1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）数学理 一、选择题 (共 12 小题，每小题 5 分 ) 1.已知集合 A=x|x2-2x-30 ， B=x|-2x2 ，则 AB= ( ) A.-2， -1 B.-1， 2) C.-1， 1 D.1， 2) 解析： A=x|x2-2x-30=x|x3 或 x -1， B=x|-2x2 ，则 AB=x| -2x -1， 答案： A 2. =( ) A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i 解析： = =-(1+i)=-1-i， 答案： D. 3.设函数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶
2、函数，则下列结论中正确的是 ( ) A. f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 解析 ： f (x)是奇函数， g(x)是偶函数， |f (x)|为偶函数， |g(x)|为偶函数 . 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f(x)|g(x)|为奇函数， 答案： C. 4.已知 F为双曲线 C： x2-my2=3m(m 0)的一个焦点，则点 F到 C的一条渐近线的距离为 ( ) A. B.3 C. m D.3m 解析： 双曲线 C： x2-my2=
3、3m(m 0)可化为 ， 一个焦点为 ( ， 0)，一条渐近线方程为 =0， 点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 = . 答案： A. 5. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析： 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有 24=16 种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有 24-2=16-2=14 种情况， 所求概率为 = . 答案 ： D. 6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P
4、做直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M到直线 OP的距离表示为 x的函数f(x)，则 y=f(x)在 0， 的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析： 在直角三角形 OMP 中， OP=1， POM=x ，则 OM=|cosx|， 点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f(x)=OM|sinx|=|cosx|sinx|= |sin2x|， 其周期为 T= ，最大值为 ，最小值为 0， 答案： C. 7.执行如图的程序框图，若输入的 a， b， k 分别为 1， 2， 3，则输出的 M=( ) A. B. C. D. 解析： 由程序框图知：第一次循环 M=1+ = ， a
5、=2， b= ， n=2； 第二次循环 M=2+ = ， a= ， b= ， n=3； 第三次循环 M= + = ， a= ， b= ， n=4. 不满足条件 n3 ，跳出循环体，输出 M= . 答案： D. 8.设 (0， )， (0， )，且 tan= ，则 ( ) A.3 -= B.3+= C.2 -= D.2+= 解析 ：由 tan= ，得： ， 即 sincos=cossin+cos ， sin( - )=cos. 由等式右边为单角 ，左边为角 与 的差，可知 与 2 有关 . 排除选项 A， B 后验证 C， 当 时， sin( - )=sin( )=cos 成立 . 答案： C.
6、 9.不等式组 的解集记为 D，有下列四个命题： p1： (x， y) D， x+2y -2 p2： (x， y) D， x+2y2 p3： (x， y) D， x+2y3 p 4： (x， y) D， x+2y -1 其中真命题是 ( ) A. p2， p3 B. p1， p4 C. p1， p2 D. p1， p3 解析： 作出图形如下： 由图知，区域 D 为直线 x+y=1 与 x-2y=4 相交的上部角型区域， 显然，区域 D 在 x+2y -2 区域的上方，故 A： (x， y) D， x+2y -2 成立； 在直线 x+2y=2 的右上方区域，： (x， y) D， x+2y2 ，
7、故 p2： (x， y) D， x+2y2 正确； 由图知， p3： (x， y) D， x+2y3 错误； x+2y -1 的区域 （ 左下方的虚线区域 ） 恒在区域 D 下方，故 p4： (x， y) D， x+2y -1错误； 综上所述， p1、 p2正确 . 答案： C. 10.已知抛物线 C： y2=8x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 =4 ，则 |QF|=( ) A. B.3 C. D.2 解析： 设 Q 到 l 的距离为 d，则 |QF|=d， =4 ， |PQ|=3d ， 直线 PF 的斜率为 -2 ， F (2， 0
