1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）数学文 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 M=x|-1 x 3， N=x|-2 x 1，则 MN= ( ) A. (-2， 1) B.(-1， 1) C. (1， 3) D. (-2， 3) 解析： M=x|-1 x 3， N=x|-2 x 1，则 MN=x| -1 x 1， 答案 ： B 2.若 tan 0，则 ( ) A. sin 0 B. cos 0 C. sin2 0 D. cos2 0 解析： tan 0， ，则 sin2=2sincos 0. 答案 ：
2、 C. 3.设 z= +i，则 |z|=( ) A. B. C. D.2 解析： z= +i= +i= ， 故 |z|= = . 答案 ： B. 4.已知双曲线 - =1(a 0)的离心率为 2，则 a=( ) A.2 B. C. D.1 解析： 双曲线 的离心率 e= =2，解答 a=1. 答案 ： D. 5.设函数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 ( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 解析： f (x)是奇函数， g(x
3、)是偶函数， |f (x)|为偶函数， |g(x)|为偶函数 . 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f(x)|g(x)|为奇函数， 答案 ： C. 6.设 D， E， F 分别为 ABC 的三边 BC， CA， AB 的中点，则 + =( ) A. B. C. D. 解析： D ， E， F 分别为 ABC 的三边 BC， CA， AB 的中点， + =( + )+( + )=+ = ( + )= . 答案 ： A 7.在函数 y=cos 丨 2x 丨， y= 丨 cosx 丨， y=cos (2x+ )y=tan (2x- )中
4、，最小正周期为 的所有函数为 ( ) A. B. C. D. 解析： 函数 y=cos 丨 2x 丨的最小正周期为 = ， y= 丨 cosx 丨的最小正周期为 = ， y=cos (2x+ )的最小正周期为 = ， y=tan (2x- )的最小正周期为 ， 答案 ： A 8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 解析： 根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图， 可知几何体如图：几何体是三棱柱 . 答案 ： B. 9.执行如图的程序框图，若输入的 a， b， k 分别为
5、 1， 2， 3，则输出的 M=( ) A. B. C. D. 解析： 由程序框图知：第一次循环 M=1+ = ， a=2， b= ， n=2； 第二次循环 M=2+ = ， a= ， b= ， n=3； 第三次循环 M= + = ， a= ， b= ， n=4. 不满足条件 n3 ，跳出循环体，输出 M= . 答案 ： D. 10.已知抛物线 C： y2=x 的焦点为 F， A(x0， y0)是 C 上一点， |AF|= x0， x0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析： 由抛物线的定义，可得 |AF|=x0+ ， |AF|= x0， x 0+ = x0， x 0=1， 答案 ：
6、A. 11.设 x， y 满足约束条件 ，且 z=x+ay 的最小值为 7，则 a=( ) A.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或 -3 解析： 由约束条件 作可行域如图， 联立 ，解得 .A ( ). 当 a=0 时 A 为 ( )， z=x+ay 的最小值为 ，不满足题意； 当 a 0 时，由 z=x+ay 得 ， 要使 z 最小，则直线 在 y 轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在； 当 a 0 时，由 z=x+ay 得 ， 由图可知，当直线过点 A 时直线 在 y 轴上的截距最小， z 最小 . 此时 z= ，解得： a=3 或 a=-5(舍 ). 答案 ： B. 12.已知
7、函数 f(x)=ax3-3x2+1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0 0，则 a 的取值范围是 ( ) A. (2， + ) B. (1， + ) C. (- ， -2) D. (- ， -1) 解析： 当 a=0 时， f(x)=-3x2+1=0，解得 x= ，函数 f(x)有两个零点，不符合题意，应舍去； 当 a 0 时，令 f (x)=3ax2-6x=3ax =0，解得 x=0 或 x= 0，列表如下： x+ ， f(x) - ，而 f(0)=1 0， 存在 x 0，使得 f(x)=0，不符合条件： f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0 0，应舍去 . 当 a 0 时， f
8、(x)=3ax2-6x=3ax =0，解得 x=0 或 x= 0，列表如下： 而 f(0)=1 0， x+ 时， f(x) - ， 存在 x0 0，使得 f(x0)=0， f (x)存在唯一的零点 x0，且 x0 0， 极小值 = ，化为 a2 4， a 0， a -2. 综上可知： a 的取值范围是 (- ， -2). 答案 ： C. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分 13.将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 . 解析： 首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到 2 本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可 . 答案 ：
9、2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有 （ 数学 1，数学 2，语文 ） ， （ 数学 1，语文，数学 2） ， （ 数学 2，数学 1，语文 ） ， （ 数学 2，语文，数学1） ， （ 语文，数学 1，数学 2） ， （ 语文，数学 2，数学 1） 共 6 个， 其中 2 本数学书相邻的有 （ 数学 1，数学 2，语文 ） ， （ 数学 2，数学 1，语文 ） ， （ 语文，数学1，数学 2） ， （ 语文，数学 2，数学 1） 共 4 个，故本数学书相邻的概率 P= . 答案 ： . 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A， B， C 三个城市时，
