1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1.设 i 是虚数单位， 表示 z 的共轭复数 .若 z=1+i，则 +i =( ) A. -2 B. -2i C. 2 D. 2i 解析： z=1+i， ， +i = = . 答案： C. 2.“ x 0”是 ln(x+1) 0 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： x 0， x+1 1，当 x+1 0 时， ln(x+1) 0； ln(x+
2、1) 0， 0 x+1 1， -1 x 0， x 0， “ x 0”是 ln(x+1) 0 的必要不充分条件 . 答案： B. 3.如图所示，程序框图 (算法流程图 )的输出结果是 ( ) A. 34 B. 55 C. 78 D. 89 解析：第一次循环得 z=2， x=1， y=2； 第二次循环得 z=3， x=2， y=3； 第三次循环得 z=5， x=3， y=5； 第四次循环得 z=8， x=5， y=8； 第五次循环得 z=13， x=8， y=13； 第六次循环得 z=21， x=13， y=21； 第七次循环得 z=34， x=21， y=34； 第八次循环得 z=55， x=3
3、4， y=55；退出循环，输出 55， 答案： B 4.以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位 .已知直线 l 的参数方程是 (t 为参数 )，圆 C 的极坐标方程是=4cos，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ( ) A. B. 2 C. D. 2 解析：直线 l 的参数方程是 (t 为参数 )，化为普通方程为 x-y-4=0； 圆 C 的极坐标方程是 =4cos，即 2=4 cos，化为直角坐标方程为 x2+y2=4x， 即 (x-2)2+y2=4，表示以 (2， 0)为圆心、半径 r 等于 2 的圆 . 弦心距 d= = r，弦
4、长为 2 =2 =2 ， 答案： D. 5. x、 y 满足约束条件 ，若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为 ( ) A. 或 -1 B. 2 或 C. 2 或 1 D. 2 或 -1 解析：作出不等式组对应的平面区域如图： (阴影部分 ABC). 由 z=y-ax 得 y=ax+z，即直线的截距最大， z 也最大 . 若 a=0，此时 y=z，此时，目标函数只在 A 处取得最大值，不满足条件， 若 a 0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a 0，要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线 y=ax+z 与直线 2x-y+2=0 平行，此时 a=2， 若
5、 a 0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a 0，要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线 y=ax+z 与直线 x+y-2=0，平行，此时 a=-1， 综上 a=-1 或 a=2， 答案： D 6.设函数 f(x)(x R)满足 f(x+ )=f(x)+sinx.当 0 x时， f(x)=0，则 f( )=( ) A. B. C. 0 D. - 解析：函数 f(x)(x R)满足 f(x+ )=f(x)+sinx.当 0 x时， f(x)=0， f( )=f( ) =f( )+sin =f( )+sin +sin =f( )+sin +sin +sin =sin +sin
6、+sin = = . 答案： A. 7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 ( ) A. 21+ B. 18+ C. 21 D. 18 解析：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为 2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为 1， 几何体的表面积为： S正方体 -2S棱锥侧 +2S棱锥底 = =21+. 答案： A. 8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 .其中所成的角为 60的共有 ( ) A. 24 对 B. 30 对 C. 48 对 D. 60 对 解析：正方体的面对角线共有 12 条，两条为一对，共有 =66 条， 同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满
7、足题意，一组平行平面共有 6 对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有： 3 6=18. 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 .其中所成的角为 60的共有： 66-18=48. 答案： C. 9.若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3，则实数 a 的值为 ( ) A. 5 或 8 B. -1 或 5 C. -1 或 -4 D. -4 或 8 解析： -1 时， x - ， f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1 -1； - x -1， f(x)=-x-1+2x+a=x+a-1 -1； x -1， f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1 a-2， -1=3 或 a
