1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求 . 1.设集合 M=0， 1， 2， N=x|x2-3x+20 ，则 MN= ( ) A. 1 B. 2 C. 0， 1 D. 1， 2 解析： N=x|x 2-3x+20=x|1x2 ， MN=1 ， 2， 答案 ： D. 2.设复数 z1， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1=2+i，则 z1z2=( ) A. -5 B. 5 C. -4+i D. -4-i 解析： z1=2+i 对应的点的坐标为 (2， 1)， 复数 z1
2、， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， (2， 1)关于虚轴对称的点的坐标为 (-2， 1)， 则对应的复数， z2=-2+i， 则 z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-1-4=-5， 答案 ： A 3.设向量 ， 满足 | + |= ， | - |= ，则 =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 解析： | + |= ， | - |= ， 分别平方得 +2 + =10， -2 + =6， 两式相减得 4 =10-6=4， 即 =1， 答案 ： A. 4.钝角三角形 ABC 的面积是 ， AB=1， BC= ，则 AC=( ) A. 5 B. C. 2 D. 1 解析：
3、钝角三角形 ABC 的面积是 ， AB=c=1， BC=a= ， S= acsinB= ，即 sinB= ， 当 B 为钝角时， cosB=- =- ， 利用余弦定理得： AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=1+2+2=5，即 AC= ， 当 B 为锐角时， cosB= = ， 利用余弦定理得： AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=1+2-2=1，即 AC=1， 此时 AB2+AC2=BC2，即 ABC 为直角三角形，不合题意，舍去，则 AC= . 答案 ： B. 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的
4、空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 解析： 设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则有题意可得 0.75p=0.6 ，解得 p=0.8， 答案 ： A. 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（ 表示 1cm） ，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为 ( ) A. B. C. D. 解析： 几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为 2，高为4， 组合体体积是： 322+2
5、 24=34. 底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为： 326=54. 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为： = . 答案 ： C. 7.执行如图所示的程序框图，若输入的 x， t 均为 2，则输出的 S=( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析： 若 x=t=2， 则第一次循环， 12 成立，则 M= ， S=2+3=5， k=2， 第二次循环， 22 成立，则 M= ， S=2+5=7， k=3，此时 32 不成立，输出 S=7， 答案 ： D. 8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点 (0， 0)处的切线方程为 y=2x，则 a=( ) A. 0 B.
6、 1 C. 2 D. 3 解析： ， y (0)=a-1=2， a=3. 答案 ： D. 9.设 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x-y 的最大值为 ( ) A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 解析： 作出不等式组对应的平面区域如图： （ 阴影部分 ABC） . 由 z=2x-y 得 y=2x-z， 平移直线 y=2x-z， 由图象可知当直线 y=2x-z 经过点 C 时，直线 y=2x-z 的截距最小，此时 z最大 . 由 ，解得 ，即 C(5， 2) 代入目标函数 z=2x-y，得 z=25 -2=8. 答案 ： B. 10.设 F 为抛物线 C： y2=3x 的焦点，过 F 且
7、倾斜角为 30 的直线交 C于 A， B两点， O 为坐标原点，则 OAB 的面积为 ( ) A. B. C. D. 解析： 由 y2=3x，得 2p=3， p= ，则 F( ). 过 A， B 的直线方程为 y= ，即 . 联立 ，得 . 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 ， . = =. 答案 ： D. 11.直三棱柱 ABC-A1B1C1中， BCA=90 ， M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点， BC=CA=CC1，则 BM与 AN 所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 解析： 直三棱柱 ABC-A1B1C1中， BCA=90 ， M， N 分别是
8、 A1B1， A1C1的中点，如图： BC 的中点为 O，连结 ON， ，则 MN0B 是平行四边形， BM 与 AN 所成角就是 ANO ， BC=CA=CC 1， 设 BC=CA=CC1=2， CO=1 ， AO= ， AN= ， MB= = = ， 在 ANO 中，由余弦定理可得： cosANO= = = . 答案 ： C. 12.设函数 f(x)= sin ，若存在 f(x)的极值点 x0满足 x02+f(x0)2 m2，则 m 的取值范围是 ( ) A. (- ， -6) (6， + ) B. (- ， -4) (4， + ) C. (- ， -2) (2， + ) D. (- ，
