1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学文 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. i 是虚数单位，复数 =( ) A. 1-i B. -1+i C. + i D. - + i 解析 ：复数 = = ， 答案： A. 2.设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 ： 作出不等式对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y=- ， 平移直线 y=- ，由图象可知当直线 y=- 经过点 B(1， 1)时，直线 y=- 的截距最小，此时 z 最小 .此时 z 的最小值为 z=1+
2、21=3 ， 答案： B. 3.已知命题 p： x 0，总有 (x+1)ex 1，则 p 为 ( ) A. x00 ，使得 (x0+1)e0x1 B. x0 0，使得 (x0+1)e0x1 C. x 0，总有 (x+1)ex1 D. x0 ，总有 (x+1)ex1 解析 ： 根据全称命题的否定为特称命题可知， p 为 x0 0，使得 (x0+1)e0x1 ， 答案： B. 4.设 a=log2 ，12logb ， c= -2，则 ( ) A. a b c B. b a c C. a c b D. c b a 解析 ： log2 1，12log 0， 0 -2 1，即 a 1， b 0， 0 c
3、 1， a c b， 答案： C 5.设 an的首项为 a1，公差为 -1 的等差数列， Sn为其前 n 项和，若 S1， S2， S4 成等比数列，则 a1=( ) A. 2 B. -2 C. D. - 解析 ： a n是首项为 a1，公差为 -1 的等差数列， Sn为其前 n 项和， S 1=a1， S2=2a1-1， S4=4a1-6， 由 S1， S2， S4成等比数列，得： ， 即 ，解得： . 答案： D. 6.已知双曲线 - =1(a 0， b 0)的一条渐近线平行于直线 l： y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 ( ) A. B. - =1 C.
4、- =1 D. - =1 解析 ： 令 y=0，可得 x=-5，即焦点坐标为 (-5， 0)， c=5 ， 双曲线 - =1(a 0， b 0)的一条渐近线平行于直线 l： y=2x+10， =2， c 2=a2+b2， a 2=5， b2=20， 双曲线的方程为 - =1. 答案： A. 7.如图， ABC 是圆的内接三角形， BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于 E，过点 B的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论： BD 平分 CBF ； FB 2=FD FA； AE CE=BE DE； AF BD=AB BF. 所有正确结论的序号是 ( ) A. B
5、. C. D. 解析 ： 圆周角 DBC 对应劣弧 CD，圆周角 DAC 对应劣弧 CD， DBC=DAC. 弦切角 FBD 对应劣弧 BD，圆周角 BAD 对应劣弧 BD， FBD=BAF. BD 是 BAC 的平分线， BAF=DAC. DBC=FBD. 即 BD 平分 CBF. 即结论 正确 . 又由 FBD=FAB ， BFD=AFB ，得 FBD FAB. 由 ， FB2=FD FA.即结论 成立 . 由 ，得 AF BD=AB BF.即结论 成立 . 正确结论有 . 答案： D 8.已知函数 f(x)= sinx+cosx ( 0)， x R，在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的
6、交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 f(x)的最小正周期为 ( ) A. B. C. D. 2 解析 ： 已知函数 f(x)= sinx+cosx=2sin(x+ )( 0)， x R， 在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，正好等于 f(x)的周期的 倍，设函数 f(x)的最小正周期为 T，则 = ， T= ， 答案： C. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30分 . 9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三
