1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲版）数学理 一、选择题 （ 本大题共 12 小题，每小题 5分 ） 1.设 z= ，则 z 的共轭复数为 ( ) A. -1+3i B. -1-3i C. 1+3i D. 1-3i 解析： z= = ， . 答案 ： D. 2.设集合 M=x|x2-3x-4 0， N=x|0x5 ，则 MN= ( ) A. (0， 4 B. 0， 4) C. -1， 0) D. (-1， 0 解析： 由 x2-3x-4 0，得 -1 x 4， M=x|x 2-3x-4 0=x|-1 x 4， 又 N=x|0x5 ， MN=x| -1 x 4x|0x5=0 ， 4)
2、. 答案 ： B. 3.设 a=sin33 ， b=cos55 ， c=tan35 ，则 ( ) A. a b c B. b c a C. c b a D. c a b 解析： 由诱导公式可得 b=cos55=cos (90 -35 )=sin35 ， 由正弦函数的单调性可知 b a，而 c=tan35= sin35=b ， c b a 答案 ： C 4.若向量 、 满足： | |=1， ( + ) ， (2 + ) ，则 | |=( ) A. 2 B. C. 1 D. 解析： 由题意可得， ( + ) = + =1+ =0， =-1； (2 + ) =2 + =-2+ =0， b 2=2，则
3、 | |= ， 答案 ： B. 5.有 6 名男医生、 5 名女医生，从中选出 2 名男医生、 1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 ( ) A. 60 种 B. 70 种 C. 75 种 D. 150 种 解析： 根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C62=15种选法， 再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C51=5种选法，则不同的选法共有 155=75 种； 答案 ： C. 6.已知椭圆 C： + =1(a b 0)的左、右焦点为 F1、 F2，离心率为 ，过 F2的直线 l交 C 于 A、 B 两点，若 AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为 ( ) A. +
4、 =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1 解析： AF 1B 的周长为 4 ， 4a=4 ， a= ， 离心率为 ， c=1 ， b= = ， 椭圆 C 的方程为 + =1. 答案 ： A. 7.曲线 y=xex-1在点 (1， 1)处切线的斜率等于 ( ) A. 2e B. e C. 2 D. 1 解析： 函数的导数为 f (x)=ex-1+xex-1=(1+x)ex-1， 当 x=1 时， f (1)=2， 即曲线 y=xex-1在点 (1， 1)处切线的斜率 k=f (1)=2， 答案 ： C. 8.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球
5、的表面积为( ) A. B. 16 C. 9 D. 解析： 设球的半径为 R，则棱锥的高为 4，底面边长为 2， R 2=(4-R)2+( )2， R= ， 球的表面积为 4 ( )2= . 答案 ： A. 9.已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1、 F2，点 A在 C 上，若 |F1A|=2|F2A|，则cosAF 2F1=( ) A. B. C. D. 解析： 双曲线 C 的离心率为 2， e= ，即 c=2a， 点 A 在双曲线上，则 |F1A|-|F2A|=2a， 又 |F1A|=2|F2A|， 解得 |F1A|=4a， |F2A|=2a， |F1F2|=2c， 则由余弦定理得
6、 cosAF 2F1= = ， 答案 ： A. 10.等比数列 an中， a4=2， a5=5，则数列 lgan的前 8 项和等于 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解析： 等比数列 an中 a4=2， a5=5， a 4 a5=25=10 ， 数列 lgan的前 8 项和 S=lga1+lga2+lga 8 =lg(a1 a2a 8)=lg(a4 a5)4 =4lg(a4 a5)=4lg10=4 答案 ： C 11.已知二面角 -l- 为 60 ， AB ， ABl ， A 为垂足， CD ， C l， ACD=135 ，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 ( ) A
7、. B. C. D. 解析： 如图，过 A 点做 AEl ，使 BE ，垂足为 E，过点 A做 AFCD ，过点 E 做 EFAE ，连接 BF， ABl ， BAE=60 ， 又 ACD=135 ， EAF=45 ， 在 RtBEA 中，设 AE=a，则 AB=2a， BE= a， 在 RtAEF 中，则 EF=a， AF= a， 在 RtBEF 中，则 BF=2a， 异面直线 AB 与 CD 所成的角即是 BAF ， cosBAF= = = . 答案 ： B. 12.函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 x+y=0 对称，则 y=f(x)的反函数是( ) A. y=g
8、(x) B. y=g(-x) C. y=-g(x) D. y=-g(-x) 解析： 设 P(x， y)为 y=f(x)的反函数图象上的任意一点， 则 P 关于 y=x 的对称点 P (y， x)一点在 y=f(x)的图象上， 又 函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 x+y=0 对称， P (y， x)关于直线 x+y=0 的对称点 P (-x， -y)在 y=g(x)图象上， 必有 -y=g(-x)，即 y=-g(-x)y=f (x)的反函数为： y=-g(-x) 答案 ： D 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5分 ) 13. 的展开式中 x2y2的系数为 .
