1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理 一、选择题：本小题共 8 小题，每小题 5分，共 40分 . 1.已知集合 M-1， 0， 1， N=0， 1， 2，则 MN= ( ) A.0， 1 B.-1， 0， 1， 2 C.-1， 0， 2 D.-1， 0， 1 解析： 集合 M-1， 0， 1， N=0， 1， 2， MN= -1， 0， 1， 2， 答案 ： B 2.已知复数 z 满足 (3+4i)z=25，则 z=( ) A. 3-4i B. 3+4i C. -3-4i D. -3+4i 解析： 复数 z满足 (3+4i)z=25，则 z= = = =3-4i， 答案
2、： A. 3.若变量 x， y 满足约束条件 ，且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则m-n=( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析： 作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=2x+y，得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 A， 直线 y=-2x+z 的截距最小，此时 z 最小， 由 ，解得 ，即 A(-1， -1)，此时 z=-2-1=-3，此时 n=-3， 平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点， B， 直线 y=-2x+z 的截距最大，此时 z 最大，由 ，解得 ， 即 B(
3、2， -1)，此时 z=22 -1=3，即 m=3，则 m-n=3-(-3)=6， 答案 ： B. 4.若实数 k 满足 0 k 9，则曲线 - =1 与曲线 - =1 的 ( ) A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 解析： 当 0 k 9，则 0 9-k 9， 16 25-k 25， 即曲线 - =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a2=25， b2=9-k， c2=34-k， 曲线 - =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a2=25-k， b2=9， c2=34-k， 即两个双曲线的焦距相等， 答案 ： A. 5.已知向量 =(1， 0， -1)，
4、则下列向量中与 成 60 夹角的是 ( ) A. (-1， 1， 0) B. (1， -1， 0) C. (0， -1， 1) D. (-1， 0， 1) 解析： 不妨设向量为 =(x， y， z)， A.若 =(-1， 1， 0)，则 cos= = ，不满足条件 . B.若 =(1， -1， 0)，则 cos= = = ，满足条件 . C.若 =(-1， 0， 1)，则 cos= = ，不满足条件 . D.若 =(-1， 1， 0)，则 cos= = ，不满足条件 . 答案 ： B 6.已知某地区中小学学生的近视情况分布如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样
5、的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ( ) A. 200， 20 B. 100， 20 C. 200， 10 D. 100， 10 解析： 由图 1 知：总体个数为 3500+2000+4500=10000， 样本容量 =100002%=200 ， 分层抽样抽取的比例为 ， 高中生抽取的学生数为 40， 抽取的高中生近视人数为 4050%=20 . 答案 ： A. 7.若空间中四条两两不同的直线 l1， l2， l3， l4，满足 l1l 2， l2l 3， l3l 4，则下列结论一定正确的是 ( ) A. l1l 4 B. l1l 4 C. l1与 l4既
6、不垂直也不平行 D. l1与 l4的位置关系不确定 解析： l 1l 2， l2l 3， l 1与 l3的位置关系不确定， 又 l4l 3， l 1与 l4的位置关系不确定 .故 A、 B、 C错误 . 答案 ： D. 8.设集合 A=(x1， x2， x3， x4， x5)|xi -1， 0， 1， i=1， 2， 3， 4， 5，那么集合 A 中满足条件 “1|x 1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3” 的元素个数为 ( ) A. 60 B. 90 C. 120 D. 130 解析： 由题目中 “1|x 1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3” 考虑 x1， x2， x3
7、， x4， x5的可能取值，设A=0， B=-1， 1 分为 有 2 个取值为 0，另外 3 个从 B 中取，共有方法数： ； 有 3 个取值为 0，另外 2 个从 B 中取，共有方法数： ； 有 4 个取值为 0，另外 1 个从 B 中取，共有方法数： . 总共方法数是 + + =130. 即元素个数为 130. 答案 ： D. 二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 25 分 .(一 )必做题 (913题 ) 9.不等式 |x-1|+|x+2|5 的解集为 . 解析： 由不等式 |x-1|+|x+2|5 ，可得 ，或 ，或 . 解 求得 x -3，解 求得
8、 x ，解 求得 x2 . 综上，不等式的解集为 (- ， -32 ， + )， 答案 ： (- ， -32 ， + ). 10.曲线 y=e-5x+2 在点 (0， 3)处的切线方程为 . 解析： y= -5e-5x， k= -5， 曲线 y=e-5x+2 在点 (0， 3)处的切线方程为 y-3=-5x，即 y=-5x+3. 答案 ： y=-5x+3 11.从 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为 . 解析： 从 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 中任取七个不同的数，有 种方法， 若七个数的
