1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学文 一、选择题： (本大题共 10 小题，每小题 5分，满分 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.已知集合 M=2， 3， 4， N=0， 2， 3， 5，则 MN= ( ) A. 0， 2 B. 2， 3 C. 3， 4 D. 3， 5 解析： M=2 ， 3， 4， N=0， 2， 3， 5， MN=2 ， 3， 答案 ： B 2.已知复数：满足 (3-4i)z=25，则 z=( ) A. -3-4i B. -3+4i C. 3-4i D. 3+4i 解析： 满足 (3-4i)z=25，则 z= =
2、=3+4i， 答案 ： D. 3.已知向量 =(1， 2)， =(3， 1)，则 - =( ) A. (-2， 1) B. (2， -1) C. (2， 0) D. (4， 3) 解析： 向量 =(1， 2)， =(3， 1)， - =(2， -1) 答案 ： B. 4.若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值等于 ( ) A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 解析： 作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=2x+y，得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 B(4， 2)时， 直线 y=-2x+z 的截距最大，此时
3、z 最大，此时 z=24+2=10 ， 答案 ： C 5.下列函数为奇函数的是 ( ) A. 2x- B. x3sinx C. 2cosx+1 D. x2+2x 解析： 对于函数 f(x)=2x- ，由于 f(-x)=2-x- = -2x=-f(x)，故此函数为奇函数 . 对于函数 f(x)=x3sinx，由于 f(-x)=-x3(-sinx)=x3sinx=f(x)，故此函数为偶函数 . 对于函数 f(x)=2cosx+1，由于 f(-x)=2cos(-x)+1=2cosx+1=f(x)，故此函数为偶函数 . 对于函数 f(x)=x2+2x，由于 f(-x)=(-x)2+2-x=x2+2-x
4、 -f(x)，且 f(-x)f (x)， 故此函数为非奇非偶函数 . 答案 ： A. 6.为了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的间隔为 ( ) A. 50 B. 40 C. 25 D. 20 解析： 从 1000 名学生中抽取 40 个样本， 样本数据间隔为 100040=25 ， 答案 ： C. 7.在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a， b， c，则 “ab” 是 “sinAsinB” 的 ( ) A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 解析： 由正弦定理可知 ， A
5、BC 中，角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a， b， c， a ， b， sinA， sinB 都是正数， “ab” “sinAsinB” . “ab” 是 “sinAsinB” 的充分必要条件 . 答案 ： A. 8.若实数 k 满足 0 k 5，则曲线 - =1 与 - =1 的 ( ) A. 实半轴长相等 B. 虚半轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 解析： 当 0 k 5，则 0 5-k 5， 11 16-k 16， 即曲线 - =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a2=16， b2=5-k， c2=21-k， 曲线 - =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a
6、2=16-k， b2=5， c2=21-k， 即两个双曲线的焦距相等， 答案 ： D. 9.若空间中四条两两不同的直线 l1， l2， l3， l4，满足 l1l 2， l2l 3， l3l 4，则下列结论一定正确的是 ( ) A. l1l 4 B. l1l 4 C. l1与 l4既不垂直也不平行 D. l1与 l4的位置关系不确定 解析： 在正方体中，若 AB 所在的直线为 l2， CD 所在的直线为 l3， AE 所在的直线为 l1， 若 GD 所在的直线为 l4，此时 l1l 4， 若 BD 所在的直线为 l4，此时 l1l 4， 故 l1与 l4的位置关系不确定， 答案 ： D 10.