7、年级、四年级的本科生人数之比为 4： 5： 5： 6，则应从一年级本科生中抽取 60 名学生 . 解析 ： 根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为 = ， 故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300 =60， 答案： 60. 10.一个几何体的三视图如图所示 (单位： m)，则该几何体的体积为 m3. 解析 ： 由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 其中圆柱的高为 4，底面直径为 2，圆锥的高为 2，底面直径为 4， 几何体的体积 V=1 24+ 2 22=4+ = . 答案 ： . 11.阅读如图的框图，运行相应的程序，输出 S 的值为 . 解析 ： 由框图知，第一次循环
8、得到： S=-8， n=2； 第二次循环得到： S=-4， n=1；退出循环，输出 -4. 故答案为： -4. 12.函数 f(x)=lgx2的单调递减区间是 . 解析 ： 方法一： y=lgx2=2lg|x|， 当 x 0 时， f(x)=2lgx 在 (0， +) 上是增函数； 当 x 0 时， f(x)=2lg(-x)在 (- ， 0)上是减函数 . 函数 f(x)=lgx2的单调递减区间是 (- ， 0). 方法二：原函数是由 复合而成， t=x 2在 (- ， 0)上是减函数，在 (0， +) 为增函数； 又 y=lgt 在其定义域上为增函数， f(x)=lgx 2在 (- ， 0)
9、上是减函数，在 (0， +) 为增函数， 函数 f(x)=lgx2的单调递减区间是 (- ， 0). 答案： (- ， 0). 13.已知菱形 ABCD 的边长为 2， BAD=120 ，点 E， F 分别在边 BC， DC 上， BC=3BE， DC=DF ，若 =1，则 的值为 . 解析 ： BC=3BE ， DC=DF ， = ， = ， = + = + = + ， = + = + = + ， 菱形 ABCD 的边长为 2， BAD=120 ， | |=| |=2， =22cos120= -2， =1， ( + )( + )= + +(1+ ) =1， 即 4+ 4 -2(1+ )=1，
10、整理得 ，解得 =2 ， 答案： 2. 14.已知函数 f(x)= ，若函数 y=f(x)-a|x|恰有 4 个零点，则实数 a的取值范围为 . 解析 ： 由 y=f(x)-a|x|=0 得 f(x)=a|x|，作出函数 y=f(x)， y=a|x|的图象， 当 a0 ，不满足条件， a 0， 当 a=2 时，此时 y=a|x|与 f(x)有三个 交点， 当 a=1 时，此时 y=a|x|与 f(x)有五个 交点， 要使函数 y=f(x)-a|x|恰有 4 个零点， 则 1 a 2， 答案： (1， 2) 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
11、 15.(13 分 )某校夏令营有 3 名男同学， A、 B、 C 和 3 名女同学 X， Y， Z，其年级情况如表： 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛 （ 每人被选到的可能性相同 ） ( )用表中字母列举出所有可能的结果； ( )设 M 为事件 “ 选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1名女同学 ” ，求事件 M发生的概率 . 解析 ： () 用表中字母一一列举出所有可能的结果，共 15 个 . () 用列举法求出事件 M 包含的结果有 6 个，而所有的结果共 15 个，由此求得事件 M发生的概率 . 答案 ： () 用表中字母列举出所有可能的结果有： (A，
12、B)、 (A， C)、 (A， X)、 (A， Y)、 (A，Z)、 (B， C)、 (B， X)、 (B， Y)、 (B， Z)、 (C， X)、 (C， Y)、 (C， Z)、 (X， Y)、 (X， Z )、 (Y， Z)，共计 15 个结果 . () 设 M 为事件 “ 选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1名女同学 ” ， 则事件 M 包含的结果有： (A， Y)、 (A， Z)、 (B， X)、 (B， Z)、 (C， X)、 (C， Y)，共计 6 个结果， 故事件 M 发生的概率为 = . 16.(13 分 )在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为
13、a， b， c，已知 a-c= b， sinB=sinC， ( )求 cosA 的值； ( )求 cos(2A- )的值 . 解析 ： () 已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出 a，利用余弦定理表示出 cosA，将表示出的 a， b 代入计算，即可求出 cosA 的值； () 由 cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出 sin2A 与 cos2A 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值 . 答案 ： () 将 sinB= sinC，利用正弦定理化简得： b= c
