1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 A=x|x2-x-20 ，集合 B 为整数集，则 AB= ( ) A. -1， 0， 1， 2 B. -2， -1， 0， 1 C. 0， 1 D. -1， 0 解析： A=x|-1x2 ， B=Z， AB= -1， 0， 1， 2. 答案： A. 2.在 x(1+x)6的展开式中，含 x3项的系数为 ( ) A. 30 B. 20 C. 15 D. 10 解析： (1+x)6展开式中通项 Tr+1=C
2、6rxr， 令 r=2 可得， T3=C62x2=15x2， (1+x)6展开式中 x2项的系数为 15， 在 x(1+x)6的展开式中，含 x3项的系数为： 15. 答案： C. 3.为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象，只需把 y=sin2x 的图象上所有的点 ( ) A. 向左平行移动 个单位长度 B. 向右平行移动 个单位长度 C. 向左平行移动 1 个单位长度 D. 向右平行一定 1 个单位长度 解析： y=sin (2x+1)=sin2(x+ )， 把 y=sin2x 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度， 即可得到函数 y=sin(2x+1)的图象， 答案： A. 4.
3、若 a b 0， c d 0，则一定有 ( ) A. B. C. D. 解析： 不妨令 a=3， b=1， c=-3， d=-1， 则 ， ， A 、 B 不正确； ， =- ， C 不正确， D 正确 . 答案： D. 5.执行如图所示的程序框图，若输入的 x， y R，那么输出的 S 的最大值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析： 由程序框图知：算法的功能是求可行域 内，目标还是 S=2x+y 的最大值， 画出可行域如图： 当 时， S=2x+y 的值最大，且最大值为 2. 答案： C. 6.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙 .最右端不能排甲，则不同的排发共有
4、( ) A. 192 种 B. 216 种 C. 240 种 D. 288 种 解析： 最左端排甲，共有 =120 种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有 =96 种， 根据加法原理可得，共有 120+96=216 种 . 答案： B. 7.平面向量 =(1， 2)， =(4， 2)， =m + (m R)，且 与 的夹角等于 与 的夹角，则 m=( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 解析： 向量 =(1， 2)， =(4， 2)， =m + =(m+4， 2m+2)， 又 与 的夹角等于 与 的夹角， = ， = ， = ，解得 m=2， 答案： D 8.如图，在正方体 ABCD
5、-A1B1C1D1中，点 O 为线段 BD的中点，设点 P在线段 CC1上，直线 OP于平面 A1BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围是 ( ) A. ， 1 B. ， 1 C. ， D. ， 1 解析： 由题意可得：直线 OP 于平面 A1BD 所成的角 的取值范围是 . 不妨取 AB=2.在 RtAOA 1中， = = . sinC 1OA1=sin( -2AOA 1)=sin2AOA 1=2sinAOA 1cosAOA 1 ， =1.sin 的取值范围是 . 答案： B. 9.已知 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)， x (-1， 1).现有下列命题： f (-x)=-f(
6、x)； f ( )=2f(x) |f (x)|2|x| 其中的所有正确命题的序号是 ( ) A. B. C. D. 解析： f (x)=ln(1+x)-ln(1-x)， x (-1， 1)， f (-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x)，即 正确； f( )=ln(1+ )-ln(1-)=ln( )-ln( )=ln( )=ln( )2=2ln( )=2ln(1+x)-ln(1-x)=2f(x)，故 正确； 当 x 0， 1)时， |f(x)|2|x| f(x)-2x0 ，令 g(x)=f(x)-2x=ln(1+x)-ln(1-x)-2x(x 0，1) g (x)= + -2= 0
7、 ， g (x)在 0， 1)单调递增， g(x)=f(x)-2xg (0)=0， 又 f(x)2x ，又 f(x)与 y=2x 为奇函数，所以丨 f(x)丨 2 丨 x丨成立，故 正确； 故正确的命题有 ， 答案： A 10.已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点，点 A， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， =2(其中 O 为坐标原点 )，则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 ( ) A. 2 B. 3 C. D. 解析： 设直线 AB 的方程为： x=ty+m，点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 与 x 轴的交点为 M(0，m)， 由 y2-ty-m=0，根