8、)， 直线 PF 的方程为 y=-2 (x-2)， 与 y2=8x 联立可得 x=1， |QF|=d=1+2=3 ， 答案： B. 11.已知函数 f(x)=ax3-3x2+1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0 0，则 a 的取值范围是 ( ) A. (2， + ) B. (1， + ) C. (- ， -2) D. (- ， -1) 解析： 当 a=0 时， f(x)=-3x2+1=0，解得 x= ，函数 f(x)有两个零点，不符合题意，应舍去； 当 a 0 时，令 f (x)=3ax2-6x=3ax =0，解得 x=0 或 x= 0，列表如下： x+ ， f(x) - ，而 f(
9、0)=1 0， 存在 x 0，使得 f(x)=0，不符合条件： f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0 0，应舍去 . 当 a 0 时， f (x)=3ax2-6x=3ax =0，解得 x=0 或 x= 0，列表如下： 而 f(0)=1 0， x + 时， f(x) - ， 存在 x0 0，使得 f(x0)=0， f (x)存在唯一的零点 x0，且 x0 0， 极小值 = ，化为 a2 4， a 0， a -2. 综上可知： a 的取值范围是 (- ， -2). 答案： C. 12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 (
10、) A. 6 B. 6 C. 4 D. 4 解析： 几何体的直观图如图： AB=4， BD=4， C 到 BD 的中点的距离为： 4， .AC= =6， AD=4 ， 显然 AC 最长 .长为 6. 答案： B. 二、填空题 (共 4 小题，每小题 5 分 ) 13. (x-y)(x+y)8的展开式中 x2y7的系数为 .（ 用数字填写答案 ） 解析 ： (x+y)8的展开式中，含 xy7的系数是： =8.含 x2y6的系数是 =28， (x-y)(x+y)8的展开式中 x2y7的系数为： 8-28=-20. 答案： -20 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A， B， C 三个城市时，
11、 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 . 解析： 由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 A 城市或 B 城市， 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市，则乙只能是去过 A， B 中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为 A. 答案： A. 15.已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若 = ( + )，则 与 的夹角为 . 解析： 在圆中若 = ( + )，即 2 = + ， 即 + 的和向量是过 A， O 的直径， 则以 AB， AC 为临边的四边
12、形是矩形，则 ，即 与 的夹角为 90 ， 答案 ： 90 16.已知 a， b， c分别为 ABC 三个内角 A， B， C的对边， a=2，且 (2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，则 ABC 面积的最大值为 . 解析： ABC 中， a=2 ，且 (2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC， 利用正弦定理可得 4-b2=(c-b)c，即 b2+c2-bc=4. 再利用基本不等式可得 42bc -bc=bc， bc4 ，当且仅当 b=c=2 时，取等号， 此时， ABC 为等边三角形，它的面积为 = = ， 答案 ： . 三、解答题 17.（ 12 分） 已知数列
13、 an的前 n 项和为 Sn， a1=1， an0 ， anan+1=S n-1，其中 为常数 . ( )证明： an+2-an= ( )是否存在 ，使得 an为等差数列？并说明理由 . 解析： ( )利用 anan+1=S n-1， an+1an+2=S n+1-1，相减即可得出； ( )对 分类讨论： =0 直接验证即可； 0 ，假设存在 ，使得 an为等差数列，设公差为 d.可得 =a n+2-an=(an+2-an+1)+(an+1-an)=2d， .得到 S n=，根据 an为等差数列的充要条件是 ，解得 即可 . 答案： ( )a nan+1=S n-1， an+1an+2=S n
14、+1-1， a n+1(an+2-an)=a n+1 a n+10 ， a n+2-an=. ( ) 当 =0 时， anan+1=-1，假设 an为等差数列，设公差为 d. 则 an+2-an=0， 2d=0 ，解得 d=0， a n=an+1=1， 1 2=-1，矛盾，因此 =0 时 an不为等差数列 . 当 0 时，假设存在 ，使得 an为等差数列，设公差为 d. 则 =a n+2-an=(an+2-an+1)+(an+1-an)=2d， . ， ， S n=1+ = ， 根据 an为等差数列的充要条件是 ，解得 =4. 此时可得 ， an=2n-1.因此存在 =4 ，使得 an为等差数
15、列 . 18.（ 12 分） 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： ( )求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2(同一组数据用区间的中点值作代表 )； ( )由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N( ， 2)，其中 近似为样本平均数 ， 2近似为样本方差 s2. (i)利用该正态分布，求 P(187.8 Z 212.2)； (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8， 212.2)的产品件数，利用 (i)的结果，求