9、(用数字作答 ) 解析： 的展开式的通项公式为 Tr+1= (-1)r = (-1)r ， 令 8- = -4=2，求得 r=4，故展开式中 x2y2的系数为 =70， 答案 ： 70. 14.设 x、 y 满足约束条件 ，则 z=x+4y 的最大值为 . 解析： 由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 C(1， 1).化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式，得 . 由图可知，当直线 过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大， z 最大 . 此时 zmax=1+41=5 . 答案 ： 5. 15.直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为 (1， 3
10、)，则 l1与 l2的夹角的正切值等于 . 解析： 设 l1与 l2的夹角为 2 ，由于 l1与 l2的交点 A(1， 3)在圆的外部， 且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA= = ， 圆的半径为 r= ， sin= = ， cos= ， tan= = ， tan2= = = ， 答案 ： . 16.若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区间 ( ， )是减函数，则 a 的取值范围是 . 解析： 由 f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1， 令 t=sinx，则原函数化为 y=-2t2+at+1. x ( ， )时 f(x)为减函数，则 y=-2t2+at+
11、1 在 t ( ， 1)上为减函数， y= -2t2+at+1 的图象开口向下，且对称轴方程为 t= . ， 解得： a2 .a 的取值范围是 (- ， 2. 答案 ： (- ， 2. 三、解答题 17.(10 分 )ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，已知 3acosC=2ccosA， tanA= ，求 B. 解析： 由 3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得 tanC，利用 tanB=tan -(A+B)=-tan(A+B)即可得出 . 答案 ： 3acosC=2ccosA ， 由正
12、弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA， 3tanA=2tanC ， tanA= ， 2tanC=3 =1，解得 tanC= . tanB=tan -(A+B)=-tan(A+B)=- =- =-1， B (0， )， B= 点评： 本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公 18.(12 分 )等差数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10， a2为整数，且 SnS 4. ( )求 an的通项公式； ( )设 bn= ，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解析： ( )由题意得 a40 ， a50 ，即 10+3d0 ， 10+4d0 ，解得
13、 d=-3，即可写出通项公式； ( )利用裂项相消法求数列和即可 . 答案 ： ( )由 a1=10， a2为整数，且 SnS 4得 a40 ， a50 ，即 10+3d0 ， 10+4d0 ，解得 - d - ， d= -3， a n的通项公式为 an=13-3n. ( )b n= = ( - )， T n=b1+b2+b n= ( - + - + - )= ( - )=. 19.(12 分 )如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上， ACB=90 ，BC=1， AC=CC1=2. ( )证明： AC1A 1B； ( )设直线 AA1与平面
14、BCC1B1的距离为 ，求二面角 A1-AB-C 的大小 . 解析： ( )由已知数据结合三垂线定理可得； ( )作辅助线可证 A 1FD 为二面角 A1-AB-C 的平面角，解三角形由反三角函数可得 . 答案 ： ( )A 1D 平面 ABC， A1D平面 AA1C1C， 平面 AA1C1C 平面 ABC，又 BCAC BC 平面 AA1C1C，连结 A1C， 由侧面 AA1C1C 为菱形可得 AC1A 1C， 由三垂线定理可得 AC1A 1B； ( )BC 平面 AA1C1C， BC平面 BCC1B1， 平面 AA1C1C 平面 BCC1B1， 作 A1ECC 1， E 为垂足，可得 A1
15、E 平面 BCC1B1， 又直线 AA1 平面 BCC1B1， A 1E 为直线 AA1与平面 BCC1B1的距离，即 A1E= ， A 1C 为 ACC 1的平分线， A 1D=A1E= ， 作 DFAB ， F 为垂足，连结 A1F， 由三垂线定理可得 A1FAB ， A 1FD 为二面角 A1-AB-C 的平面角， 由 AD= =1 可知 D 为 AC 中点， DF= = ， tanA 1FD= = ， 二面角 A1-AB-C 的大小为 arctan 20.(12 分 )设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、 0.5、 0.5、0.4，各人是否需使用设备相
16、互独立 . ( )求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； ( )X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 X 的数学期望 . 解析： 记 Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备， i=0， 1， 2， B 表示事件：甲需要设备， C 表示事件，丁需要设备， D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备 ( )P(D)=P( )，代入计算即可， ( )X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， 4，分别求出 PXi，再利用数学期望公式计算即可 . 答案： 记 Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备， i=0， 1， 2， B 表示事件：甲需要设备， C 表示事件，丁需要设备， D 表示事件