8、据韦达定理有 y1y2=-m， =2， x 1x2+y1y2=2，从而 ， 点 A， B 位于 x 轴的两侧， y 1y2=-2，故 m=2. 不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y1 0，又 ， S ABO +SAFO = = . 当且仅当 ，即 时，取 “=” 号， ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 3，故选 B. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 11.复数 = . 解析： 复数 = = =-2i， 答案 ： -2i. 12.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x -1， 1)时， f(x)=，则 f( )= . 解析： f (x)是定义在
9、R 上的周期为 2 的函数， =1. 答案： 1. 13.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 67 ， 30 ，此时气球的高是 46m，则河流的宽度 BC约等于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位 .参考数据：sin670.92 ， cos670.39 ， sin370.60 ， cos370.80 ， 1.73 ) 解析： 过 A 点作 AD 垂直于 CB 的延长线，垂足为 D， 则 RtACD 中， C=30 ， AD=46m， CD= =46 79.58m . 又 RtABD 中， ABD=67 ，可得 BD= = 19.5m ， BC=CD -BD=79
10、.58-19.5=60.0860m . 答案： 60m 14.设 m R，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x， y).则 |PA| |PB|的最大值是 . 解析： 有题意可知，动直线 x+my=0 经过定点 A(0， 0)， 动直线 mx-y-m+3=0 即 m(x-1)-y+3=0，经过点定点 B(1， 3)， 注意到动直线 x+my=0 和动直线 mx-y-m+3=0 始终垂直， P 又是两条直线的交点， 则有 PAPB ， |PA| 2+|PB|2=|AB|2=10. 故 |PA| |PB| =5(当且仅当 时取 “=” )
11、答案： 5 15.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合， B 表示具有如下性质的函数 (x)组成的集合：对于函数 (x)，存在一个正数 M，使得函数 (x)的值域包含于区间 -M， M.例如，当 1(x)=x3， 2(x)=sinx 时， 1(x) A， 2(x) B.现有如下命题： 设函数 f(x)的定义域为 D，则 “f (x) A” 的充要条件是 “ b R， a D， f(a)=b” ； 若函数 f(x) B，则 f(x)有最大值和最小值 若函数 f(x)， g(x)的定义域相同，且 f(x) A， g(x) B，则 f(x)+g(x) B. 若函数 f(x)=aln(x+2)+
12、(x -2， a R)有最大值，则 f(x) B. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号 ) 解析： (1)对于命题 “f (x) A” 即函数 f(x)值域为 R， “ b R， a D， f(a)=b” 表示的是函数可以在 R 中任意取值， 故有：设函数 f(x)的定义域为 D，则 “f (x) A” 的充要条件是 “ b R， a D， f(a)=b” 命题 是真命题； (2)对于命题 若函数 f(x) B，即存在一个正数 M，使得函数 f(x)的值域包含于区间 -M，M. -Mf (x)M .例如：函数 f(x)满足 -2 f(x) 5，则有 -5f (x)5 ，此时， f(x)无
13、最大值，无最小值 . 命题 “ 若函数 f(x) B，则 f(x)有最大值和最小值 .” 是假命题； (3)对于命题 若函数 f(x)， g(x)的定义域相同，且 f(x) A， g(x) B， 则 f(x)值域为 R， f(x) (- ， + )， 并且存在一个正数 M，使得 -Mg (x)M .f (x)+g(x) R. 则 f(x)+g(x) B. 命题 是真命题 . (4)对于命题 函数 f(x)=aln(x+2)+ (x -2， a R)有最大值， 假设 a 0，当 x + 时， 0， ln(x+2) + ， aln (x+2) + ，则 f(x)+ .与题意不符； 假设 a 0，当
14、 x -2 时， ， ln(x+2) - ， aln (x+2) + ，则 f(x) + .与题意不符 .a=0 .即函数 f(x)= (x -2) 当 x 0 时， ， ，即 ； 当 x=0 时， f(x)=0； 当 x 0时， ， ，即 . .即 f(x) B.故命题 是真命题 . 答案： . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.(12 分 )已知函数 f(x)=sin(3x+ ). (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)若 是第二象限角， f( )= cos(+ )cos2 ，求 cos -sin 的值 . 解析： (1)