9、中位数是 6，则只需从 0， 1， 2， 3， 4， 5，选 3 个，从 7， 8， 9 中选 3 个不同的数即可，有 种方法， 则这七个数的中位数是 6 的概率 P= = ， 答案 ： 12.在 ABC 中，角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，已知 bcosC+ccosB=2b，则 = . 解析： 将 bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得： sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin(B+C)=2sinB， sin (B+C)=sinA， sinA=2sinB ，利用正弦定理化简得： a=2b，则 =2. 答案 ： 2 13.若等比数列 an的各项
10、均为正数，且 a10a11+a9a12=2e5，则 lna1+lna2+lna 20= . 解析： 数列 an为等比数列，且 a10a11+a9a12=2e5， a 10a11+a9a12=2a10a11=2e5， 则 a10a11=e5， lna 1+lna2+lna 20= =ln(e5)10=lne50=50. 答案 ： 50. (二 )、选做题 (1415题，考生只能从中选作一题 )【坐标系与参数方程选做题】 14.在极坐标系中，曲线 C1和 C2的方程分别为 sin 2=cos 和 sin=1 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1和
11、 C2交点的直角坐标为 . 解析： 曲线 C1的方程 sin 2=cos 化为直角坐标方程为 y2=x， C2的方程 sin=1 即 y=1，由 ，求得 ， 曲线 C1和 C2交点的直角坐标为(1， 1)， 答案 ： (1， 1). 【几何证明选讲选做题】 15.(2014广东 )如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB=2AE， AC 与 DE 交于点 F，则 = . 解析： ABCD 是平行四边形，点 E 在 AB 上且 EB=2AE， = ， ABCD 是平行四边形， ABCD ， CDFAEF ， =( )2=9. 答案 ： 9. 三、解答题：本大题共 6 小题，
12、满分 80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.(12 分 )已知函数 f(x)=Asin(x+ )， x R，且 f( )= . (1)求 A 的值； (2)若 f( )+f(- )= ， (0， )，求 f( - ). 解析： (1)由函数 f(x)的解析式以及 f( )= ，求得 A 的值 . (2)由 (1)可得 f(x)= sin(x+ )，根据 f( )+f(- )= ，求得 cos 的值，再由 (0，)，求得 sin 的值，从而求得 f( - ) 的值 . 答案 ： (1) 函数 f(x)=Asin(x+ )， x R，且 f( )= . Asin ( + )=A
13、sin =A = ， A= . (2)由 (1)可得 f(x)= sin(x+ )， f ( )+f(- )= sin(+ )+ sin(-+ )=2 sin cos= cos= ， cos= ，再由 (0， )，可得 sin= . f ( - )= sin( -+ )= sin( - )= sin= . 17.(13 分 )随机观测生产某种零件的某工作厂 25 名工人的日加工零件个数 (单位：件 )，获得数据如下： 30， 42， 41， 36， 44， 40， 37， 37， 25， 45， 29， 43， 31， 36， 49， 34， 33，43， 38， 42， 32， 34， 46
14、， 39， 36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 25， 30 3 0.12 (30， 35 5 0.20 (35， 40 8 0.32 (40， 45 n1 f1 (45， 50 n2 f2 (1)确定样本频率分布表中 n1， n2， f1和 f2的值； (2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； (3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4人，至少有 1人的日加工零件数落在区间 (30，35的概率 . 解析： (1)利用所给数据，可得样本频率分布表中 n1， n2， f1和 f2的值； (2)根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图； (3)利用对立事
15、件可求概率 . 答案 ： (1)(40， 45的频数 n1=7，频率 f1=0.28； (45， 50的频数 n2=2，频率 f2=0.08； (2)频率分布直方图： (3)设在该厂任取 4 人，没有一人的日加工零件数落在区间 (30， 35为事件 A，则至少有一人的日加工零件数落在区间 (30， 35为事件 ， 已知该厂每人日加工零件数落在区间 (30， 35的概率为 ， P (A)= = ， P ( )=1-P(A)= ， 在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30， 35的概率为 . 18.(13分 )如图，四边形 ABCD为正方形 .PD 平面 ABCD， DPC
16、=30 ， AFPC 于点 F， FECD ，交 PD 于点 E. (1)证明： CF 平面 ADF； (2)求二面角 D-AF-E 的余弦值 . 解析： (1)结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判 PC 平面 ADF，即得所求； (2)由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可 . 答案 ： (1)PD 平面 ABCD， PDAD ， 又 CDAD ， PDCD=D ， AD 平面 PCD， ADPC ，又 AFPC ， PC 平面 ADF，即 CF 平面 ADF； (2)设 AB=1，在 RTPDC 中， CD=1， DPC=30 ， PC=2 ， PD= ，由