10、甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 . 解析： 由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 A 城市或 B 城市， 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市，则乙只能是去过 A， B 中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为 A. 答案 ： A. 15.设函数 f(x)= ，则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是 . 解析： x 1 时， ex-12 ， xln2+1 ， x 1； x1 时， 2 ， x8 ， 1x8 ， 综上，使得 f(x)2 成立的
11、x 的取值范围是 x8 . 答案 ： x8 . 16.如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角 MAN=60 ， C 点的仰角 CAB=45 ，以及 MAC=75 ；从 C 点测得 MCA=60 .已知山高 BC=100m，则山高 MN= m. 解析： ABC 中， BAC=45 ， ABC=90 ， BC=100， AC= =100 . AMC 中， MAC=75 ， MCA=60 ， AMC=45 ，由正弦定理可得 ， 即 ，解得 AM=100 . RtAMN 中， MN=AMsinMAN=100 sin60=150 (m)， 答案
12、 ： 150. 三、解答题：解答应写出文字说明 .证明过程或演算步骤 17.（ 12 分） 已知 an是递增的等差数列， a2， a4是方程 x2-5x+6=0 的根 . (1)求 an的通项公式； (2)求数列 的前 n 项和 . 解析： (1)解出方程的根，根据数列是递增的求出 a2， a4的值，从而解出通项； (2)将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和 . 答案 ： (1)方程 x2-5x+6=0 的根为 2， 3.又 an是递增的等差数列， 故 a2=2， a4=3，可得 2d=1， d= ，故 an=2+(n-2) = n+1， (2)设数列 的前 n 项和为 Sn， Sn=
13、， Sn= ， - 得 Sn= = ， 解得 Sn= =2- . 18.（ 12 分） 从某企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： (1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标的平均数及方差 （ 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ） ； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合 “ 质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品 80%” 的规定？ 解析： (1)根据频率分布直方图做法画出即可； (2)用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可 . (3)求出质量指标值不
14、低于 95 的产品所占比例的估计值，再和 0.8 比较即可 . 答案 ： (1)频率分布直方图如图所示： (2)质量指标的样本平均数为 =800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100 ， 质量指标的样本的方差为S2=(-20)20.06+ (-10)20.26+00.38+10 20.22+20 20.08=104 ， 这种产品质量指标的平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68， 由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合 “ 质量指
15、标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%” 的规定 . 19.（ 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的中点为 O，且 AO 平面BB1C1C. (1)证明： B1CAB ； (2)若 ACAB 1， CBB 1=60 ， BC=1，求三棱柱 ABC-A1B1C1的高 . 解析： (1)连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1的交点，证明 B1C 平面 ABO，可得 B1CAB ； (2)作 ODBC ，垂足为 D，连接 AD，作 OHAD ，垂足为 H，证明 CBB 1为等边三角形，求出B1到平面 ABC 的距离，即可求三棱柱
16、ABC-A1B1C1的高 . 答案 ： (1)连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1的交点， 侧面 BB1C1C 为菱形， BC 1B 1C， AO 平面 BB1C1C， AOB 1C， AOBC 1=O， B 1C 平面 ABO， AB 平面 ABO， B 1CAB ； (2)作 ODBC ，垂足为 D，连接 AD，作 OHAD ，垂足为 H， BCAO ， BCOD ， AOOD=O ， BC 平面 AOD， OHBC ， OHAD ， BCAD=D ， OH 平面 ABC， CBB 1=60 ， CBB 1为等边三角形， BC=1 ， OD= ， ACAB 1， OA= B1C=
17、， 由 OHAD=ODOA，可得 AD= = ， OH= ， O 为 B1C 的中点， B 1到平面 ABC 的距离为 ， 三棱柱 ABC-A1B1C1的高 . 20.（ 12 分） 已知点 P(2， 2)，圆 C： x2+y2-8y=0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点 . (1)求 M 的轨迹方程； (2)当 |OP|=|OM|时，求 l 的方程及 POM 的面积 . 解析： (1)由圆 C 的方程求出圆心坐标和半径，设出 M 坐标，由 与 数量积等于 0 列式得 M 的轨迹方程； (2)设 M 的轨迹的圆心为 N，由 |O
