1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学理 一、选择题 (共 10 小题，每小题 5 分，满分 50分 ) 1.已知 a， b R， i 是虚数单位，若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数，则 (a+bi)2=( ) A. 5-4i B. 5+4i C. 3-4i D. 3+4i 解析： a -i 与 2+bi 互为共轭复数，则 a=2、 b=1， (a+bi)2=(2+i)2=3+4i， 答案： D. 2.设集合 A=x 丨丨 x-1 丨 2， B=y 丨 y=2x， x 0， 2，则 AB= ( ) A. 0， 2 B. (1， 3) C. 1， 3) D. (1， 4) 解
2、析： A=x 丨丨 x-1 丨 2=x 丨 -1 x 3， B=y丨 y=2x， x 0， 2=y 丨 1y4 ， 则 AB=x 丨 1y 3， 答案： C 3.函数 f(x)= 的定义域为 ( ) A. (0， ) B. (2， + ) C. (0， ) (2， + ) D. (0， 2 ， + ) 解析： 要使函数有意义，则 ， 即 log2x 1或 log2x -1，解得 x 2或 0 x ，即函数的定义域为 (0， ) (2， + )， 答案： C 4.用反证法证明命题 “ 设 a， b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根 ” 时，要做的假设是 ( ) A. 方程 x3
3、+ax+b=0 没有实根 B. 方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D. 方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 解析： 反证法证明问题时，反设实际是命题的否定， 用反证法证明命题 “ 设 a， b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根 ” 时，要做的假设是：方程 x3+ax+b=0 没有实根 . 答案： A. 5.已知实数 x， y 满足 ax ay(0 a 1)，下列关系式恒成立的是 ( ) A. B. ln(x2+1) ln(y2+1) C. sinx siny D. x3 y3 解析： 实数 x， y 满足 ax ay
4、(0 a 1)， x y， A.若 ，则等价为 x2+1 y2+1，即 x2 y2，当 x=1， y=-1 时，满足 x y，但 x2 y2不成立 . B.若 ln(x2+1) ln(y2+1)，则等价为 x2 y2成立，当 x=1， y=-1 时，满足 x y，但 x2 y2不成立 . C.当 x= ， y= 时，满足 x y，但 sinx siny 不成立 . D.当 x y 时， x3 y3，恒成立， 答案： D. 6.直线 y=4x 与曲线 y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 解析： 先根据题意画出图形，得到积分上限为 2，积分下
5、限为 0， 曲线 y=x3与直线 y=4x 在第一象限所围成的图形的面积是 02(4x-x3)dx， 而 02(4x-x3)dx=(2x2- x4)|02=8-4=4 曲边梯形的面积是 4， 答案： D. 7.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验 .所有志愿者的舒张压数据 (单位：kPa)的分组区间为 12， 13)， 13， 14)， 14， 15)， 15， 16)， 16， 17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ，第五组 .如图是根据试验数据制成的频率分布直方图 .已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为 (
6、) A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 解析： 由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20 人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为 0.24， 0.16，所以第一组有 12 人，第二组 8 人，第三组的频率为 0.36，所以第三组的人数： 18 人， 第三组中没有疗效的有 6 人， 第三组中有疗效的有 12 人 . 答案： C. 8.已知函数 f(x)=丨 x-2 丨 +1， g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数 k的取值范围是 ( ) A. (0， ) B. ( ， 1) C. (1， 2) D. (2， + ) 解析： 由题意可得函数 f(x)