9、-1) (1， + ) 解析： 由题意可得， f(x0)= ，且 =k+ ， k z，即 x0= m. 再由 x02+f(x0)2 m2，可得当 m2最小时， |x0|最小，而 |x0|最小为 |m|， m 2 m2+3， m 2 4. 求得 m 2，或 m -2， 答案 ： C. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 .(第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求作答 ) 13. (x+a)10的展开式中， x7的系数为 15，则 a= . 解析： (x+a)10的展开式的通项公式为 Tr+1= x10-rar， 令
10、 10-r=7，求得 r=3，可得 x7的系数为 a3 =120a3=15， a= ， 答案 ： . 14.函数 f(x)=sin(x+2 )-2sincos (x+ )的最大值为 . 解析： 函数 f(x)=sin(x+2 )-2sincos (x+ )=sin(x+ )+ -2sincos (x+ ) =sin(x+ )cos+cos (x+ )sin -2sincos (x+ )=sin(x+ )cos -cos(x+ )sin =sin(x+ )- =sinx， 故函数 f(x)的最大值为 1， 答案 ： 1. 15.已知偶函数 f(x)在 0， + )单调递减， f(2)=0，若 f
11、(x-1) 0，则 x 的取值范围是 . 解析： 偶函数 f(x)在 0， + )单调递减， f(2)=0， 不等式 f(x-1) 0 等价为 f(x-1) f(2)，即 f(|x-1|) f(2)， |x -1| 2，解得 -1 x 3， 答案 ： (-1， 3) 16.设点 M(x0， 1)，若在圆 O： x2+y2=1 上存在点 N，使得 OMN=45 ，则 x0的取值范围是 . 解析： 由题意画出图形如图： 点 M(x0， 1)，若在圆 O： x2+y2=1 上存在点 N，使得 OMN=45 ， 圆心到 MN 的距离为 1，要使 MN=1，才能使得 OMN=45 ， 图中 M 显然不满
12、足题意，当 MN 垂直 x 轴时，满足题意， x 0的取值范围是 -1， 1. 答案 ： -1， 1. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤 . 17.(12 分 )已知数列 an满足 a1=1， an+1=3an+1. ( )证明 an+ 是等比数列，并求 an的通项公式； ( )证明： + + . 解析： () 根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即 =常数，又首项不为0，所以为等比数列； 再根据等比数列的通项化式，求出 an的通项公式； () 将 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式 . 答案 ： () = =3， 0 ， 数列 an
13、+ 是以首项为 ，公比为 3 的等比数列； a n+ = = ，即 ； () 由 () 知 ， 当 n2 时， = ， 当 n=1 时， 成立， 当 n2 时， + + 1+ + = = . 对 n N+时， + + . 18.(12 分 )如图，四棱柱 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA 平面 ABCD， E 为 PD 的中点 . ( )证明： PB 平面 AEC； ( )设二面角 D-AE-C 为 60 ， AP=1， AD= ，求三棱锥 E-ACD 的体积 . 解析： ( )连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO，只要证明 EOPB ，即可证明 PB 平面 AEC；
14、( )延长 AF 至 M 连结 DM，使得 AMDM ，说明 CMD=60 ，是二面角的平面角，求出 CD，即可三棱锥 E-ACD 的体积 . 答案 ： ( )连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO， O 为 BD 中点， E 为 PD 中点， EOPB ， (2 分 ) EO平面 AEC， PB平面 AEC，所以 PB 平面 AEC； (6 分 ) ( )延长 AF 至 M 连结 DM，使得 AMDM ， 四棱柱 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA 平面 ABCD， CD 平面 AMD，二面角 D-AE-C 为 60 ， CMD=60 ， AP=1 ， AD= ， ADP
15、=30 ， PD=2 ， E 为 PD 的中点 .AF=1， DM= ， CD= = . 三棱锥 E-ACD 的体积为： = = . 19.(12分 )某地区 2007年至 2013年农村居民家庭人均纯收入 y(单位：千元 )的数据如下表： ( )求 y 关于 t 的线性回归方程； ( )利用 ( )中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 . 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ，= - . 解析： ( )根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和
16、，与横标的平方和，代入公式求出 b 的值，再求出 a 的值，写出线性回归方程 . ( )根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的 t 的值，预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值 . 答案 ： ( )由题意， = (1+2+3+4+5+6+7)=4， = (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3， = =0.5， = - =4.3-0.54=2.3. y 关于 t 的线性回归方程为 =0.5t+2.3； ( )由 ( )知， b=0.5 0，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元 . 将
17、 2015 年的年份代号 t=9 代入 =0.5t+2.3，得： =0.59+2.3=6.8 ， 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元 . 20.(12 分 )设 F1， F2分别是 C： + =1(a b 0)的左，右焦点， M 是 C 上一点且 MF2与 x轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 |MN|=5|F1N|，求 a， b. 解析： (1)根据条件求出 M 的坐标，利用直线 MN 的斜率为 ，建立关于 a， c 的方程即可求C 的离心率； (