15、令 2k - 3x+ 2k+ ， k z，求得 x 的范围，可得函数的增区间 . (2)由函数的解析式可得 f( )=sin(+ )，又 f( )= cos(+ )cos2 ，可得sin(+ )= cos(+ )cos2 ，化简可得 (cos -sin )2= .再由 是第二象限角，cos -sin 0，从而求得 cos -sin 的值 . 答案 ： (1) 函数 f(x)=sin(3x+ )，令 2k - 3x+ 2k+ ， k z， 求得 - x + ，故函数的增区间为 - ， + ， k z. (2)由函数的解析式可得 f( )=sin(+ )，又 f( )= cos(+ )cos2 ，
16、 sin (+ )= cos(+ )cos2 ，即 sin(+ )= cos(+ )(cos2 -sin2 )， sincos +cossin = (cos2 -sin2 )(sin+cos ). 又 是第二象限角， cos -sin 0， 当 sin+cos=0 时，此时 cos -sin= - . 当 sin+cos0 时，此时 cos -sin= - . 综上所述： cos -sin= - 或 - . 17.(12 分 )一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，
17、出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分 (即获得 -200 分 ).设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立 . (1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ (3)玩过这款游戏的许多人都发现 .若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了 .请运用统计概率的相关知识分析分数减少的原因 . 解析： (1)设每盘游戏获得的分数为 X，求出对应的概率，即可求 X 的分布列； (2)求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论 . (3)计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识
18、进行分析即可 . 答案 ： (1)X 可能取值有 -200， 10， 20， 100. 则 P(X=-200)= ， P(X=10)= = P(X=20)= = ， P(X=100)= = ，故分布列为： 由 (1)知，每盘游戏出现音乐的概率是 p= + = ， 则至少有一盘出现音乐的概率 p=1- . 由 (1)知，每盘游戏或得的分数为 X 的数学期望是 E(X)=(-200) +10 +20100= - = . 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少 . 18.(12 分 )三棱锥 A-BCD 及其侧视图、俯
19、视图如图所示，设 M， N 分别为线段 AD， AB 的中点，P 为线段 BC 上的点，且 MNNP . (1)证明： P 是线段 BC 的中点； (2)求二面角 A-NP-M 的余弦值 . 解析： (1)用线面垂直的性质和反证法推出结论， (2)先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角 A-NP-M 的余弦值 . 答案 ： (1)由三棱锥 A-BCD 及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥 A-BCD 中： 平面 ABD 平面 CBD， AB=AD=BD=CD=CB=2 设 O 为 BD 的中点，连接 OA， OC 于是 OABD ， OCBD 所以 BD 平面 OACBDAC 因为
20、M， N 分别为线段 AD， AB 的中点，所以 MNBD ， MNNP ，故 BDNP 假设 P 不是线段 BC 的中点，则直线 NP 与直线 AC是平面 ABC内相交直线 从而 BD 平面 ABC，这与 DBC=60 矛盾，所以 P 为线段 BC 的中点 (2)以 O 为坐标原点， OB， OC， OA 分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系， 则 A(0， 0， )， M( ， O， )， N( ， 0， )， P( ， ， 0) 于是 ， ， 设平面 ANP 和平面 NPM 的法向量分别为 和 由 ，则 ，设 z1=1，则 由 ，则 ，设 z2=1，则 cos = = = ， 所
21、以二面角 A-NP-M 的余弦值 19.(12 分 )设等差数列 an的公差为 d，点 (an， bn)在函数 f(x)=2x的图象上 (n N*). (1)若 a1=-2，点 (a8， 4b7)在函数 f(x)的图象上，求数列 an的前 n 项和 Sn； (2)若 a1=1，函数 f(x)的图象在点 (a2， b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- ，求数列 的前 n 项和 Tn. 解析： (1)由于点 (a8， 4b7)在函数 f(x)=2x的图象上，可得 ，又等差数列 an的公差为 d，利用等差数列的通项公式可得 =2d.由于点 (a8， 4b7)在函数 f(x)的图象上，可得 =b8
