 2k+ ， k z， 求得 - x + ，故
17、函数的增区间为 - ， + ， k z. (2)由函数的解析式可得 f( )=sin(+ )，又 f( )= cos(+ )cos2 ， sin (+ )= cos(+ )cos2 ，即 sin(+ )= cos(+ )(cos2 -sin2 )， sincos +cossin = (cos2 -sin2 )(sin+cos ). 又 是第二象限角， cos -sin 0， 当 sin+cos=0 时，此时 cos -sin= - . 当 sin+cos0 时，此时 cos -sin= - . 综上所述： cos -sin= - 或 - . 18.(12 分 )在如图所示的多面体中，四边形 A
18、BB1A1和 ACC1A1都为矩形 ( )若 ACBC ，证明：直线 BC 平面 ACC1A1； ( )设 D、 E分别是线段 BC、 CC1的中点，在线段 AB上是否存在一点 M，使直线 DE 平面 A1MC？请证明你的结论 . 解析 ： ( )先证明 AA1 平面 ABC，可得 AA1BC ，利用 ACBC ，可以证明直线 BC 平面 ACC1A1； ( )取 AB 的中点 M，连接 A1M， MC， A1C， AC1，证明四边形 MDEO为平行四边形即可 . 答案： ( ) 四边形 ABB1A1和 ACC1A1都为矩形， AA 1AB ， AA1AC ， ABAC=A ， AA 1 平面
19、 ABC， BC 平面 ABC， AA 1BC ， ACBC ， AA1AC=A ， 直线 BC 平面 ACC1A1； ( )取 AB 的中点 M，连接 A1M， MC， A1C， AC1，设 O为 A1C， AC1的交点，则 O 为 AC1的中点 . 连接 MD， OE，则 MDAC ， MD= AC， OEAC ， OE= AC， MDOE ， MD=OE， 连接 OM，则四边形 MDEO 为平行四边形， DEMO ， DE 平面 A1MC， MO 平面 A1MC， DE 平面 A1MC， 线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点 )，使直线 DE 平面 A1MC. 19.(12 分
20、 )设等差数列 an的公差为 d，点 (an， bn)在函数 f(x)=2x的图象上 (n N*) ( )证明：数列 bn为等比数列； ( )若 a1=1，函数 f(x)的图象在点 (a2， b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- ，求数列 anbn2的前 n 项和 Sn. 解析 ： ( )利用等比数列的定义证明即可； ( )先由 ( )求得 an， bn，再利用错位相减求数列 anbn2的前 n 项和 Sn. 答案： ( )由已知得， bn= 0， 当 n1 时， = = =2d， 数列 bn为首项是 ，公比为 2d的等比数列； ( )f (x)=2xln2 函数 f(x)的图象在点 (a
21、2， b2)处的切线方程为 y- = ln2(x-a2)， 在 x 轴上的截距为 2- ， a 2- =2- ， a 2=2， d=a 2-a1=1， an=n， bn=2n， anbn2=n4n， T n=14+242+343+ (n-1)4n-1+n4n， 4Tn=142+243+ (n-1)4n+n4n+1， T n-4Tn=4+42+4 n-n4n+1= -n4n+1= ， T n= . 20.(13 分 )已知椭圆 C： + =1(a b 0)的左焦点为 F(-2， 0)，离心率为 . ( )求椭圆 C 的标准方程； ( )设 O 为坐标原点， T 为直线 x=-3 上一点，过 F
22、作 TF 的垂线交椭圆于 P、 Q，当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积 . 解析 ： ( )由题意可得 ，解出即可； ( )由 ( )可得 F(-2， 0)，设 T(-3， m)，可得直线 TF 的斜率 kTF=-m，由于 TFPQ ，可得直线 PQ 的方程为 x=my-2.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2).直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系 .由于四边形 OPTQ 是平行四边形，可得 ，即可解得 m.此时四边形 OPTQ 的面积 S=. 答案 ： ( )由题意可得 ，解得 c=2， a= ， b= . 椭圆 C 的标准方程为 ； ( )由 ( )可得
23、F(-2， 0)， 设 T(-3， m)，则直线 TF 的斜率 ， TFPQ ，可得直线 PQ 的方程为 x=my-2. 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2). 联立 ，化为 (m2+3)y2-4my-2=0， 0， y 1+y2= ， y1y2= . x 1+x2=m(y1+y2)-4= . 四边形 OPTQ 是平行四边形， ， (x1， y1)=(-3-x2， m-y2)， ，解得 m=1 . 此时四边形 OPTQ 的面积 S= =. 21.(14 分 )已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1，其中 a， b R， e=2.71828 为自然对数的底数 . (1)设 g(x)是
24、函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间 0， 1上的最小值； (2)若 f(1)=0，函数 f(x)在区间 (0， 1)内有零点，证明： e-2 a 1. 解析 ： (1)求出 f(x)的导数得 g(x)，再求出 g(x)的导数，对它进行讨论，从而判断 g(x)的单调性，求出 g(x)的最小值； (2)利用等价转换，若函数 f(x)在区间 (0， 1)内有零点，则函数 f(x)在区间 (0， 1)内至少有三个单调区间，所以 g(x)在 (0， 1)上应有两个不同的零点 . 答案 ： f (x)=ex-ax2-bx-1， g (x)=f (x)=ex-2ax-b， 又 g (x)=ex-
25、2a， x 0， 1， 1e xe ， 当 时，则 2a1 ， g (x)=ex-2a0 ， 函数 g(x)在区间 0， 1上单调递增， g(x)min=g(0)=1-b； 当 ，则 1 2a e， 当 0 x ln(2a)时， g (x)=ex-2a 0，当 ln(2a) x 1 时， g (x)=ex-2a 0， 函数 g(x)在区间 0， ln(2a)上单调递减，在区间 ln(2a)， 1上单调递增， g(x)min=gln(2a)=2a-2aln(2a)-b； 当 时，则 2ae ， g (x)=ex-2a0 ， 函数 g(x)在区间 0， 1上单调递减， g(x)min=g(1)=e
26、-2a-b， 综上：函数 g(x)在区间 0， 1上的最小值为； (2)证明：由 f(1)=0， e-a-b-1=0b=e-a-1，又 f(0)=0， 若函数 f(x)在区间 (0， 1)内有零点，则函数 f(x)在区间 (0， 1)内至少有三个单调区间， 由 (1)知当 a 或 a 时，函数 g(x)在区间 0， 1上单调，不可能满足 “ 函数 f(x)在区间 (0， 1)内至少有三个单调区间 ” 这一要求 . 若 ，则 gmin(x)=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e-1 令 h(x)= (1 x e) 则 .由 0x h (x)在区间 (1， )上单调递增，在区间 ( ， e)上单调递减， = ，即 gmin(x) 0 恒成立， 函数 f(x)在区间 (0， 1)内至少有三个单调区间 ， 又 ，所以 e-2 a 1， 综上得： e-2 a 1.