18、2)根据直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，以及 |MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出 N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论 . 答案 ： (1)M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直， M 的横坐标为 c，当 x=c 时， y= ，即 M(c， )， 若直线 MN 的斜率为 ，即 tanMF 1F2= ， 即 b2= =a2-c2，即 c2- -a2=0，则 ，解得 e= . ( )由题意，原点 O 是 F1F2的中点，则直线 MF1与 y 轴的交点 D(0， 2)是线段 MF1的中点， 故 =4，即 b2=4a， 由 |MN|=5|F1N|，解得 |DF1|=2|F1N|，
19、设 N(x1， y1)，由题意知 y1 0，则 ，即 代入椭圆方程得 ， 将 b2=4a 代入得 ，解得 a=7， b= . 21.(12 分 )已知函数 f(x)=ex-e-x-2x. ( )讨论 f(x)的单调性； ( )设 g(x)=f(2x)-4bf(x)，当 x 0 时， g(x) 0，求 b 的最大值； ( )已知 1.4142 1.4143，估计 ln2 的近似值 (精确到 0.001). 解析： 对第 ( )问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的； 对第 ( )问，先验证 g(0)=0，只需说明 g(x)在 0+ )上为增函数即可，从而问题转化为 “ 判断 g(x) 0 是否
20、成立 ” 的问题； 对第 ( )问，根据第 ( )问的结论，设法寻求 ln2，于是在 b=2 及 b 2 的情况下分别计算，最后可估计 ln2 的近似值 . 答案 ： ( )由 f(x)得 f(x)=ex+e-x-2 ， 即 f(x)0 ，当且仅当 ex=e-x即 x=0 时， f(x)=0， 函数 f(x)在 R 上为增函数 . ( )g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x， 则 g(x)=2e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2) =2(ex+e-x)2-2b(ex+e-x)+(4b-4) =2(ex+e-x-2)(ex+e-
21、x-2b+2). e x+e-x2 ， ex+e-x+24 ， 当 2b4 ，即 b2 时， g(x)0 ，当且仅当 x=0 时取等号， 从而 g(x)在 R 上为增函数，而 g(0)=0， x 0 时， g(x) 0，符合题意 . 当 b 2 时，若 x 满足 2 ex+e-x 2b-2 即 时， g(x) 0， 又由 g(0)=0 知，当 时， g(x) 0，不符合题意 . 综合 、 知， b2 ，得 b 的最大值为 2. ( )由 ( )知， . 当 b=2 时，由 ，得； 当 时，有 ， 由 ，得.所以 ln2 的近似值为 0.693. 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题
22、作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 . 【选修 4-1：几何证明选讲】 22.(10 分 )如图， P 是 O 外一点， PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与 O 相交于点 B， C，PC=2PA， D 为 PC 的中点， AD 的延长线交 O 于点 E，证明： ( )BE=EC； ( )AD DE=2PB2. 解析： ( )连接 OE， OA，证明 OEBC ，可得 E 是 的中点，从而 BE=EC； ( )利用切割线定理证明 PD=2PB， PB=BD，结合相交弦定理可得 AD DE=2PB2. 答案 ： ( )连接 OE， OA，则 OAE=OEA ， OAP
23、=90 ， PC=2PA ， D 为 PC 的中点， PA=PD ， PAD=PDA ， PDA=CDE ， OEA+CDE=OAE+PAD=90 ， OEBC ， E 是 的中点， BE=EC ； ( )PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与 O 相交于点 B， C， PA 2=PB PC， PC=2PA ， PA=2PB ， PD=2PB ， PB=BD ， BD DC=PB 2PB， AD DE=BD DC， AD DE=2PB2. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程 =2c
24、os ， 0， . ( )求 C 的参数方程； ( )设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线 l： y= x+2 垂直，根据 ( )中你得到的参数方程，确定 D 的坐标 . 解析： ( )半圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1，令 x-1=cos -1， 1，y=sin ，可得半圆 C 的参数方程 . ( )由题意可得直线 CD 和直线 l 平行 .设点 D 的坐标为 (1+cos ， sin )，根据直线 CD 和直线 l 的斜率相等求得 cot 的值，可得 的值，从而得到点 D 的坐标 . 答案 ： ( )半圆 C 的极坐标方程 =2cos ， 0，
25、，即 2=2cos ， 化为直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1， x 0， 2、 y 0， 1. 令 x-1=cos -1， 1， y=sin ， 0， . 故半圆 C 的参数方程为 ， 0， . ( )设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线 l： y= x+2 垂直， 直线 CD 和直线 l 平行，故直线 CD 和直线 l斜率相等 . 设点 D 的坐标为 (1+cos ， sin )， C (1， 0)， = ， 解得 tan= ，即 = ，故点 D 的坐标为 ( ， ). 24.设函数 f(x)=|x+ |+|x-a|(a 0). ( )证明： f(x)2 ； ( )若 f
26、(3) 5，求 a 的取值范围 . 解析： ( )由 a 0， f(x)=|x+ |+|x-a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 f(x)2成立 . ( )由 f(3)=|3+ |+|3-a| 5，分当 a 3 时和当 0 a3 时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求 . 答案 ： ( )a 0， f(x)=|x+ |+|x-a| (x+ )-(x-a)|=|a+ |=a+ 2 =2， 故不等式 f(x)2 成立 . ( )f (3)=|3+ |+|3-a| 5， 当 a 3 时，不等式即 a+ 5，即 a2-5a+1 0，解得 3 a . 当 0 a3 时，不等式即 6-a+ 5，即 a2-a-1 0，求得 3. 综上可得， a 的取值范围 ( ， ).
