1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5分，共计 70 分 ) 1.已知集合 A=-2， -1， 3， 4， B=-1， 2， 3，则 AB= . 解析 ： A= -2， -1， 3， 4， B=-1， 2， 3， AB= -1， 3， 答案 ： -1， 3 2.已知复数 z=(5-2i)2(i 为虚数单位 )，则 z 的实部为 . 解析 ： z=(5-2i)2=25-10i-4=21-10i，故 z 的实部为 21， 答案 ： 21 3.如图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是 . 解析 ： 由程序框图知：算法的功能是求满足 2
2、n 20 的最小的正整数 n 的值， 2 4=16 20， 25=32 20， 输出 n=5. 答案 ： 5. 4.从 1， 2， 3， 6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 . 解析 ： 从 1， 2， 3， 6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数的所有基本事件有 (1， 2)， (1， 3)，(1， 6)， (2， 3)， (2， 6)， (3， 6)共 6 个， 所取 2 个数的乘积为 6 的基本事件有 (1， 6)， (2， 3)共 2 个，故所求概率 P= . 答案 ： . 5.已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+ )(0 )，
3、它们的图象有一个横坐标为 的交点，则 的值是 . 解析 ： 函数 y=cosx 与 y=sin(2x+ )，它们的图象有一个横坐标为 的交点， = . 0 ， ， += ，解得 = . 答案 ： . 6.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长 (单位： cm)，所得数据均在区间 80， 130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有 24 株树木的底部周长小于 100cm. 解析 ： 由频率分布直方图知：底部周长小于 100cm 的频率为 (0.015+0.025)10=0.4 ， 底部周长小于 100cm 的频数为 600.4=24 (株 )
4、. 答案 ： 24. 7.在各项均为正数的等比数列 an中，若 a2=1， a8=a6+2a4，则 a6的值是 . 解析 ： 设等比数列 an的公比为 q 0， a1 0. a 8=a6+2a4， ，化为 q4-q2-2=0，解得 q2=2.a 6= =12 2=4. 答案 ： 4. 8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1， S2，体积分别为 V1， V2，若它们的侧面积相等，且= ，则 的值是 . 解析 ： 设两个圆柱的底面半径分别为 R， r；高分别为 H， h； = ， ，它们的侧面积相等， ， = = = . 答案 ： . 9.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x+2y-3=0 被
5、圆 (x-2)2+(y+1)2=4 截得的弦长为 . 解析 ： 圆 (x-2)2+(y+1)2=4 的圆心为 C(2， -1)，半径 r=2， 点 C 到直线直线 x+2y-3=0 的距离 d= = ， 根据垂径定理，得直线 x+2y-3=0 被圆 (x-2)2+(y+1)2=4 截得的弦长为 2 =2= 答案 ： . 10.已知函数 f(x)=x2+mx-1，若对于任意 x m， m+1，都有 f(x) 0 成立，则实数 m 的取值范围是 . 解析 ： 二次函数 f(x)=x2+mx-1 的图象开口向上，对称轴为 x=- ， 对于任意 x m， m+1，都有 f(x) 0 成立， ， 即 ，
6、解得 - m 0， 答案 ： (- ， 0). 11.在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y=ax2+ (a， b 为常数 )过点 P(2， -5)，且该曲线在点P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，则 a+b 的值是 . 解析 ： 直线 7x+2y+3=0 的斜率 k= ， 曲线 y=ax2+ (a， b 为常数 )过点 P(2， -5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0平行， y=2ax - ， ，解得： ，故 a+b=-3， 答案 ： -3 12.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=8， AD=5， =3 ， =2，则 的值是 . 解析 ： =3