17、：同一工作日至少 3 人需使用设备 ( )D= ， P(B)=0.6， P(C)=0.4， P(Ai)= 所以 P(D)=P( )=P(A1 B C)+P(A2B)+P( )=0.31 ( )X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， 4 =(1-0.6)0.5 2 (1-0.4)=0.06 )=0.60.5 2 (1-0.4)+(1-0.6)0.5 20.4+ (1-0.6)20.5 2 (1-0.4)=0.25 P(X=4)=P(A2BC)=0.520.60.4=0.06 ， P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25， P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X
18、=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38. 故数学期望 EX=00.06+10.25+20.38+30.25+40.06=2 . 21.(12 分 )已知抛物线 C： y2=2px(p 0)的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且 |QF|= |PQ|. ( )求 C 的方程； ( )过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B两点，若 AB的垂直平分线 l 与 C 相交于 M、 N 两点，且 A、 M、 B、 N 四点在同一圆上，求 l 的方程 . 解析： ( )设点 Q 的坐标为 (x0， 4)，把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程
19、，求得 x0= ，根据|QF|= |PQ|求得 p 的值，可得 C 的方程 . ( )设 l 的方程为 x=my+1 (m0 )，代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长 |AB|.把直线 l 的方程线 l 的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得 |MN|.由于 MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于 |AE|=|BE|= |MN|，求得 m 的值，可得直线 l 的方程 . 答案 ： ( )设点 Q 的坐标为 (x0， 4)，把点 Q 的坐标代入抛物线 C： y2=2px(p 0)， 可得 x0= ， 点 P(0， 4)， |PQ|= . 又
20、|QF|=x0+ = + ， |QF|= |PQ|， + = ，求得 p=2，或 p=-2(舍去 ). 故 C 的方程为 y2=4x. ( )由题意可得，直线 l 和坐标轴不垂直，设 l 的方程为 x=my+1 (m0 )， 代入抛物线方程可得 y2-4my-4=0， y 1+y2=4m， y1y2=-4. AB 的中点坐标为 D(2m2+1， 2m)，弦长 |AB|= |y1-y2|=4(m2+1). 又直线 l 的斜率为 -m， 直线 l 的方程为 x=- y+2m2+3. 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B两点，若 AB的垂直平分线 l 与 C 相交于 M、 N 两点， 把线
21、l 的方程代入抛物线方程可得 y2+ y-4(2m2+3)=0， y 3+y4= ， y3y4=-4(2m2+3). 故线段 MN 的中点 E 的坐标为 ( +2m2+3， )， |MN|= |y3-y4|=， MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于 |AE|=|BE|= |MN|， +DE2= MN2， 4 (m2+1)2+ + = ，化简可得 m2-1=0， m=1 直线 l 的方程为 x-y-1=0，或 x-+y-1=0. 22.(12 分 )函数 f(x)=ln(x+1)- (a 1). ( )讨论 f(x)的单调性； ( )设 a1=1， an+1=ln(an+1)，
22、证明： an . 解析： ( )求函数的导数，通过讨论 a 的取值服务，即可得到 f(x)的单调性； ( )利用数学归纳法即可证明不等式 . 答案 ： ( )函数 f(x)的定义域为 (-1， + )， f (x)= ， 当 1 a 2 时，若 x (-1， a2-2a)，则 f (x) 0，此时函数 f(x)在 (-1， a2-2a)上是增函数， 若 x (a2-2a， 0)，则 f (x) 0，此时函数 f(x)在 (a2-2a， 0)上是减函数， 当 a=2 时， f (x) 0，此时函数 f(x)在 (-1， + )上是增函数， 当 a 2 时，若 x (-1， 0)，则 f (x)
23、0，此时函数 f(x)在 (-1， 0)上是增函数， 若 x (0， a2-2a)，则 f (x) 0，此时函数 f(x)在 (0， a2-2a)上是减函数， 若 x (a2-2a， + )，则 f (x) 0，此时函数 f(x)在 (a2-2a， + )上是增函数 . ( )由 ( )知，当 a=2 时，此时函数 f(x)在 (-1， + )上是增函数， 当 x (0， + )时， f(x) f(0)=0，即 f(x+1) ， (x 0)， 又由 ( )知，当 a=3 时， f(x)在 (0， 3)上是减函数， 当 x (0， 3)时， f(x) f(0)=0， f(x+1) ， 下面用数学归纳法进行证明 an 成立， 当 n=1 时，由已知 ，故结论成立 . 假设当 n=k 时结论成立，即 ， 则当 n=k+1 时， an+1=ln(an+1) ln( ) ， an+1=ln(an+1) ln( ) ， 即当 n=k+1 时， 成立， 综上由 可知，对任何 n N结论都成立 .