16、 EX. 附： 12.2 . 若 Z-N( ， 2)则 P( - Z + )=0.6826， P( -2 Z +2 )=0.9544. 解析： ( )运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出； ( )(i)由 ( )知 Z N(200， 150)，从而求出 P(187.8 Z 212.2)，注意运用所给数据； (ii)由 (i)知 X B(100， 0.6826)，运用 EX=np 即可求得 . 答案： ( )抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2分别为： =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200
17、， s2=(-30)20.02+ (-20)20.09+ (-10)20.22+00.33+10 20.24+20 20.08+30 20.02=150. ( )(i)由 ( )知 Z N(200， 150)，从而 P(187.8 Z 212.2)=P(200-12.2 Z200+12.2)=0.6826； (ii)由 (i)知一件产品的质量指标值位于区间 (187.8， 212.2)的概率为 0.6826， 依题意知 X B(100， 0.6826)，所以 EX=1000.6826=68.26. 19.（ 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 BB1C1C为菱形， ABB
18、1C. ( )证明： AC=AB1； ( )若 ACAB 1， CBB 1=60 ， AB=BC，求二面角 A-A1B1-C1的余弦值 . 解析： (1)连结 BC1，交 B1C 于点 O，连结 AO，可证 B1C 平面 ABO，可得 B1CAO ， B10=CO，进而可得 AC=AB1； (2)以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向， | |为单位长度， 的方向为 y 轴的正方向， 的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值 . 答案： (1)连结 BC1，交 B1C 于点 O，连结 AO， 侧面 BB1C1C 为菱形， BC 1B 1C，且
19、O 为 BC1和 B1C的中点， 又 ABB 1C， B 1C 平面 ABO， AO 平面 ABO， B 1CAO ， 又 B10=CO， AC=AB 1， (2)ACAB 1，且 O 为 B1C 的中点， AO=CO ， 又 AB=BC ， BOABOC ， OAOB ， OA ， OB， OB1两两垂直， 以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向， | |为单位长度， 的方向为 y 轴的正方向， 的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系， CBB 1=60 ， CBB 1为正三角形，又 AB=BC， A (0， 0， )， B(1， 0， 0， )， B1(0， ， 0)， C(0
20、， ， 0) =(0， ， )， = =(1， 0， )， = =(-1， ， 0)， 设向量 =(x， y， z)是平面 AA1B1的法向量， 则 ，可取 =(1， ， )， 同理可得平面 A1B1C1的一个法向量 =(1， - ， )， cos ， = = ， 二面角 A-A1B1-C1的余弦值为 20.（ 12 分） 已知点 A(0， -2)，椭圆 E： + =1(a b 0)的离心率为 ， F 是椭圆 E的右焦点，直线 AF 的斜率为 ， O 为坐标原点 . ( )求 E 的方程； ( )设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P， Q两点，当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程
21、. 解析： ( )设 F(c， 0)，利用直线的斜率公式可得 ，可得 c.又 ， b2=a2-c2，即可解得 a， b； ( )设 P(x1， y1)， Q(x2， y2).由题意可设直线 l 的方程为： y=kx-2.与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出SOPQ .通过换元再利用基本不等式的性质即可得出 . 答案： ( )设 F(c， 0)， 直线 AF 的斜率为 ， ，解得 c= . 又 ， b2=a2-c2，解得 a=2， b=1. 椭圆 E 的方程为 ； ( )设 P(x1， y1)， Q(x2， y2). 由题意可设直线
22、 l 的方程为： y=kx-2. 联立 ， 化为 (1+4k2)x2-16kx+12=0，当 =16 (4k2-3) 0 时，即 时， ， . |PQ|= = = ， 点 O 到直线 l 的距离 d= .S OPQ = = ， 设 0，则 4k2=t2+3， = =1，当且仅当 t=2，即 ，解得 时取等号 . 满足 0， OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为： . 21.（ 12 分） 设函数 f(x)=aexlnx+ ，曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处得切线方程为y=e(x-1)+2. ( )求 a、 b； ( )证明： f(x) 1. 解析： ( )求出定义域，导数 f (x