8、-2=3， a=8 或 a=5， a=5 时， -1 a-2，故舍去； -1 时， x -1， f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1 2-a； -1 x - ， f(x)=x+1-2x-a=-x-a+1 - +1； x - ， f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1 - +1， 2-a=3 或 - +1=3， a=-1 或 a=-4， a=-1 时， - +1 2-a，故舍去； 综上， a=-4 或 8. 答案： D. 10.在平面直角坐标系 xOy 中 .已知向量 、 ， | |=| |=1， =0，点 Q 满足 = (+ )，曲线 C=P| = cos + sin， 0 2 ，区
9、域 =P|(0 r | | R， rR.若 C为两段分离的曲线，则 ( ) A. 1 r R 3 B. 1 r 3 R C. r 1 R 3 D. 1 r 3 R 解析：平面直角坐标系 xOy 中 .已知向量 、 ， | |=| |=1， =0， 不妨令 =(1， 0)， =(0， 1)， 则 = ( + )=( ， )， = cos + sin =(cos， sin )， 故 P 点的轨迹为单位圆， =P|(0 r | | R， r R表示的平面区域为： 以 Q 点为圆心，内径为 r，外径为 R 的圆环， 若 C为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交， 故 |OQ|-1 r R |O
10、Q|+1， |OQ|=2，故 1 r R 3， 答案： A 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 . 11.若将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移个单位，所得图象关于 y 轴对称，则的最小正值是 . 解析：将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移个单位， 所得图象对应的函数解析式为 y=sin2(x- )+ =sin(2x+ -2 )关于 y 轴对称， 则 -2 =k + ， k z，即 =- - ，故的最小正值为 ， 答案： . 12.数列 an是等差数列，若 a1+1， a3+3， a5+5 构成公比为 q 的等比数列，则 q= . 解析：设等差
11、数列 an的公差为 d， 由 a1+1， a3+3， a5+5 构成等比数列， 得： ， 整理得： ， 即 +5a1+a1+4d. 化简得： (d+1)2=0，即 d=-1. q= = . 答案： 1. 13.设 a 0， n是大于 1的自然数， (1+ )n的展开式为 a0+a1x+a2x2+ +anxn.若点 Ai(i， ai)(i=0，1， 2)的位置如图所示，则 a= . 解析： (1+ )n的展开式的通项为 ， 由图知， a0=1， a1=3， a2=4， ， ， ， ， a2-3a=0，解得 a=3， 答案： 3. 14.设 F1， F2分别是椭圆 E： x2+ =1(0 b 1)
12、的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A、B 两点，若 |AF1|=3|F1B|， AF2 x 轴，则椭圆 E 的方程为 . 解析：由题意， AF2 x 轴， |AF2|=b2， |AF1|=3|F1B|， B(- c， - b2)， 代入椭圆方程可得 ， 1=b2+c2， b2= ， c2= ， x2+ =1. 答案： x2+ =1. 15.已知两个不相等的非零向量 ， ，两组向量 ， ， ， ， 和 ， ， ， 均由 2个 和 3个 排列而成，记 S= + + + + ，Smin表示 S 所有可能取值中的最小值 .则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号 ). S 有 5 个不
13、同的值； 若 ，则 Smin与 | |无关； 若 ，则 Smin与 | |无关； 若 | | 4| |，则 Smin 0； 若 | |=2| |， Smin=8| |2，则 与 的夹角为 . 解析： S 有 3 种结果： S1= + + + + ， S2= + + + + ， S3= + + + + ，故错误； S1-S2=S2-S3= + -2 + -2| | | |= 0， S 中最小为 S3； 若 ，则 Smin=S3= ，与 | |无关，故正确； 若 ，则 Smin=S3=4 + ，与 | |有关，故错误； 若 | | 4| |，则 Smin=S3=4| | | |cos + -4|
14、| | |+ - + =0，故正确； 若 | |=2| |， Smin=S3=8| |2cos +4 =8 ， 2cos =1， = ， 即 与 的夹角为 . 综上所述，命题正确的是， 答案： . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 . 16.(12 分 )设 ABC 的内角为 A、 B、 C 所对边的长分别是 a、 b、 c，且 b=3， c=1， A=2B. ( )求 a 的值； ( )求 sin(A+ )的值 . 解析： ( )利用正弦定理，可得 a=6cosB，再利用余弦定理，即可求 a 的值； ( )求出 sinA， cosA，即可求 sin(A+ )的值 . 答案： (
15、) A=2B， ， b=3， a=6cosB， a=6 ， a=2 ； ( ) a=6cosB， cosB= ， sinB= ， sinA=sin2B= ， cosA=cos2B=2cos2B-1=- ， sin(A+ )= (sinA+cosA)= . 17.(12 分 )甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛 .假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立 . ( )求甲在 4 局以内 (含 4 局 )赢得比赛的概率； ( )记 X 为比赛决胜出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值 (数学期望 ).