22、，进而得到 =4=2d，解得 d.再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 . (2)利用导数的几何意义可得函数 f(x)的图象在点 (a2， b2)处的切线方程，即可解得 a2.进而得到 an， bn.再利用 “ 错位相减法 ” 即可得出 . 答案 ： (1) 点 (a8， 4b7)在函数 f(x)=2x的图象上， ， 又等差数列 an的公差为 d， = =2d， 点 (a8， 4b7)在函数 f(x)的图象上， =b8， =4=2d，解得 d=2. 又 a1=-2， S n= =-2n+ =n2-3n. (2)由 f(x)=2x， f (x)=2xln2， 函数 f(x)的图象在点 (a2
23、， b2)处的切线方程为 ， 又 ，令 y=0 可得 x= ， ，解得 a2=2. d=a 2-a1=2-1=1.a n=a1+(n-1)d=1+(n-1)1=n ， b n=2n. . T n= + + ， 2T n=1+ + + ， 两式相减得 Tn=1+ + - = - = =. 20.(13 分 )已知椭圆 C： + =1(a b 0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 x=-3 上任意一点，过 F作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q. 证明： OT 平分线段 PQ(其中
24、O 为坐标原点 )； 当 最小时，求点 T 的坐标 . 解析： 第 (1)问中，由正三角形底边与高的关系， a2=b2+c2及焦距 2c=4 建立方程组求得 a2，b2； 第 (2)问中，先设点的坐标及直线 PQ 的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将 表示出来，由 取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点 T 的坐标 . 答案 ： (1)依题意有 解得 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. (2)设 T(-3， m)， P(x1， y1)， Q(x2， y2)， PQ 的中点为 N(x0， y0)， 证明：由 F(-2， 0)，可设直线 PQ 的方程为 x=my-2， 由 (m2+3)y2
25、-4my-2=0，所以 于是 ，从而 ， 即 ，则 ， 所以 O， N， T 三点共线，从而 OT 平分线段 PQ，故得证 . 由两点间距离公式得 ， 由弦长公式得 = =，所以 ， 令 ，则 (当且仅当 x2=2 时，取 “=”号 )， 所以当 最小时，由 x2=2=m2+1，得 m=1 或 m=-1，此时点 T 的坐标为 (-3， 1)或 (-3， -1). 21.(14 分 )已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1，其中 a， b R， e=2.71828 为自然对数的底数 . (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间 0， 1上的最小值； (2)若 f(1
26、)=0，函数 f(x)在区间 (0， 1)内有零点，证明： e-2 a 1. 解析： (1)求出 f(x)的导数得 g(x)，再求出 g(x)的导数，对它进行讨论，从而判断 g(x)的单调性，求出 g(x)的最小值； (2)利用等价转换，若函数 f(x)在区间 (0， 1)内有零点，则函数 f(x)在区间 (0， 1)内至少有三个单调区间，所以 g(x)在 (0， 1)上应有两个不同的零点 . 答案 ： f (x)=ex-ax2-bx-1， g (x)=f (x)=ex-2ax-b， 又 g (x)=ex-2a， x 0， 1， 1e xe ， 当 时，则 2a1 ， g (x)=ex-2a0
27、 ， 函数 g(x)在区间 0， 1上单调递增， g(x)min=g(0)=1-b； 当 ，则 1 2a e， 当 0 x ln(2a)时， g (x)=ex-2a 0，当 ln(2a) x 1 时， g (x)=ex-2a 0， 函数 g(x)在区间 0， ln(2a)上单调递减，在区间 ln(2a)， 1上单调递增， g(x)min=gln(2a)=2a-2aln(2a)-b； 当 时，则 2ae ， g (x)=ex-2a0 ， 函数 g(x)在区间 0， 1上单调递减， g(x)min=g(1)=e-2a-b， 综上：函数 g(x)在区间 0， 1上的最小值为； (2)证明：由 f(1
28、)=0， e-a-b-1=0b=e-a-1，又 f(0)=0， 若函数 f(x)在区间 (0， 1)内有零点，则函数 f(x)在区间 (0， 1)内至少有三个单调区间， 由 (1)知当 a 或 a 时，函数 g(x)在区间 0， 1上单调，不可能满足 “ 函数 f(x)在区间 (0， 1)内至少有三个单调区间 ” 这一要求 . 若 ，则 gmin(x)=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e-1 令 h(x)= (1 x e) 则 .由 0x h (x)在区间 (1， )上单调递增，在区间 ( ， e)上单调递减， = ，即 gmin(x) 0 恒成立， 函数 f(x)在区间 (0， 1)内至少有三个单调区间 ， 又 ，所以 e-2 a 1，综上得： e-2 a 1.