18、P|=|OM|得到 ONPM .求出 ON 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到 PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出 O 到 l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出 PM 的长度，代入三角形面积公式得答案 . 答案 ： (1)由圆 C： x2+y2-8y=0，得 x2+(y-4)2=16， 圆 C 的圆心坐标为 (0， 4)，半径为 4. 设 M(x， y)，则 ， . 由题意可得： . 即 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0. 整理得： (x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 内部， M 的轨迹方程是 (x-1)2+(y-3)2=2. (2)由 (
19、1)知 M 的轨迹是以点 N(1， 3)为圆心， 为半径的圆，由于 |OP|=|OM|， 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上， 又 P 在圆 N 上，从而 ONPM . k ON=3， 直线 l 的斜率为 - . 直线 PM 的方程为 ，即 x+3y-8=0. 则 O 到直线 l 的距离为 . 又 N 到 l 的距离为 ， |PM|= = . . 21.（ 12 分） 设函数 f(x)=alnx+ x2-bx(a1 )，曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线斜率为 0， (1)求 b； (2)若存在 x01 ，使得 f(x0) ，求 a 的取值范围 . 解析： (1)利用导数的几何
20、意义即可得出； (2)对 a 分类讨论：当 a 时，当 a 1 时，当 a 1 时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 . 答案 ： (1)f (x)= (x 0)， 曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线斜率为 0， f (1)=a+(1-a)1 -b=0，解得 b=1. (2)函数 f(x)的定义域为 (0， + )，由 (1)可知： f(x)=alnx+ ， = . 当 a 时，则 ， 则当 x 1 时， f (x) 0， 函数 f(x)在 (1， + )单调递增， 存在 x01 ，使得 f(x0) 的充要条件是 ，即 ， 解得 ； 当 a 1 时，则 ， 则当 x
21、时， f (x) 0，函数 f(x)在 上单调递减； 当 x 时， f (x) 0，函数 f(x)在 上单调递增 . 存在 x01 ，使得 f(x0) 的充要条件是 ， 而 = + ，不符合题意，应舍去 . 若 a 1 时， f(1)= ，成立 . 综上可得： a 的取值范围是 . 请考生在第 22， 23， 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时清写清题号。 【选修 4-1：几何证明选讲】 22.（ 10 分） 如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE. ( )证明： D=E ； ( )设 AD 不是
22、O 的直径， AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明： ADE 为等边三角形 . 解析： ( )利用四边形 ABCD是 O 的内接四边形，可得 D=CBE ，由 CB=CE，可得 E=CBE ，即可证明： D=E ； ( )设 BC 的中点为 N，连接 MN，证明 ADBC ，可得 A=CBE ，进而可得 A=E ，即可证明 ADE 为等边三角形 . 答案 ： ( ) 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， D=CBE ， CB=CE ， E=CBE ， D=E ； ( )设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MB=MC 知 MNBC ， O 在直线 MN上， AD 不是 O 的直径，
23、 AD 的中点为 M， OMAD ， ADBC ， A=CBE ， CBE=E ， A=E ， 由 ( )知， D=E ， ADE 为等边三角形 . 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 23.已知曲线 C： + =1，直线 l： （ t 为参数 ） ( )写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程 . ( )过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线，交 l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值 . 解析： ( )联想三角函数的平方关系可取 x=2cos 、 y=3sin 得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数 t 得直线 l 的普通方程； ( )设曲线 C 上任意一点 P
24、(2cos ， 3sin ).由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离，除以 sin30 进一步得到 |PA|，化积后由三角函数的范围求得 |PA|的最大值与最小值 . 答案 ： ( )对于曲线 C： + =1，可令 x=2cos 、 y=3sin ， 故曲线 C 的参数方程为 ， ( 为参数 ). 对于直线 l： ， 由 得： t=x-2，代入 并整理得： 2x+y-6=0； ( )设曲线 C 上任意一点 P(2cos ， 3sin ).P 到直线 l 的距离为. 则 ，其中 为锐角 . 当 sin(+ )=-1 时， |PA|取得最大值，最大值为 . 当 sin(+ )=1 时，
25、|PA|取得最小值，最小值为 . 【选修 4-5：不等式选讲】 24.若 a 0， b 0，且 + = . ( )求 a3+b3的最小值； ( )是否存在 a， b，使得 2a+3b=6？并说明理由 . 解析： ( )由条件利用基本不等式求得 ab4 ，再利用基本不等式求得 a3+b3的最小值 . ( )根据 ab4 及基本不等式求的 2a+3b 8，从而可得不存在 a， b，使得 2a+3b=6. 答案 ： ( )a 0， b 0，且 + = ， = + 2 ， ab2 ， 当且仅当 a=b= 时取等号 . a 3+b3 2 2 =4 ，当且仅当 a=b= 时取等号， a 3+b3的最小值为 4 . ( )由 (1)可知， 2a+3b2 =2 4 6，故不存在 a， b，使得 2a+3b=6 成立 .