7、， = + ， = - ， 又 AB=8 ， AD=5， =( + ) ( - )=| |2- - | |2=25- -12=2， 故 =22， 答案 ： 22. 13.已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 0， 3)时， f(x)=|x2-2x+ |，若函数y=f(x)-a 在区间 -3， 4上有 10 个零点 (互不相同 )，则实数 a 的取值范围是 . 解析 ： f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 0， 3)时， f(x)=|x2-2x+ |，若函数y=f(x)-a 在区间 -3， 4上有 10 个零点 (互不相同 )，在同一坐标系中画出函数 f(
8、x)与 y=a的图象如图： 由图象可知 . 答案 ： (0， ). 14.若 ABC 的内角满足 sinA+ sinB=2sinC，则 cosC 的最小值是 . 解析 ： 由整形定理得 a+ b=2c， cosC= = = = ， 当且仅当 时，取等号， 答案 ： . 二、解答题 (本大题共 6 小题，共计 90分 ) 15.(14 分 )已知 ( ， )， sin= . (1)求 sin( + )的值； (2)求 cos( -2 )的值 . 解析 ： (1)通过已知条件求出 cos ，然后利用两角和的正弦函数求 sin( + )的值； (2)求出 cos2 ，然后利用两角差的余弦函数求 co
9、s( -2 )的值 . 答案 ： ( ， )， sin= .cos= - = (1)sin( + )=sin cos+cos sin= =- ； sin ( + )的值为： - . (2) ( ， )， sin= .cos2=1 -2sin2= ， sin2=2sincos= - cos ( -2 )=cos cos2+sin sin2= =- . cos( -2 )的值为： - . 16.(14 分 )如图，在三棱锥 P-ABC 中， D， E， F 分别为棱 PC， AC， AB 的中点，已知 PAAC ，PA=6， BC=8， DF=5.求证： (1)直线 PA 平面 DEF； (2)平
10、面 BDE 平面 ABC. 解析 ： (1)由 D、 E 为 PC、 AC 的中点，得出 DEPA ，从而得出 PA 平面 DEF； (2)要证平面 BDE 平面 ABC，只需证 DE 平面 ABC，即证 DEEF ，且 DEAC 即可 . 答案 ： (1)D 、 E 为 PC、 AC 的中点， DEPA ， 又 PA 平面 DEF， DE 平面 DEF， PA 平面 DEF； (2)D 、 E 为 PC、 AC 的中点， DE= PA=3； 又 E 、 F 为 AC、 AB 的中点， EF= BC=4； DE 2+EF2=DF2， DEF=90 ， DEEF ； DEPA ， PAAC ，
11、DEAC ； ACEF=E ， DE 平面 ABC； DE 平面 BDE， 平面 BDE 平面 ABC. 17.(14 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中， F1， F2分别为椭圆 + =1(a b 0)的左、右焦点，顶点 B 的坐标为 (0， b)，连接 BF2并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C. (1)若点 C 的坐标为 ( ， )，且 BF2= ，求椭圆的方程； (2)若 F1CAB ，求椭圆离心率 e 的值 . 解析 ： (1)根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出 a， b 的值 . (2)求出 C 的坐标，利用 F1CAB 建立斜率
12、之间的关系，解方程即可可求出 e 的值 . 答案 ： (1)C 的坐标为 ( ， )， ，即 ， ， a 2=( )2=2，即 b2=1，则椭圆的方程为 +y2=1. (2)设 F1(-c， 0)， F2(c， 0)， B (0， b)， 直线 BF2： y=- x+b，代入椭圆方程 + =1(a得 ( )x2- =0， 解得 x=0，或 x= ， A ( ， b- )，且 A， C 关于 x 轴对称， C ( ， -b)， 则 = ， F 1CAB ， ( )=-1，由 b2=a2-c2得 ，即 e= . 18.(16 分 )如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形
13、保护区，规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m，经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m处，点 C 位于点 O 正东方向 170m 处 (OC 为河岸 )， tanBCO= . (1)求新桥 BC 的长； (2)当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 解析 ： (1)在四边形 AOCB 中，过 B 作 BEOC 于 E，过 A 作 AFBE 于 F，设出 AF，然后通过解直角三角形列式求解 BE，进一步 得到 CE，然后由勾股定理得答案； (2)设 BC 与 M
