1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学理 一、选择题 (共 8 小题，每小题 5 分 ) 1.i 是虚数单位，复数 =( ) A. 1-i B. -1+i C. + i D. - + i 解析 ： 复数 = = . 答案： A. 2.设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析 ： 作出不等式对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y=- ， 平移直线 y=- ，由图象可知当直线 y=- 经过点 B(1， 1)时，直线 y=- 的截距最小，此时 z 最小 .此时 z 的最小值为 z=1+21=3 ，
2、 答案： B. 3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为 ( ) A. 15 B. 105 C. 245 D. 945 解析 ： 由程序框图知：算法的功能是求 S=135 (2i+1)的值， 跳出循环的 i 值为 4， 输出 S=1357=105. 答案： B. 4.函数 f(x)=212log ( 4)x 的单调递增区间为 ( ) A. (0， + ) B. (- ， 0) C. (2， + ) D. (- ， -2) 解析 ： 令 t=x2-4 0，可得 x 2，或 x -2， 故函数 f(x)的定义域为 (- ， -2) (2， + )，且函数 f(x)=g(t)=12l
3、og t. 根据复合函数的单调性，本题即求函数 t 在 (- ， -2) (2， + ) 上的减区间 . 再利用二次函数的性质可得，函数 t 在 (- ， -2) (2， + ) 上的减区间为 (- ， -2)， 答案： D. 5.已知双曲线 - =1(a 0， b 0)的一条渐近线平行于直线 l： y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 解析 ： 令 y=0，可得 x=-5，即焦点坐标为 (-5， 0)， c=5 ， 双曲线 - =1(a 0， b 0)的一条渐近线平行于直线 l： y=2x+1
4、0， =2， c 2=a2+b2， a 2=5， b2=20， 双曲线的方程为 - =1. 答案： A. 6.如图， ABC 是圆的内接三角形， BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于 E，过点 B的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论： BD 平分 CBF ； FB 2=FD FA； AE CE=BE DE； AF BD=AB BF. 所有正确结论的序号是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 圆周角 DBC 对应劣弧 CD，圆周角 DAC 对应劣弧 CD， DBC=DAC. 弦切角 FBD 对应劣弧 BD，圆周角 BAD 对应劣弧 BD， FBD=B
5、AF. BD 是 BAC 的平分线， BAF=DAC. DBC=FBD. 即 BD 平分 CBF. 即结论 正确 . 又由 FBD=FAB ， BFD=AFB ，得 FBD FAB. 由 ， FB2=FD FA.即结论 成立 . 由 ，得 AF BD=AB BF.即结论 成立 .正确结论有 . 答案： D 7.设 a， b R，则 “a b” 是 “a|a| b|b|” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 ： 若 a b0 ，则不等式 a|a| b|b|等价为 a a b b 此时成立 . 若 0 a b，则不等式 a|a| b
6、|b|等价为 -a a -b b，即 a2 b2，此时成立 . 若 a0 b，不等式 a|a| b|b|等价为 a a -b b，即 a2 -b2，此时成立， 综上则 “a b” 是 “a|a| b|b|” 的充要条件 . 答案： C 8.已知菱形 ABCD 的边长为 2， BAD=120 ，点 E、 F 分别在边 BC、 DC 上， BE=BC ， DF=DC ，若 =1， =- ，则 += ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由题意可得若 =( + ) ( + )= + + + =22cos120+ + + =-2+4+4+22cos120 =4+4 -2 -2=1， 4+4 -2=
7、3 . =- (- )= =(1- ) (1- ) =(1- ) (1- ) =(1- )(1- )22cos120= (1- -+ )(-2)=- ， 即 - -+= - . 由 求得 += ， 答案： . 二、填空题 （ 共 6 小题，每小题 5 分，共 30分 ） 9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4： 5： 5： 6，则应从一年级本科生中抽取 名学生 . 解析 ： 根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为 =