7、对任意复数 1， 2，定义 1* 2= 1 2，其中 2是 2的共轭复数，对任意复数z1， z2， z3有如下命题： (z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3) z 1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3) (z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)； z 1*z2=z2*z1 则真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析： (z1+z2)*z3=(z1+z2) =(z1 +z2 =(z1*z3)+(z2*z3)，正确； z 1*(z2+z3)=z1( )=z1( + )=z1 +z1 =(z1*z2)+(z1*z3)，正确； (z1*z2)*z3=z1
8、， z1*(z2*z3)=z1*(z2 )=z1( )=z1 z3，等式不成立，故错误； z 1*z2=z1 ， z2*z1=z2 ，等式不等式，故错误； 综上所述，真命题的个数是 2 个， 答案 ： B 二、填空题 (共 3 小题，考生作答 4 小题，每小题 5分，满分 15 分 )(一 )必做题 (11-13题 ) 11.曲线 y=-5ex+3 在点 (0， -2)处的切线方程为 . 解析： y= -5ex， y| x=0=-5.因此所求的切线方程为： y+2=-5x，即 5x+y+2=0. 答案 ： 5x+y+2=0. 12.从字母 a， b， c， d， e 中任取两个不同字母，则取到
9、字母 a 的概率为 . 解析： 从字母 a， b， c， d， e 中任取两个不同字母，共有 =10 种情况，取到字母 a，共有 =4 种情况， 所求概率为 =0.4. 答案 ： 0.4. 13.等比数列 an的各项均为正数，且 a1a5=4，则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= . 解析： log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3. 又等比数列 an中， a1a5=4，即 a3=2. 故 5log2a3=5log22=5. 答案 ： 5. (二 )(14-15 题，
10、考生只能从中选做一题 ) 【坐标系与参数方程选做题】 14.在极坐标系中，曲线 C1与 C2的方程分别为 2cos 2=sin 与 cos=1 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1与 C2交点的直角坐标为 . 解析： 由 2cos 2=sin ，得： 2 2cos2=sin ，即 y=2x2. 由 cos=1 ，得 x=1.联立 ，解得： . 曲线 C1与 C2交点的直角坐标为 (1， 2). 答案 ： (1， 2). 【几何证明选讲选做题】 15.如图，在平行四边形 ABCD中，点 E在 AB上且 EB=2AE， AC 与 DE交于点 F，
11、则= . 解析： 四边形 ABCD 是平行四边形， EB=2AE， ABCD ， CD=3AE， CDFAEF ， = =3. 答案 ： 3. 四、解答题 (本大题共 6 小题，满分 80分 .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 ) 16.(12 分 )已知函数 f(x)=Asin(x+ )， x R，且 f( )= . (1)求 A 的值； (2)若 f( )-f(- )= ， (0， )，求 f( - ). 解析： (1)通过函数 f(x)=Asin(x+ )， x R，且 f( )= ，直接求 A 的值； (2)利用函数的解析式，通过 f( )-f(- )= ， (0， )，求出 c
12、os ，利用两角差的正弦函数求 f( - ). 答案 ： (1) 函数 f(x)=Asin(x+ )， x R，且 f( )= ， f ( )=Asin( + )=Asin = ， . (2)由 (1)可知：函数 f(x)=3sin(x+ )， f ( )-f(- )=3sin(+ )-3sin(-+ ) =3( )-( ) =32sincos =3sin= ， sin= ， cos= ， f ( - )=3sin( )=3sin( )3cos= . 17.(13 分 )某车间 20 名工人年龄数据如下表： (1)求这 20 名工人年龄的众数与极差； (2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这 2
13、0 名工人年龄的茎叶图； (3)求这 20 名工人年龄的方差 . 解析： (1)根据众数和极差的定义，即可得出； (2)根据画茎叶图的步骤，画图即可； (3)利用方差的计算公式，代入数据，计算即可 . 答案 ： (1)这这 20 名工人年龄的众数为 30，极差为 40-19=21； (2)茎叶图如下： (3)年龄的平均数为： =30. 这 20 名工人年龄的方差为 S2=(19-30)2+3 (28-30)2+3 (29-30)2+5 (30-30)2+4 (31-30)2+3 (32-30)2+(40-30)2=12.6. 18.(13 分 )如图 1，四边形 ABCD 为矩形， PD 平面
