1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲版）数学文 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5分 ) 1.设集合 M=1， 2， 4， 6， 8， N=1， 2， 3， 5， 6， 7，则 MN 中元素的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 解析 ： M=1 ， 2， 4， 6， 8， N=1， 2， 3， 5， 6， 7， MN=1 ， 2， 6，即 MN 中元素的个数为 3. 答案 ： B. 2.已知角 的终边经过点 (-4， 3)，则 cos= ( ) A. B. C. - D. - 解析 ： 角 的终边经过点 (-4， 3)， x= -4， y=3， r=
2、=5. cos= = =- ， 答案 ： D. 3.不等式组 的解集为 ( ) A. x|-2 x -1 B. x|-1 x 0 C. x|0 x 1 D. x|x 1 解析 ： 由不等式组 可得 ，解得 0 x 1， 答案 ： C. 4.已知正四面体 ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 如图，取 AD 中点 F，连接 EF， CF， E 为 AB 的中点， EFDB ， 则 CEF 为异面直线 BD 与 CE 所成的角， ABCD 为正四面体， E， F 分别为 AB， AD 的中点， CE=CF .
3、设正四面体的棱长为 2a，则 EF=a， CE=CF= . 在 CEF 中，由余弦定理得： = . 答案 ： B. 5.函数 y=ln( +1)(x -1)的反函数是 ( ) A. y=(1-ex)3(x -1) B. y=(ex-1)3(x -1) C. y=(1-ex)3(x R) D. y=(ex-1)3(x R) 解析 ： y=ln ( +1)， +1=ey，即 =ey-1， x= (ey-1)3， 所求反函数为 y=(ex-1)3， 答案 ： D 6.已知 ， 为单位向量，其夹角为 60 ，则 (2 - ) =( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 解析 ： 由题意可得，
4、=11cos60= ， =1， (2 - ) =2 - =0， 答案 ： B. 7.有 6 名男医生、 5 名女医生，从中选出 2 名男医生、 1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 ( ) A. 60 种 B. 70 种 C. 75 种 D. 150 种 解析 ： 根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C62=15种选法， 再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C51=5种选法，则不同的选法共有 155=75 种； 答案 ： C. 8.设等比数列 an的前 n 项和为 Sn.若 S2=3， S4=15，则 S6=( ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 解析 ：
5、 由等比数列的性质可得 S2， S4-S2， S6-S4成等比数列， 即 3， 12， S6-15 成等比数列，可得 122=3(S6-15)，解得 S6=63 答案 ： C 9.已知椭圆 C： + =1(a b 0)的左、右焦点为 F1、 F2，离心率为 ，过 F2的直线 l交 C 于 A、 B 两点，若 AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为 ( ) A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1 解析 ： AF 1B 的周长为 4 ， 4a=4 ， a= ， 离心率为 ， c=1 ， b= = ， 椭圆 C 的方程为 + =1. 答案 ： A. 10.正四棱锥的顶
6、点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( ) A. B. 16 C. 9 D. 解析 ： 设球的半径为 R，则棱锥的高为 4，底面边长为 2， R 2=(4-R)2+( )2， R= ， 球的表面积为 4 ( )2= . 答案 ： A. 11.双曲线 C： - =1(a 0， b 0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 ，则 C 的焦距等于 ( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 解析 ： ： - =1(a 0， b 0)的离心率为 2， e= ，双曲线的渐近线方程为 y= ，不妨取 y= ，即 bx-ay=0， 则 c=2a， b= ， 焦点 F(c
7、， 0)到渐近线 bx-ay=0 的距离为 ， d= ， 即 ，解得 c=2，则焦距为 2c=4， 答案 ： C 12.奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x+2)为偶函数，且 f(1)=1，则 f(8)+f(9)=( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 解析 ： f (x+2)为偶函数， f(x)是奇函数， f (-x+2)=f(x+2)=-f(x-2)， 即 f(x+4)=-f(x)， f(x+8)=f(x)，则 f(8)=f(0)=0， f(9)=f(1)=1， f (8)+f(9)=0+1=1， 答案 ： D. 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5分 ) 13.