8、 ， 故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300 =60， 答案： 60. 10.一个几何体的三视图如图所示 (单位： m)，则该几何体的体积为 m3. 解析 ： 由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 其中圆柱的高为 4，底面直径为 2，圆锥的高为 2，底面直径为 4， 几何体的体积 V=1 24+ 2 22=4+ = . 答案 ： . 11.设 an是首项为 a1，公差为 -1 的等差数列， Sn为其前 n 项和，若 S1， S2， S4成等比数列，则 a1的值为 . 解析 ： 由题意可得， an=a1+(n-1)(-1)=a1+1-n， Sn= = ， 再根据若 S1， S2， S4成
9、等比数列，可得 =S1S4，即 =a1(4a1-6)， 解得 a1=- ， 答案： - . 12.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，已知 b-c= a， 2sinB=3sinC，则cosA 的值为 . 解析 ： 在 ABC 中， b -c= a ， 2sinB=3sinC， 2b=3c ， 由 可得 a=2c， b= . 再由余弦定理可得 cosA= = =- ， 答案： - . 13.在以 O 为极点的极坐标系中，圆 =4sin 和直线 sin=a 相交于 A、 B 两点，若 AOB是等边三角形，则 a 的值为 . 解析 ： 直线 sin=a 即 y=a，
10、 (a 0)，曲线 =4sin ， 即 2=4sin ，即 x2+(y-2)2=4，表示以 C(0， 2)为圆心，以 2 为半径的圆， AOB 是等边三角形， B ( a， a)， 代入 x2+(y-2)2=4，可得 ( a)2+(a-2)2=4， a 0， a=3. 答案： 3. 14.已知函数 f(x)=|x2+3x|， x R，若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 . 解析 ：由 y=f(x)-a|x-1|=0 得 f(x)=a|x-1|，作出函数 y=f(x)， y=g(x)=a|x-1|的图象， 当 a0 ，不满足条件，则 a 0，此时
11、 g(x)=a|x-1|= ， 当 -3 x 0 时， f(x)=-x2-3x， g(x)=-a(x-1)， 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时 -x2-3x=-a(x-1)， 即 x2+(3-a)x+a=0， 则由 =(3 -a)2-4a=0，即 a2-10a+9=0，解得 a=1 或 a=9， 当 a=9 时， g(x)=-9(x-1)， g(0)=9，此时不成立， 此时 a=1， 要使两个函数有四个零点，则此时 0 a 1， 若 a 1，此时 g(x)=-a(x-1)与 f(x)，有两个交点， 此时只需要当 x 1 时， f(x)=g(x)有两个不同的零点即可， 即 x2+3x=a
12、(x-1)，整理得 x2+(3-a)x+a=0， 则由 =(3 -a)2-4a 0，即 a2-10a+9 0，解得 a 1(舍去 )或 a 9， 综上 a 的取值范围是 (0， 1)(9 ， +) ， 答案： (0， 1)(9 ， +) 三、解答题 (共 6 小题，共 80 分 ) 15.(13 分 )已知函数 f(x)=cosx sin(x+ )- cos2x+ ， x R. ( )求 f(x)的最小正周期； ( )求 f(x)在闭区间 - ， 上的最大值和最小值 . 解析 ： ( )根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式 求出此函数的最小正周期； (
13、)由 ( )化简的函数解析式和条件中 x 的范围，求出 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值 . 答案 ： ( )由题意得， f(x)=cosx( sinx cosx) = = = = 所以， f(x)的最小正周期 =. ( )由 ( )得 f(x)= ， 由 x - ， 得， 2x - ， ，则 ， ， 当 =- 时，即 =-1 时，函数 f(x)取到最小值是： ， 当 = 时，即 = 时， f(x)取到最大值是： ， 所以，所求的最大值为 ，最小值为 . 16.(13 分 )某大学志愿者协会有 6 名男同学， 4 名女同学，在这 10 名同学中， 3 名同学来自数学
14、学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动 (每位同学被选到的可能性相同 ). ( )求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率； ( )设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 解析 ： ( )利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的 3 名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值； ( )随机变量 X 的所有可能值为 0， 1， 2， 3， (k=0， 1， 2， 3)列出随机变量 X 的分布列求出期望值 . 答案： ( )设 “ 选出的