7、的图象 (蓝线 ) 和函数 g(x)的图象 (红线 )有两个交点，如图所示： KOA= ，数形结合可得 k 1， 答案： B. 9.已知 x， y 满足约束条件 ，当目标函数 z=ax+by(a 0， b 0)在该约束条件下取到最小值 2 时， a2+b2的最小值为 ( ) A. 5 B. 4 C. D. 2 解析： 由约束条件 作可行域如图， 联立 ，解得： A(2， 1). 化目标函数为直线方程得： (b 0). 由图可知，当直线 过 A 点时，直线在 y 轴上的截距最小， z 最小 .2a+b=2 . 即 2a+b-2 =0.则 a2+b2的最小值为 . 答案： B. 10.已知 a b
8、 0，椭圆 C1的方程为 + =1，双曲线 C2的方程为 - =1， C1与 C2的离心率之积为 ，则 C2的渐近线方程为 ( ) A. x y=0 B. xy=0 C. x2y=0 D. 2xy=0 解析： a b 0，椭圆 C1的方程为 + =1， C1的离心率为： ， 双曲线 C2的方程为 - =1， C2的离心率为： ， C 1与 C2的离心率之积为 ， ， = ， ， C2的渐近线方程为： y= ，即 x y=0. 答案： A. 二、填空题 (共 5 小题，每小题 5 分，满分 25分 ) 11.执行如图程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 n 的值为 . 解析： 循环前输入
9、的 x 的值为 1， 第 1 次循环， x2-4x+3=00 ， 满足判断框条件， x=2， n=1， x2-4x+3=-10 ， 满足判断框条件， x=3， n=2， x2-4x+3=00 满足判断框条件， x=4， n=3， x2-4x+3=3 0，不满足判断框条件， 输出 n： 3. 答案： 3. 12.若 ABC 中，已知 =tanA，当 A= 时， ABC 的面积为 . 解析： ABC 中， =AB AC cosA=tanA， 当 A= 时，有 AB AC = ，解得 AB AC= ， ABC 的面积为 AB AC sinA= = ， 答案： . 13.三棱锥 P-ABC 中， D，
10、 E 分别为 PB， PC 的中点，记三棱锥 D-ABE 的体积为 V1， P-ABC 的体积为 V2，则 = . 解析： 如图，三棱锥 P-ABC 中， D， E 分别为 PB， PC 的中点， 三棱锥 D-ABE 的体积为 V1， P-ABC 的体积为 V2， A 到底面 PBC 的距离不变，底面 BDE 底面积是 PBC 面积的 = ， = = . 答案： . 14.若 (ax2+ )6的展开式中 x3项的系数为 20，则 a2+b2的最小值为 . 解析： (ax2+ )6的展开式中 x3项的系数为 20， 所以 Tr+1= = ， 令 12-3r=3， r=3 ， ， ab=1 ， a
11、2+b22ab=2 ，当且仅当 a=b=1 时取等号 .a2+b2的最小值为： 2. 答案： 2. 15.已知函数 y=f(x)(x R)，对函数 y=g(x)(x I)，定义 g(x)关于 f(x)的 “ 对称函数 ” 为函数 y=h(x)(x I)， y=h(x)满足：对任意 x I，两个点 (x， h(x)， (x， g(x)关于点 (x，f(x)对称 .若 h(x)是 g(x)= 关于 f(x)=3x+b 的 “ 对称函数 ” ，且 h(x) g(x)恒成立，则实数 b 的取值范围是 . 解析： 根据 “ 对称函数 ” 的定义可知， ，即 h(x)=6x+2b- ， 若 h(x) g(
12、x)恒成立，则等价为 6x+2b- ，即 3x+b 恒成立， 设 y=3x+b， y= ， 作出两个函数对应的图象如图， 当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离 d= ， 即 |b|=2 ， b=2 或 -2 ， (舍去 )， 即要使 h(x) g(x)恒成立，则 b 2 ，即实数 b 的取值范围是 (2 ， + )， 答案： (2 ， + ) 三、解答题 (共 6 小题，满分 75 分 ) 16.(12 分 )已知向量 =(m， cos2x)， =(sin2x， n)，函数 f(x)= ，且 y=f(x)的图象过点 ( ， )和点 ( ， -2). ( )求 m， n 的值； ( )将 y=
13、f(x)的图象向左平移 (0 )个单位后得到函数 y=g(x)的图象，若 y=g(x)图象上的最高点到点 (0， 3)的距离的最小值为 1，求 y=g(x)的单调递增区间 . 解析： ( )由题意可得 函数 f(x)=msin2x+ncos2x，再由 y=f(x)的图象过点 ( ， )和点( ， -2)，解方程组求得 m、 n 的值 . ( )由 ( )可得 f(x)=2sin(2x+ )，根据函数 y=Asin(x+ )的图象变换规律求得g(x)=2sin(2x+2+ )的图象，再由函数 g(x)的一个最高点在 y 轴上，求得 = ，可得g(x)=2cos2x.令 2k -2x2k ， k
14、Z，求得 x 的范围，可得 g(x)的增区间 . 答案 ： ( )由题意可得 函数 f(x)= =msin2x+ncos2x， 再由 y=f(x)的图象过点 ( ， )和点 ( ， -2)，可得 . 解得 m= ， n=1. ( )由 ( )可得 f(x)= sin2x+cos2x=2( sin2x+ cos2x)=2sin(2x+ ). 将 y=f(x)的图象向左平移 (0 )个单位后， 得到函数 g(x)=2sin2(x+ )+ =2sin(2x+2+ )的图象，显然函数 g(x)最高点的纵坐标为 1. y=g(x)图象上各最高点到点 (0， 3)的距离的最小值为 1， 故函数 g(x)的