14、， 代入 a-c= b，得： a-c=c，即 a=2c， cosA= = = ； ()cosA= ， A 为三角形内角， sinA= = ， cos2A=2cos 2A-1=- ， sin2A=2sinAcosA= ， 则 cos(2A- )=cos2Acos +sin2Asin =- + = . 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 . 17.(13 分 )如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形， BA=BD= ， AD=2， PA=PD= ，E， F 分别是
15、棱 AD， PC 的中点 . ( )证明 EF 平面 PAB； ( )若二面角 P-AD-B 为 60 ， (i)证明平面 PBC 平面 ABCD； (ii)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值 . 解析 ： () 要证明 EF 平面 PAB，可以先证明平面 EFH 平面 PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证； ()(i) 要证明平面 PBC 平面 ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证 PB 平面 ABCD即可； (ii)由 (i)知， BD， BA， BP 两两垂直，建立空间直角坐标系 B-DAP，得到直线 EF 的方向向量与平面 PBC 法向量，其夹角的余弦值
16、的绝对值即为所成角的正弦值 . 答案 ： () 连结 AC， ACBD=H ， 底面 ABCD 是平行四边形， H 为 BD 中点， E 是棱 AD 的中点 . 在 ABD 中， EHAB ， 又 AB 平面 PAB， EH平面 PAD， EH 平面 PAB. 同理可证， FH 平面 PAB. 又 EHFH=H ， 平面 EFH 平面 PAB， EF 平面 EFH， EF 平面 PAB； ()(i) 如图，连结 PE， BE. BA=BD= ， AD=2， PA=PD= ， BE=1 ， PE=2. 又 E 为 AD 的中点， BEAD ， PEAD ， PEB 即为二面角 P-AD-B 的平
17、面角，即 PEB=60 ， PB= . PBD 中， BD2+PB2=PD2， PBBD ，同理 PBBA ， PB 平面 ABD， PB 平面 PBC， 平面 PAB 平面 ABCD； (ii)由 (i)知， PBBD ， PBBA ， BA=BD= ， AD=2， BDBA ， BD ， BA， BP 两两垂直， 以 B 为坐标原点，分别以 BD， BA， BP 为 X， Y， Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B-DAP， 则有 A(0， ， 0)， B(0， 0， 0)， C( ， - ， 0)， D( ， 0， 0)， P(0， 0， )， =( ， - ， 0)， =(0， 0
18、， )， 设平面 PBC 的法向量为 ， ， ，令 x=1，则 y=1， z=0，故 =(1， 1， 0)， E ， F 分别是棱 AD， PC 的中点， E( ， ， 0)， F( ， - ， )， =(0， ， )， = = =- ， 即直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 . 18.(13 分 )设椭圆 + =1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，右顶点为 A，上顶点为B，已知 |AB|= |F1F2|. ( )求椭圆的离心率； ( )设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，经过点 F2的直线 l与该圆相切于点 M， |MF2|=2 ，
19、求椭圆的方程 . 解析 ： () 分别用 a， b， c 表示出 |AB|和 |F1F2|，根据已知建立等式求得 a 和 c 的关系，进而求得离心率 e. () 根据 (1)中 a 和 c 的关系，用 c 表示出椭圆的方程，设出 P 点的坐标，根据 PB 为直径，推断出 BF1PF 1，进而知两直线斜率相乘得 -1，进而求得 sin 和 cos ，表示出 P 点坐标，利用 P， B 求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出 |OB|， |OF2|，利用勾股定理建立等式求得 c，则椭圆的方程可得 . 答案 ： () 依题意可知 = 2c， b 2=a2-c2， a 2+b2=2a2-c2