15、 3 名同学是来自互不相同学院 ” 为事件 A， 则 ， 所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为 . ( )随机变量 X 的所有可能值为 0， 1， 2， 3， (k=0， 1， 2， 3) 所以随机变量 X 的分布列是 随机变量 X 的数学期望 . 17.(13 分 )如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA 底面 ABCD， ADAB ， ABDC ， AD=DC=AP=2， AB=1，点 E 为棱 PC 的中点 . ( )证明： BEDC ； ( )求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； ( )若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC ，求二面角 F-AB-P 的余弦
16、值 . 解析 ： (I)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出 BE， DC 的方向向量，根据 =0，可得 BEDC ； (II)求出平面 PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； ( )根据 BFAC ，求出向量 的坐标，进而求出平面 FAB 和平面 ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角 F-AB-P 的余弦值 . 答案 ： (I)PA 底面 ABCD， ADAB ， 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， AD=DC=AP=2 ， AB=1，点 E 为棱 PC 的中点 . B (1， 0， 0)， C(2
17、， 2， 0)， D(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， E(1， 1， 1) =(0， 1， 1)， =(2， 0， 0) =0， BEDC ； ( ) =(-1， 2， 0)， =(1， 0， -2)， 设平面 PBD 的法向量 =(x， y， z)， 由 ，得 ， 令 y=1，则 =(2， 1， 1)，则直线 BE 与平面 PBD 所成角 满足： sin= = = ， 故直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 . ( ) =(1， 2， 0)， =(-2， -2， 2)， =(2， 2， 0)， 由 F 点在棱 PC 上，设 = =(-2 ， -2 ， 2 )(01 )，
18、故 = + =(1-2 ， 2-2 ， 2 )(01 )， 由 BFAC ，得 =2(1-2 )+2(2-2 )=0，解得 = ，即 =(- ， ， )， 设平面 FBA 的法向量为 =(a， b， c)，由 ，得 令 c=1，则 =(0， -3， 1)， 取平面 ABP 的法向量 =(0， 1， 0)， 则二面角 F-AB-P 的平面角 满足： cos= = = ， 故二面角 F-AB-P 的余弦值为： 18.(13 分 )设椭圆 + =1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，右顶点为 A，上顶点为B，已知 |AB|= |F1F2|. ( )求椭圆的离心率； ( )设 P 为椭圆上
19、异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，经过原点 O的直线l 与该圆相切，求直线 l 的斜率 . 解析 ： () 设椭圆的右焦点为 F2(c， 0)，由 |AB|= |F1F2|.可得 ，再利用 b2=a2-c2， e= 即可得出 . () 由 () 可得 b2=c2.可设椭圆方程为 ，设 P(x0， y0)，由 F1(-c， 0)， B(0， c)，可得 ， .利用圆的性质可得 ，于是 =0，得到 x0+y0+c=0，由于点 P 在椭圆上，可得 .联立可得 =0，解得 P .设圆心为 T(x1， y1)，利用中点坐标公式可得 T ，利用两点间的距离公式可得圆的半径 r.设直线
20、 l 的方程为： y=kx.利用直线与圆相切的性质即可得出 . 答案 ： () 设椭圆的右焦点为 F2(c， 0)， 由 |AB|= |F1F2|，可得 ，化为 a2+b2=3c2. 又 b2=a2-c2， a 2=2c2.e= . () 由 () 可得 b2=c2.因此椭圆方程为 . 设 P(x0， y0)，由 F1(-c， 0)， B(0， c)，可得 =(x0+c， y0)， =(c， c). ， =c(x0+c)+cy0=0， x 0+y0+c=0， 点 P 在椭圆上， . 联立 ，化为 =0， x 00 ， ，代入 x0+y0+c=0，可得 .P . 设圆心为 T(x1， y1)，则