15、一个最高点在 y 轴上， 2+ =2k+ ， k Z，结合 0 ，可得 = ， 故 g(x)=2sin(2x+ )=2cos2x. 令 2k -2x2k ， k Z，求得 k - xk ， 故 y=g(x)的单调递增区间是 k - ， k ， k Z. 17.(12 分 )如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形， DAB=60 ， AB=2CD=2，M 是线段 AB 的中点 . ( )求证： C1M 平面 A1ADD1； ( )若 CD1垂直于平面 ABCD且 CD1= ，求平面 C1D1M和平面 ABCD所成的角 (锐角 )的余弦值 . 解析： ( )连接
16、AD1，易证 AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得 C1M 平面 A1ADD1； ( )作 CPAB 于 P，以 C 为原点， CD 为 x轴， CP 为 y 轴， CD1为 z轴建立空间坐标系，易求 C1(-1， 0， )， D1， (0， 0， )， M( ， ， 0)， =(1， 1， 0)， =( ， ，- )，设平面 C1D1M 的法向量 =(x1， y1， z1)，可求得 =(0， 2， 1)，而平面 ABCD 的法向量 =(1， 0， 0)，从而可求得平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角 (锐角 )的余弦值 . 答案 ： ( )连接 AD1， ABCD
17、 -A1B1C1D1为四棱柱， CD C1D1， 又 M 为 AB 的中点， AM=1 .CDAM ， CD=AM， AM C1D1， AMC 1D1为平行四边形， AD 1MC 1，又 MC1平面 A1ADD1， AD1平面 A1ADD1， C 1M 平面 A1ADD1； ( )作 CPAB 于 P，以 C 为原点， CD 为 x轴， CP 为 y 轴， CD1为 z轴建立空间坐标系， 则 C1(-1， 0， )， D1， (0， 0， )， M( ， ， 0)， =(1， 1， 0)， =( ， ， - )， 设平面 C1D1M 的法向量 =(x1， y1， z1)， 则 ， =(0， 2
18、， 1). 显然平面 ABCD 的法向量 =(1， 0， 0)， cos ， |= = = ， 显然二面角为锐角， 平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角 (锐角 )的余弦值为 . 18.(12 分 )乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 A， B，乙被划分为两个不相交的区域 C， D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在 C 上记 3 分，在 D 上记 1 分，其它情况记 0 分 .对落点在 A 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为 ，在 D 上的概率为 ；对落点在 B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为 ，在 D
19、 上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A， B 上各一次，小明的两次回球互不影响，求： ( )小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； ( )两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望 . 解析： ( )分别求出回球前落点在 A 上和 B 上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； ( )两次回球结束后，小明得分之和 的取值有 0， 1， 2， 3， 4， 6 六种情况，求出随机变量 的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望 E . 答案 ： ( )小明回球前落点在 A 上，回球落点在乙上的概率为 + = ， 回球前落
20、点在 B 上，回球落点在乙上的概率为 + = ， 故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率 P= (1- )+(1- ) = + =. ( ) 的可能取值为 0， 1， 2， 3， 4， 6 其中 P(=0 )=(1- ) (1- )= ； P(=1 )= (1- )+(1- ) = ； P(=2 )= = ； P(=3 )= (1- )+(1- ) = ； P(=4 )= + = ； P(=6 )= = ； 故 的分布列为： 故 的数学期望为 E( )=0 +1 +2 +3 +4 +6 = ； 19.(12 分 )已知等差数列 an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1， S2