8、(x-2)6的展开式中 x3的系数是 .（ 用数字作答 ） 解析 ： 根据题意， (x-2)6的展开式的通项为 Tr+1=C6rx6-r(-2)r=(-1)r2rC6rx6-r， 令 6-r=3 可得 r=3，此时 T4=(-1)323C63x3=-160x3，即 x3的系数是 -160； 答案 ： -160. 14.函数 y=cos2x+2sinx 的最大值为 . 解析 ： 函数 y=cos2x+2sinx=-2sin2x+2sinx+1=-2 + ， 当 sinx= 时，函数 y 取得最大值为 ， 答案 ： . 15.设 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+4y 的最大值为 . 解析 ：
9、 由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 C(1， 1). 化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式，得 . 由图可知，当直线 过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大， z 最大 . 此时 zmax=1+41=5 . 答案 ： 5. 16.直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为 (1， 3)，则 l1与 l2的夹角的正切值等于 . 解析 ： 设 l1与 l2的夹角为 2 ，由于 l1与 l2的交点 A(1， 3)在圆的外部， 且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA= = ， 圆的半径为 r= ， sin= = ， cos= ， tan= = ，
10、 tan2= = = ， 答案 ： . 三、解答题 17.(10 分 )数列 an满足 a1=1， a2=2， an+2=2an+1-an+2. ( )设 bn=an+1-an，证明 bn是等差数列； ( )求 an的通项公式 . 解析 ： ( )将 an+2=2an+1-an+2 变形为： an+2-an+1=an+1-an+2，再由条件得 bn+1=bn+2，根据条件求出 b1，由等差数列的定义证明 bn是等差数列； ( )由 ( )和等差数列的通项公式求出 bn，代入 bn=an+1-an并令 n从 1开始取值，依次得 (n-1)个式子，然后相加，利用等差数列的前 n 项和公式求出 an
11、的通项公式 an. 答案 ： ( )由 an+2=2an+1-an+2 得， an+2-an+1=an+1-an+2， 由 bn=an+1-an得， bn+1=bn+2，即 bn+1-bn=2，又 b1=a2-a1=1， 所以 bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列 . ( )由 ( )得， bn=1+2(n-1)=2n-1， 由 bn=an+1-an得， an+1-an=2n-1，则 a2-a1=1， a3-a2=3， a4-a3=5， ， an-an-1=2(n-1)-1， 所以， an-a1=1+3+5+2 (n-1)-1= =(n-1)2， 又 a1=1，所以 an的通项公式 an=
12、(n-1)2+1=n2-2n+2. 18.(12 分 )ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，已知 3acosC=2ccosA， tanA= ，求 B. 解析 ： 由 3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得 tanC，利用 tanB=tan -(A+B)=-tan(A+B)即可得出 . 答案 ： 3acosC=2ccosA ， 由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA， 3tanA=2tanC ， tanA= ， 2tanC=3 =1，解得 tanC= . tanB=tan
13、-(A+B)=-tan(A+B)=- =- =-1， B (0， )， B= . 19.(12 分 )如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上， ACB=90 ，BC=1， AC=CC1=2. ( )证明： AC1A 1B； ( )设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为 ，求二面角 A1-AB-C 的大小 . 解析 ： ( )由已知数据结合三垂线定理可得； ( )作辅助线可证 A 1FD 为二面角 A1-AB-C 的平面角，解三角形由反三角函数可得 . 答案 ： ( )A 1D 平面 ABC， A1D平面 AA1C1C， 平面 AA1C1C
14、平面 ABC，又 BCAC ， BC 平面 AA1C1C，连结 A1C， 由侧面 AA1C1C 为菱形可得 AC1A 1C， 由三垂线定理可得 AC1A 1B； ( )BC 平面 AA1C1C， BC平面 BCC1B1， 平面 AA1C1C 平面 BCC1B1， 作 A1ECC 1， E 为垂足，可得 A1E 平面 BCC1B1， 又直线 AA1 平面 BCC1B1， A 1E 为直线 AA1与平面 BCC1B1的距离，即 A1E= ， A 1C 为 ACC 1的平分线， A 1D=A1E= ， 作 DFAB ， F 为垂足，连结 A1F， 由三垂线定理可得 A1FAB ， A 1FD 为二面