23、)，根据题意有 f(1)=2， f (1)=e，解出即可； ( )由 ( )知， f(x) 1 等价于 xlnx xe-x- ，设函数 g(x)=xlnx，函数 h(x)= ，只需证明 g(x)min h(x)max，利用导数可分别求得 g(x)min， h(x)max； 答案： ( )函数 f(x)的定义域为 (0， + )， f (x)= + ， 由题意可得 f(1)=2， f (1)=e，故 a=1， b=2； ( )由 ( )知， f(x)=exlnx+ ， 从而 f(x) 1 等价于 xlnx xe-x- ，设函数 g(x)=xlnx，则 g (x)=1+lnx， 当 x (0， )
24、时， g (x) 0；当 x ( ， + )时， g (x) 0. 故 g(x)在 (0， )上单调递减，在 ( ， + )上单调递增，从而 g(x)在 (0， + )上的最小值为 g( )=- . 设函数 h(x)= ，则 h (x)=e-x(1-x). 当 x (0， 1)时， h (x) 0；当 x (1， + )时， h (x) 0， 故 h(x)在 (0， 1)上单调递增，在 (1， + )上单调递减， 从而 h(x)在 (0， + )上的最大值为 h(1)=- . 综上，当 x 0 时， g(x) h(x)，即 f(x) 1. 四、选做题 (22-24 题任选一题作答，如果多做，则
25、按所做的第一题计分 ) 选修 4-1：集合证明选讲 22.（ 10 分） 如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE. ( )证明： D=E ； ( )设 AD 不是 O 的直径， AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明： ADE 为等边三角形 . 解析： ( )利用四边形 ABCD是 O 的内接四边形，可得 D=CBE ，由 CB=CE，可得 E=CBE ，即可证明： D=E ； ( )设 BC 的中点为 N，连接 MN，证明 ADBC ，可得 A=CBE ，进而可得 A=E ，即可证明 ADE 为等边三角形 . 答案： (
26、) 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， D=CBE ， CB=CE ， E=CBE ， D=E ； ( )设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MB=MC 知 MNBC ， O 在直线 MN 上， AD 不是 O 的直径， AD 的中点为 M， OMAD ， ADBC ， A=CBE ， CBE=E ， A=E ， 由 ( )知， D=E ， ADE 为等边三角形 . 选修 4-4：坐标系与参数方程 23.已知曲线 C： + =1，直线 l： （ t 为参数 ） ( )写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程 . ( )过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线
27、，交 l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值 . 解析： ( )联想三角函数的平方关系可取 x=2cos 、 y=3sin 得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数 t 得直线 l 的普通方程； ( )设曲线 C 上任意一点 P(2cos ， 3sin ).由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离，除以 sin30 进一步得到 |PA|，化积后由三角函数的范围求得 |PA|的最大值与最小值 . 答案： ( )对于曲线 C： + =1，可令 x=2cos 、 y=3sin ， 故曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数 ） . 对于直线 l： ， 由 得： t=x-2，代入 并整理得： 2
28、x+y-6=0； ( )设曲线 C 上任意一点 P(2cos ， 3sin ). P 到直线 l 的距离为 . 则 ，其中 为锐角 . 当 sin(+ )=-1 时， |PA|取得最大值，最大值为 . 当 sin(+ )=1 时， |PA|取得最小值，最小值为 . 选修 4-5：不等式选讲 24.若 a 0， b 0，且 + = . ( )求 a3+b3的最小值； ( )是否存在 a， b，使得 2a+3b=6？并说明理由 . 解析： ( )由条件利用基本不等式求得 ab4 ，再利用基本不等式求得 a3+b3的最小值 . ( )根据 ab4 及基本不等式求的 2a+3b 8，从而可得不存在 a， b，使得 2a+3b=6. 答案： ( )a 0， b 0，且 + = ， = + 2 ， ab2 ， 当且仅当 a=b= 时取等号 . a 3+b3 2 2 =4 ，当且仅当 a=b= 时取等号， a 3+b3的最小值为 4 . ( )由 (1)可知， 2a+3b2 =2 4 6，故不存在 a， b，使得 2a+3b=6 成立 .