21、， S4成等比数列 . ( )求数列 an的通项公式； ( )令 bn=(-1)n-1 ，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解析： ( )利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出； ( )由 ( )可得 bn= .对 n 分类讨论 “ 裂项求和 ” 即可得出 . 答案 ： ( ) 等差数列 an的公差为 2，前 n 项和为 Sn， S n= =n2-n+na1， S 1， S2， S4成等比数列， ， ，化为 ，解得a1=1. a n=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1. ( )由 ( )可得 bn=(-1)n-1 = =. T n= - + + . 当 n
22、为偶数时， Tn= - + + -=1- = . 当 n 为奇数时， Tn= - + + - +=1+ = . 20.(13 分 )设函数 f(x)= -k( +lnx)(k 为常数， e=2.71828 是自然对数的底数 ). ( )当 k0 时，求函数 f(x)的单调区间； ( )若函数 f(x)在 (0， 2)内存在两个极值点，求 k 的取值范围 . 解析： ( )求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间； ( )函数 f(x)在 (0， 2)内存在两个极值点，等价于它的导函数 f (x)在 (0， 2)内有两个不同的零点 . 答案 ： ( )f(x)的定义域为 (0， + )
23、， f (x)= (x 0)， 当 k0 时， kx0 ， e x-kx 0， 令 f (x)=0，则 x=2， 当 0 x 2 时， f (x) 0， f(x)单调递减； 当 x 2 时， f (x) 0， f(x)单调递增， f (x)的单调递减区间为 (0， 2)，单调递增区间为 (2， + ). ( )由 ( )知， k0 时，函数 f(x)在 (0， 2)内单调递减， 故 f(x)在 (0， 2)内不存在极值点； 当 k 0 时，设函数 g(x)=ex-kx， x 0， + ). g (x)=ex-k=ex-elnk， 当 0 k1 时， 当 x (0， 2)时， g (x)=ex-
24、k 0， y=g(x)单调递增， 故 f(x)在 (0， 2)内不存在两个极值点； 当 k 1 时， 得 x (0， lnk)时， g (x) 0，函数 y=g(x)单调递减， x (lnk， + )时， g (x) 0，函数 y=g(x)单调递增， 函数 y=g(x)的最小值为 g(lnk)=k(1-lnk) 函数 f(x)在 (0， 2)内存在两个极值点 当且仅当 解得： e 综上所述，函数 f(x)在 (0， 2)内存在两个极值点时， k 的取值范围为 (e， ) 21.(14 分 )已知抛物线 C： y2=2px(p 0)的焦点为 F， A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A的直线
25、 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有丨 FA丨 =丨 FD丨 .当点 A的横坐标为 3 时， ADF 为正三角形 . ( )求 C 的方程； ( )若直线 l1l ，且 l1和 C 有且只有一个公共点 E， ( )证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标； ( )ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的 p 值； (2)( )设出点 A 的坐标，求出直线 AB 的方程，利用直线 l1l ，且 l1和 C 有且只有一个公共点 E，求出点 E 的坐标，写出直线 AE 的方程
26、，将方程化为点斜式，可求出定点； ( ) 利用弦长公式求出弦 AB 的长度，再求点 E 到直线 AB 的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值 . 答案 ： (1)当点 A的横坐标为 3时，过点 A作 AGx 轴于 G， ， . ADF 为正三角形， . 又 ， ， p=2 .C 的方程为 y2=4x. (2)( )设 A(x1， y1)， |FD|=|AF|=x1+1， D (x1+2， 0)， . 由直线 l1l 可设直线 l1方程为 ， 联立方程 ，消去 x 得 由 l1和 C 有且只有一个公共点得 =64+32y 1m=0， y 1m=-2， 这时方程 的解为 ，代入 得 x=m2， E (m2， 2m). 点 A 的坐标可化为 ，直线 AE 方程为 ， 即 ， ， ， ， 直线 AE 过定点 (1， 0). ( )直线 AB 的方程为 ，即 . 联立方程 ，消去 x 得 ， ， = ， 由 ( )点 E 的坐标为 ， 点 E 到直线 AB 的距离为 = ， ABE 的面积 = ， 当且仅当 y1=2 时等号成立， ABE 的面积最小值为 16.