15、角 A1-AB-C 的平面角， 由 AD= =1 可知 D 为 AC 中点， DF= = ， tanA 1FD= = ， 二面角 A1-AB-C 的大小为 arctan 20.(12 分 )设每个工作日甲，乙，丙，丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6， 0.5， 0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立 . ( )求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； ( )实验室计划购买 k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求 “ 同一工作日需使用设备的人数大于 k” 的概率小于 0.1，求 k 的最小值 . 解析 ： ( )把 4 个人都需使用设备的概率、 4 个人中有 3 个人使用设备的概
16、率相加，即得所求 . ( )由 ( )可得若 k=2，不满足条件 .若 k=3，求得 “ 同一工作日需使用设备的人数大于 3”的概率为 0.06 0.1，满足条件，从而得出结论 . 答案 ： ( )由题意可得 “ 同一工作日至少 3 人需使用设备 ” 的概率为 0.60.50.50.4+ (1-0.6)0.50.50.4+0.6 (1-0.5)0.50.4+0.60.5 (1-0.5)0.4+0.60.50.5 (1-0.4)=0.31. ( )由 ( )可得若 k=2，则 “ 同一工作日需使用设备的人数大于 2” 的概率为 0.31 0.1，不满足条件 . 若 k=3，则 “ 同一工作日需使
17、用设备的人数大于 3” 的概率为 0.60.50.50.4=0.06 0.1，满足条件 .故 k 的最小值为 3. 21.(12 分 )函数 f(x)=ax3+3x2+3x(a0 ). ( )讨论 f(x)的单调性； ( )若 f(x)在区间 (1， 2)是增函数，求 a 的取值范围 . 解析 ： ( )求出函数的导数，通过导数为 0，利用二次函数的根，通过 a 的范围讨论 f(x)的单调性； ( )当 a 0， x 0 时， f(x)在区间 (1， 2)是增函数，当 a 0 时， f(x)在区间 (1， 2)是增函数，推出 f (1)0 且 f (2)0 ，即可求 a 的取值范围 . 答案
18、： ( )函数 f(x)=ax3+3x2+3x， f (x)=3ax2+6x+3， 令 f (x)=0，即 3ax2+6x+3=0，则 =36 (1-a). 若 a 1 时，则 0 ， f (x)0 ， f (x)在 R 上是增函数； 因为 a0 ， 当 a1 ， 0， f (x)=0 方程有两个根， x1= ， x2= ， 当 0 a 1 时，则当 x (- ， x2)或 (x1， + )时， f (x) 0，故函数在 (- ， x2)或 (x1， + )是增函数；在 (x2， x1)是减函数； 当 a 0 时，则当 x (- ， x1)或 (x2， + )， f (x) 0，故函数在 (-
19、 ， x1)或 (x2， + )是减函数；在 (x1， x2)是增函数； ( )当 a 0， x 0 时， f (x)=3ax2+6x+3 0 故 a 0 时， f(x)在区间 (1， 2)是增函数， 当 a 0 时， f(x)在区间 (1， 2)是增函数， 当且仅当： f (1)0 且 f (2)0 ，解得 - ， a 的取值范围 ) (0， + ). 22.(12 分 )已知抛物线 C： y2=2px(p 0)的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且 |QF|= |PQ|. ( )求 C 的方程； ( )过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B两点，
20、若 AB的垂直平分线 l 与 C 相交于 M、 N 两点，且 A、 M、 B、 N 四点在同一圆上，求 l 的方程 . 解析 ： ( )设点 Q 的坐标为 (x0， 4)，把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程，求得 x0= ，根据|QF|= |PQ|求得 p 的值，可得 C 的方程 . ( )设 l 的方程为 x=my+1 (m0 )，代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长 |AB|.把直线 l 的方程线 l 的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得 |MN|.由于 MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于 |AE|=|BE|= |MN|，求得
21、 m 的值，可得直线 l 的方程 . 答案 ： ( )设点 Q 的坐标为 (x0， 4)，把点 Q 的坐标代入抛物线 C： y2=2px(p 0)， 可得 x0= ， 点 P(0， 4)， |PQ|= . 又 |QF|=x0+ = + ， |QF|= |PQ|， + = ，求得 p=2，或 p=-2(舍去 ). 故 C 的方程为 y2=4x. ( )由题意可得，直线 l 和坐标轴不垂直，设 l 的方程为 x=my+1 (m0 )， 代入抛物线方程可得 y2-4my-4=0， y 1+y2=4m， y1y2=-4. AB 的中点坐标为 D(2m2+1， 2m)，弦长 |AB|= |y1-y2|=
22、4(m2+1). 又直线 l 的斜率为 -m， 直线 l 的方程为 x=- y+2m2+3. 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B两点，若 AB的垂直平分线 l 与 C 相交于 M、 N 两点， 把线 l 的方程代入抛物线方程可得 y2+ y-4(2m2+3)=0， y 3+y4= ， y3y4=-4(2m2+3). 故线段 MN 的中点 E 的坐标为 ( +2m2+3， )， |MN|= |y3-y4|= ， MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于 |AE|=|BE|= |MN|， +DE2= MN2， 4 (m2+1)2+ + = ，化简可得 m2-1=0， m=1 直线 l 的方程为 x-y-1=0，或 x-+y-1=0.