21、 =- ， = .T ， 圆的半径 r= = . 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为： y=kx. 直线 l 与圆相切， ， 整理得 k2-8k+1=0，解得 . 直线 l 的斜率为 . 19.(14 分 )已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合 M=0， 1， 2， ， q-1，集合A=x|x=x1+x2q+x nqn-1， xi M， i=1， 2， n . ( )当 q=2， n=3 时，用列举法表示集合 A； ( )设 s， t A， s=a1+a2q+a nqn-1， t=b1+b2q+b nqn-1，其中 ai， bi M， i=1， 2， ， n.证明
22、：若 an bn，则 s t. 解析 ： () 当 q=2， n=3 时， M=0， 1， A=x| ， xi M， i=1， 2， 3.即可得到集合 A. () 由题意可得 s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+ +(q -1)+(q-1)q+(q -1)qn-2+(q-1)qn-1再利用等比数列的前 n项和公式即可得出 . 答案： () 当 q=2， n=3 时， M=0， 1， A=x| ， xi M， i=1， 2， 3. 可得 A=0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7. () 由设 s， t A， s=a1+a2q+a nqn-1， t=b1+b2q+b nqn-1，其中
23、 ai， bi M， i=1， 2， ，n.an bn， 可得 s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+ +(q -1)+(q-1)q+(q -1)qn-2+(q-1)qn-1= =-1 0. s t. 20.(14 分 )设 f(x)=x-aex(a R)， x R，已知函数 y=f(x)有两个零点 x1， x2，且 x1 x2. ( )求 a 的取值范围； ( )证明： 随着 a 的减小而增大； ( )证明 x1+x2随着 a 的减小而增大 . 解析 ： () 对 f(x)求导，讨论 f(x) 的正负以及对应 f(x)的单调性，得出函数 y=f(x)有两个零点的等价条件，从而求出 a 的
24、取值范围； () 由 f(x)=0，得 a= ，设 g(x)= ，判定 g(x)的单调性即得证； () 由于 x1=a ， x2=a ，则 x2-x1=lnx2-lnx1=ln ，令 =t，整理得到 x1+x2=，令 h(x)= ， x (1， +) ，得到 h(x)在 (1， +) 上是增函数，故得到 x1+x2随着 t 的减小而增大 .再由 () 知， t 随着 a的减小而增大，即得证 . 答案 ： ()f(x)=x -aex， f(x)=1 -aex； 下面分两种情况讨论： a0 时， f(x) 0 在 R 上恒成立， f(x) 在 R 上是增函数，不合题意； a 0 时，由 f(x)=
25、0 ，得 x=-lna，当 x 变化时， f(x) 、 f(x)的变化情况如下表 ： f(x) 的单调增区间是 (- ， -lna)，减区间是 (-lna， +) ； 函数 y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立： (i)f(-lna) 0， (ii)存在 s1 (- ， -lna)，满足 f(s1) 0， (iii)存在 s2 (-lna， +) ，满足 f(s2) 0； 由 f(-lna) 0，即 -lna-1 0，解得 0 a e-1； 取 s1=0，满足 s1 (- ， -lna)，且 f(s1)=-a 0， 取 s2= +ln ，满足 s2 (-lna， +) ，且 f(s2)
26、=( - )+(ln - ) 0； a 的取值范围是 (0， e-1). () 由 f(x)=x-aex=0，得 a= ，设 g(x)= ，由 g(x)= ，得 g(x)在 (- ， 1)上单调递增，在 (1， +) 上单调递减， 并且，当 x (- ， 0)时， g(x)0 ，当 x (0， +) 时， g(x)0 ， x1、 x2满足 a=g(x1)， a=g(x2)， a (0， e-1)及 g(x)的单调性，可得 x1 (0， 1)， x2 (1， +) ； 对于任意的 a1、 a2 (0， e-1)，设 a1 a2， g(X1)=g(X2)=ai，其中 0 X1 1 X2； g(Y1
27、)=g(Y2)=a2，其中 0 Y1 1 Y2； g(x) 在 (0， 1)上是增函数， 由 a1 a2，得 g(Xi) g(Yi)，可得 X1 Y1；类似可得 X2 Y2； 又由 X、 Y 0，得 ； 随着 a 的减小而增大； ()x 1=a ， x2=a ， lnx 1=lna+x1， lnx2=lna+x2； x 2-x1=lnx2-lnx1=ln ，设 =t，则 t 1， ，解得 x1= ， x2= ， x 1+x2= ； 令 h(x)= ， x (1， +) ，则 h(x)= ； 令 u(x)=-2lnx+x- ，得 u(x)= ，当 x (1， +) 时， u(x) 0， u(x) 在 (1， +) 上是增函数， 对任意的 x (1， +) ， u(x) u(1)=0， h(x) 0， h(x) 在 (1， +) 上是增函数； 由 得 x1+x2随着 t 的减小而增大 . 由 () 知， t 随着 a 的减小而增大， x 1+x2随着 a 的减小而增大 .