20、=3c2， a 2=2c2， e= = . () 由 () 知 a2=2c2， b 2=a2-c2=c2， 椭圆方程为 + =1， B(0， c)， F1(-c， 0) 设 P 点坐标 ( csin ， ccos) ，圆心为 O， PB 为直径， BF 1PF 1， k BF1kPF1= =-1， 求得 sin= - 或 0(舍去 )， 由椭圆对称性可知， P 在 x 轴下方和上方结果相同，只看在 x 轴上方时， cos= = ， P 坐标为 (- c， c)， 圆心坐标为 (- c， c)， r=|OB|= = c， |OF2|= = c， r 2+|MF2|2=|OF2|2， +8= c2
21、， c 2=3， a 2=6， b2=3， 椭圆的方程为 + =1. 19.(14 分 )已知函数 f(x)=x2- ax3(a 0)， x R. ( )求 f(x)的单调区间和极值； ( )若对于任意的 x1 (2， + )，都存在 x2 (1， + )，使得 f(x1) f(x2)=1，求 a 的取值范围 . 解析 ： () 求导数，利用导数的正负，可得 f(x)的单调区间，从而求出函数的极值； () 由 f(0)=f( )=0 及 () 知，当 x (0， )时， f(x) 0；当 x ( ， +) 时， f(x) 0.设集合 A=f(x)|x (2， +) ，集合 B= |x (1，
22、+) ， f(x)0 ，则对于任意的 x1 (2， +) ，都存在 x2 (1， +) ，使得 f(x1) f(x2)=1，等价于 A B，分类讨论，即可求 a 的取值范围 . 答案 ： ()f(x)=2x -2ax2=2x(1-ax)， a 0， 当 x 0 或 x 时， f(x) 0，当 时， f(x) 0， f(x)单调递减区间为： (- ， 0)和 ，单调递增区间为 ， 当 x=0 时，有极小值 f(0)=0，当 x= 时，有极大值 f( )= ； () 由 f(0)=f( )=0 及 () 知，当 x (0， )时， f(x) 0；当 x ( ， +) 时， f(x) 0. 设集合
23、A=f(x)|x (2， +) ，集合 B= |x (1， +) ， f(x)0 ，则对于任意的x1 (2， +) ，都存在 x2 (1， +) ，使得 f(x1) f(x2)=1，等价于 A B，显然 A 下面分三种情况讨论： (1)当 2，即 0 a 时，由 f( )=0 可知， 0 A，而 0 B， A 不是 B 的子集； (2)当 1 2 ，即 时， f(2)0 ，且 f(x)在 (2， +) 上单调递减，故 A=(- ，f(2)， A (- ， 0)；由 f(1)0 ，有 f(x)在 (1， +) 上的取值范围包含 (- ， 0)，即(- ， 0) B， A B； (3)当 1，即
24、a 时，有 f(1) 0，且 f(x)在 (1， +) 上单调递减， 故 B=( ， 0)， A=(- ， f(2)， A 不是 B 的子集 . 综上， a 的取值范围是 . 20.(14 分 )已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合 M=0， 1， 2， ， q-1，集合A=x|x=x1+x2q+x nqn-1， xi M， i=1， 2， n . ( )当 q=2， n=3 时，用列举法表示集合 A； ( )设 s， t A， s=a1+a2q+a nqn-1， t=b1+b2q+b nqn-1，其中 ai， bi M， i=1， 2， ， n.证明：若 an bn，则 s
25、 t. 解析 ： () 当 q=2， n=3 时， M=0， 1， A=x| ， xi M， i=1， 2， 3.即可得到集合 A. () 由题意可得 s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+ +(q -1)+(q-1)q+(q -1)qn-2+(q-1)qn-1再利用等比数列的前 n项和公式即可得出 . 答案 ： () 当 q=2， n=3 时， M=0， 1， A=x| ， xi M， i=1， 2， 3. 可得 A=0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7. () 由设 s， t A， s=a1+a2q+a nqn-1， t=b1+b2q+b nqn-1，其中 ai， bi M， i=1， 2， ，n.an bn， 可得 s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+ +(q -1)+(q-1)q+(q -1)qn-2+(q-1)qn-1 = =-1 0.s t.