16、解析： (1)根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论 . (2)利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求 X 的分布列；以及均值 . 答案：用 A 表示甲在 4 局以内 (含 4 局 )赢得比赛的是事件， Ak表示第 k 局甲获胜， Bk表示第k 局乙获胜，则 P(Ak)= ， P(Bk)= ， k=1， 2， 3， 4， 5 ( )P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A2+P(A1B2A3A4)=( )2+ ( )2+ ( )2= . ( )X 的可能取值为 2， 3， 4， 5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)= ， P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1
17、B2B3)= ， P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)= ， P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= ， 故分布列为： E(X)=2 +3 +4 +5 = . 18.(12 分 )设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中 a 0. ( )讨论 f(x)在其定义域上的单调性； ( )当 x 0， 1时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值 . 解析： ( )利用导数判断函数的单调性即可； ( )利用 ( )的结论，讨论两根与 1 的大小关系，判断函数在 0， 1时的单调性，得出取最值时的 x 的取值 . 答案： ( )f(x)的定
18、义域为 (-， + )， f (x)=1+a-2x-3x2， 由 f (x)=0，得 x1= ， x2= ， x1 x2， 由 f (x) 0 得 x ， x ； 由 f (x) 0 得 x ； 故 f(x)在 (-， )和 ( ， + )单调递减， 在 ( ， )上单调递增； ( ) a 0， x1 0， x2 0， (i)当 a 4 时， x2 1，由 ( )知， f(x)在 0， 1上单调递增， f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值 . (ii)当 0 a 4 时， x2 1，由 ( )知， f(x)在 0， x2单调 dz，在 x2， 1上单调递减， 因此 f(x)
19、在 x=x2= 处取得最大值，又 f(0)=1， f(1)=a， 当 0 a 1 时， f(x)在 x=1 处取得最小值； 当 a=1 时， f(x)在 x=0 和 x=1 处取得最小值； 当 1 a 4 时， f(x)在 x=0 处取得最小值 . 19.(13 分 )如图，已知两条抛物线 E1： y2=2p1x(p1 0)和 E2： y2=2p2x(p2 0)，过原点 O的两条直线 l1和 l2， l1与 E1， E2分别交于 A1、 A2两点， l2与 E1、 E2分别交于 B1、 B2两点 . ( )证明： A1B1 A2B2； ( )过 O 作直线 l(异于 l1， l2)与 E1、
20、E2分别交于 C1、 C2两点 .记 A1B1C1与 A2B2C2的面积分别为 S1与 S2，求 的值 . 解析： ( )由题意设出直线 l1和 l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的坐标，然后由向量共线得答案； ( )结合 ( )可知 A1B1C1与 A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案 . 答案： ( )由题意可知， l1和 l2的斜率存在且不为 0， 设 l1： y=k1x， l2： y=k2x. 联立 ，解得 . 联立 ，解得 . 联立 ，解得 . 联立 ，解得 . ， . ， A1B1 A2B2； ( )由 ( )