17、 (1)知 CFDF ， DF= ， AF= = ， CF= = ，又 FECD ， ， DE= ，同理可得 EF= CD= ， 如图所示，以 D 为原点，建立空间直角坐标系， 则 A(0， 0， 1)， E( ， 0， 0)， F( ， ， 0)， P( ， 0， 0)， C(0， 1， 0) 设向量 =(x， y， z)为平面 AEF 的法向量，则有 ， ， ，令 x=4 可得 z= ， =(4， 0， )， 由 (1)知平面 ADF 的一个法向量为 =( ， 1， 0)， 设二面角 D-AF-E 的平面角为 ，可知 为锐角， cos=|cos ， |= = = 二面角 D-AF-E 的余
18、弦值为： 19.(14 分 )设数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 Sn=2nan+1-3n2-4n， n N*，且 S3=15. (1)求 a1， a2， a3的值； (2)求数列 an的通项公式 . 解析： (1)在数列递推式中取 n=2 得一关系式，再把 S3变为 S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中 n 取 1，再结合 S3=15 联立方程组求得 a1， a2； (2)由 (1)中求得的 a1， a2， a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明 . 答案 ： (1)由 Sn=2nan+1-3n2-4n， n N*，得： S2=4a3-20 又 S3=
19、S2+a3=15 联立 解得： a3=7. 再在 Sn=2nan+1-3n2-4n 中取 n=1，得： a1=2a2-7 又 S3=a1+a2+7=15 联立 得： a2=5， a1=3. a 1， a2， a3的值分别为 3， 5， 7； (2)a 1=3=21+1 ， a2=5=22+1 ， a3=7=23+1 . 由此猜测 an=2n+1. 下面由数学归纳法证明： 1、当 n=1 时， a1=3=21+1 成立 . 2、假设 n=k 时结论成立，即 ak=2k+1. 那么，当 n=k+1 时， 由 Sn=2nan+1-3n2-4n，得 ， ， 两式作差得： . = =2(k+1)+1.
20、综上，当 n=k+1 时结论成立 . a n=2n+1. 20.(14 分 )已知椭圆 C： + =1(a b 0)的每一个焦点为 ( ， 0)，离心率为 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动点 P(x0， y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程 . 解析： (1)根据焦点坐标和离心率求得 a 和 b，则椭圆的方可得 . (2)设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用 =0 ，整理出关于 k 的一元二次方程，利用韦达定理表示出 k1k2，进而取得 x0和 y0的关系式，即 P点的轨迹方程 . 答案 ： (1)依题意知 ，求得 a=3，
21、 b=2， 椭圆的方程为 + =1. (2)当过点 P 的直线斜率不存在时， P 的坐标为 (3 ， 2 )时符合题意， 设过点 P(x0， y0)的切线为 y=k(x-x0)+y0， + = + =1，整理得 (9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0， =18k (y0-kx0)2-4(9k2+4)9 (y0-kx0)2-4， (x02-9)k2-2x0y 0k+ (y02-4)=0， -1=k1k2= =-1， x 02+y02=13. 把点 (3 ， 2 )亦成立， 点 P 的轨迹方程为： x2+y2=13. 21.(14 分 )设函数 f(x)= ，其
22、中 k -2. (1)求函数 f(x)的定义域 D(用区间表示 )； (2)讨论函数 f(x)在 D 上的单调性； (3)若 k -6，求 D 上满足条件 f(x) f(1)的 x 的集合 (用区间表示 ). 解析： (1)利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域 . (2)根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论 . (3)根据函数的单调性，即可得到不等式的解集 . 答案 ： (1)设 t=x2+2x+k，则 f(x)等价为 y=g(t)= ， 要使函数有意义，则 t2+2t-3 0，解得 t 1 或 t -3， 即 x2+2x+k 1 或 x2+2x+k -3， 则 (x+1
23、)2 2-k，或 (x+1)2 k-4， (舍去 )， 即 x+1 或 x+1 ， 即 x -1 或 x ， 则函数的定义域为 ( -1， + ) (- ， -1- ) (-1- ， -1+ ). (2) =， 由 f(x) 0，即 (x2+2x+k+1)(2x+2) 0，则 (x+1+ )(x+1- )(x+1) 0 解得 x -1- 或 -1 x -1+ ，结合定义域知， x -1- 或 -1 x -1+， 即函数的单调递增区间为： (- ， -1- )， (-1， -1+ )， 同理解得单调递减区间为： (-1- ， -1)， (-1+ ， + ). (3)由 f(x)=f(1)得 (x
24、2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3=(3+k)2+2(3+k)-3， 则 (x2+2x+k)2-(3+k)2+2(x2+2x+k)-(3+k)=0， (x2+2x+2k+5)(x2+2x-3)=0 即 (x+1+ )(x+1- )(x+3)(x-1)=0， x= -1- 或 x=-1+ 或 x=-3 或 x=1， k -6， 1 (-1， -1+ )， -3 (-1- ， -1)， f (-3)=f(1)=f(-1- )=f(-1+ )， 且满足 -1- (- ， -1- )， -1+ (-1+ ， + )， 由 (2)可知函数 f(x)在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使 f(x) f(1)的集合为： ( ) (-1- ， -3) (1， -1+ ) (-1+， -1+ ).