14、 ABCD， AB=1， BC=PC=2 作如图 2 折叠；折痕 EFDC ，其中点 E， F 分别在线段 PD， PC 上，沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M，并且 MFCF . (1)证明： CF 平面 MDF； (2)求三棱锥 M-CDE 的体积 . 解析： (1)要证 CF 平面 MDF，只需证 CFMD ，且 CFMF 即可；由 PD 平面 ABCD，得出平面 PCD 平面 ABCD，即证 MD 平面 PCD，得 CFMD ； (2)求出 CDE 的面积 SCDE ，对应三棱锥的高 MD，计算它的体积 VM-CDE. 答案 ： (1)PD 平面 ABCD， PD平
15、面 PCD， 平面 PCD 平面 ABCD； 又平面 PCD 平面 ABCD=CD， MD平面 ABCD， MDCD ， MD 平面 PCD， CF平面 PCD， CFMD ； 又 CFMF ， MD、 MF平面 MDF， MDMF=M ， CF 平面 MDF； (2)CF 平面 MDF， CFDF ， 又 PCD=60 ， CDF=30 ， CF= CD= ； EFDC ， = ，即 = ， DE= ， PE= ， S CDE = CDDE= ； MD= = = ， V M-CDE= SCDE MD= = . 19.(14分 )设各项均为正数的数列 an的前 n项和为 Sn满足 Sn2-(n
16、2+n-3)Sn-3(n2+n)=0， n N*. (1)求 a1的值； (2)求数列 an的通项公式； (3)证明：对一切正整数 n，有 + + . 解析： (1)本题可以用 n=1 代入题中条件，利用 S1=a1求出 a1的值； (2)利用 an与 Sn的关系，将条件转化为 an的方程，从而求出 an； (3)利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论 . 答案 ： (1)令 n=1 得： ，即 . (S1+3)(S1-2)=0. S 1 0， S 1=2，即 a1=2. (2)由 得： . a n 0(n N*)， S n 0. . 当 n2 时， ， 又 a 1=2=
17、21 ， . (3)当 k N*时， ， = . = = . 20.(14 分 )已知椭圆 C： + =1(a b 0)的每一个焦点为 ( ， 0)，离心率为 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动点 P(x0， y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程 . 解析： (1)根据焦点坐标和离心率求得 a 和 b，则椭圆的方可得 . (2)设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用 =0 ，整理出关于 k 的一元二次方程，利用韦达定理表示出 k1k2，进而取得 x0和 y0的关系式，即 P点的轨迹方程 . 答案 ： (1)依题意知 ，求得 a=
18、3， b=2， 椭圆的方程为 + =1. (2)当过点 P 的直线斜率不存在时， P 的坐标为 (3 ， 2 )时符合题意， 设过点 P(x0， y0)的切线为 y=k(x-x0)+y0， + = + =1，整理得 (9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0， =18k (y0-kx0)2-4(9k2+4)9 (y0-kx0)2-4， (x02-9)k2-2x0y 0k+ (y02-4)=0， -1=k1k2= =-1， x 02+y02=13. 把点 (3 ， 2 )亦成立， 点 P 的轨迹方程为： x2+y2=13. 21.(14 分 )已知函数 f(x)=
19、 x3+x2+ax+1(a R). (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a 0 时，试讨论是否存在 x0 (0， ) ( ， 1)，使得 f(x0)=f( ). 解析： 对第 (1)问，先求导，再通过一元二次方程的实根讨论单调性； 对第 (2)问，可将 f(x0)=f( )转化为 f(x0)-f( )=0，即将 “ 函数问题 ” 化为 “ 方程是否有实根问题 ” 处理 . 答案 ： (1)由 f(x)得 f(x)=x2+2x+a， 令 f(x)=0，即 x2+2x+a=0，判别式 =4 -4a， 当 0 即 a1 时， f(x)0 ，则 f(x)在 (- ， + )上为增函数 . 当
20、 0 即 a 1 时，方程 f(x)=0 的两根为 ，即 ， 当 x (- ， -1- )时， f(x) 0，则 f(x)为增函数； 当 时， f(x) 0，则 f(x)为减函数； 当 ， + )时， f(x) 0，则 f(x)为增函数 . 综合 、 知， a1 时， f(x)的单调递增区间为 (- ， + )， a 1 时， f(x)的单调递增区间为 (- ， 和 ， + )， f(x)的单调递减区间为 . (2) = = = = = . 若存在 ，使得 ，即， 则关于 x 的方程 4x2+14x+7+12a=0 在 内必有实数解 . a 0， =14 2-16(7+12a)=4(21-48a) 0， 方程 4x2+14x+7+12a=0 的两根为 ，即 ， x 0 0， ， 依题意有 ，且 ， 即 ，且 ， 49 21-48a 121，且 21-48a81 ， 得 ，且 . 当 时，存在唯一的 ，使得 成立； 当 时，不存在 ，使得 成立 .