21、知 A1B1 A2B2， 同 ( )可证 B1C1 B2C2， A1C1 A2C2. A1B1C1 A2B2C2， 因此 ， 又 ， .故 . 20.(13 分 )如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， A1A底面 ABCD，四边形 ABCD 为梯形， AD BC，且 AD=2BC，过 A1、 C、 D 三点的平面记为， BB1与的交点为 Q. ( )证明： Q 为 BB1的中点； ( )求此四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积之比； ( )若 AA1=4， CD=2，梯形 ABCD 的面积为 6，求平面与底面 ABCD 所成二面角的大小 . 解析： ( )证明平面 QBC平面 A1D1
22、DA，可得 QBC A1AD，即可证明 Q 为 BB1的中点； ( )设 BC=a，则 AD=2a，则 = = ， VQ-ABCD= = ahd，利用 V 棱柱 = ahd，即可求出此四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积之比； ( ) ADC 中，作 AE DC，垂足为 E，连接 A1E，则 DE平面 AEA1， DE A1E，可得 AEA1为平面与底面 ABCD 所成二面角，求出 S ADC=4， AE=4，可得 tan AEA1= =1，即可求平面与底面 ABCD 所成二面角的大小 . 答案： ( )四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，四边形 ABCD 为梯形， AD BC， 平面 QB
23、C平面 A1D1DA， 平面 A1CD 与面 QBC、平面 A1D1DA 的交线平行， QC A1D QBC A1AD， = ， Q 为 BB1的中点； ( )连接 QA， QD，设 AA1=h，梯形 ABCD 的高为 d，四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积为 V1， V2， 设 BC=a，则 AD=2a， = = ， VQ-ABCD= = ahd， V1= ， V 棱柱 = ahd， V2= ahd，四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积之比 ； ( )在 ADC 中，作 AE DC，垂足为 E，连接 A1E，则 DE平面 AEA1， DE A1E， AEA1为平面与底面 ABCD 所成二面
24、角， BC AD， AD=2BC， S ADC=2S ABC， 梯形 ABCD 的面积为 6， DC=2， S ADC=4， AE=4， tan AEA1= =1， AEA1= ， 平面与底面 ABCD 所成二面角的大小为 . 21.(13 分 )设实数 c 0，整数 p 1， n N*. ( )证明：当 x -1 且 x 0 时， (1+x)p 1+px； ( )数列 an满足 a1 ， an+1= an+ an1-p.证明： an an+1 . 解析：第 ( )问中，可构造函数 f(x)=(1+x)p-(1+px)，求导数后利用函数的单调性求解； 对第 ( )问，从 an+1 着手，由 a
25、n+1= an+ an1-p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将 an an+1进行转换，设法利用已证结论证明 . 答案： ( )令 f(x)=(1+x)p-(1+px)，则 f (x)=p(1+x)p-1-p=p(1+x)p-1-1. 当 -1 x 0 时， 0 1+x 1，由 p 1 知 p-1 0， (1+x)p-1 (1+x)0=1， (1+x)p-1-1 0，即 f (x) 0， f(x)在 (-1， 0上为减函数， f(x) f(0)=(1+0)p-(1+p 0)=0，即 (1+x)p-(1+px) 0， (1+x)p 1+px. 当 x 0 时，有 1+x 1，得 (
26、1+x)p-1 (1+x)0=1， f (x) 0， f(x)在 0， + )上为增函数， f(x) f(0)=0， (1+x)p 1+px. 综合、知，当 x -1 且 x 0 时，都有 (1+x)p 1+px，得证 . ( )先证 an+1 . an+1= an+ an1-p，只需证 an+ an1-p ， 将 写成 p-1 个 相加，上式左边 =， 当且仅当 ，即 时，上式取“ =”号， 当 n=1 时，由题设知 ，上式“ =”号不成立， an+ an1-p ，即 an+1 . 再证 an an+1. 只需证 an an+ an1-p，化简、整理得 anp c，只需证 an c . 由前知 an+1 成立，即从数列 an的第 2 项开始成立， 又 n=1 时，由题设知 成立， 对 n N*成立， an an+1. 综上知， an an+1 ，原不等式得证 .