14、 切于 Q，延长 QM、 CO 交于 P，设 OM=xm，把 PC、 PQ 用含有 x 的代数式表示，再结合古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m 列式求得 x的范围，得到 x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大 . 答案 ： (1)如图， 过 B 作 BEOC 于 E，过 A 作 AFBE 于 F， ABC=90 ， BEC=90 ， ABF=BCE ， . 设 AF=4x(m)，则 BF=3x(m). AOE=AFE=OEF=90 ， OE=AF=4x (m)， EF=AO=60(m)， BE= (3x+60)m. ， CE= (m). (m). ，解得：
15、x=20.BE=120m ， CE=90m，则 BC=150m； (2)如图， 设 BC 与 M 切于 Q，延长 QM、 CO 交于 P， POM=PQC=90 ， PMO=BCO . 设 OM=xm，则 OP= m， PM= m.PC= m， PQ= m. 设 M 半径为 R， R=MQ= m= m. A 、 O 到 M 上任一点距离不少于 80m， 则 R-AM80 ， R-OM80 ， 136 - -(60-x)80 ， 136- -x80 .解得： 10x35 . 当且仅当 x=10 时 R 取到最大值 .OM=10m 时，保护区面积最大 . 19.(16 分 )已知函数 f(x)=e
16、x+e-x，其中 e 是自然对数的底数 . (1)证明： f(x)是 R 上的偶函数； (2)若关于 x 的不等式 mf(x)e -x+m-1 在 (0， + )上恒成立，求实数 m 的取值范围； (3)已知正数 a 满足：存在 x0 1， + )，使得 f(x0) a(-x03+3x0)成立，试比较 ea-1与 ae-1的大小，并证明你的结论 . 解析 ： (1)根据函数奇偶性的定义即可证明 f(x)是 R 上的偶函数； (2)利用参数分离法，将不等式 mf(x)e -x+m-1 在 (0， + )上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数 m 的取值范围； (3)构 u 造函数，利用函数的单调
17、性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论 . 答案 ： (1)f (x)=ex+e-x， f (-x)=e-x+ex=f(x)，即函数： f(x)是 R 上的偶函数； (2)若关于 x 的不等式 mf(x)e -x+m-1 在 (0， + )上恒成立， 即 m(ex+e-x-1)e -x-1， x 0， e x+e-x-1 0，即 m 在 (0， + )上恒成立， 设 t=ex， (t 1)，则 m 在 (1， + )上恒成立， =- =- ，当且仅当 t=2 时等号成立， m . (3)f (x)=ex-e-x，当 x 1 时， f (x) 0，此时函数单调递增， 令 h(x)=
18、a(- +3x0)，则 h (x)=-3ax0(x0-1)， a 0， x 1， h (x)=-3ax0(x0-1) 0，即函数 h(x)在 (1， + )上单调递减， 存在 x0 1， + )，使得 f(x0) a(-x03+3x0)成立， f (1)=e+ 2a，即 a (e+ )， ln =lnae-1-lnea-1=(e-1)lna-a+1， 设 m(a)=(e-1)lna-a+1， 则 m (a)= ， a (e+ )， 当 (e+ ) a e-1 时， m (a) 0， m(a)单调递增， 当 a e-1 时， m (a) 0， m(a)单调递减， 因此 m(a)至多有两个零点，而
19、 m(1)=m(e)=0， 当 a e 时， m(a) 0， 当 (e+ ) a e-1 时， m(a) 0，当 a=e， m(a)=0， m (a) 0，等价为 ae-1 ea-1， m(a) 0 等价为 ae-1 ea-1， m(a)=0等价为 ae-1=ea-1， 当 (e+ ) a e 时， ae-1 ea-1， 当 a=e 时， ae-1=ea-1， 当 a e 时， ae-1 ea-1. 20.(16 分 )设数列 an的前 n 项和为 Sn，若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得 Sn=am，则称 an是 “H 数列 ” . (1)若数列 an的前 n 项和为 Sn=2n(
20、n N*)，证明： an是 “H 数列 ” ； (2)设 an是等差数列，其首项 a1=1，公差 d 0，若 an是 “H 数列 ” ，求 d 的值； (3)证明：对任意的等差数列 an，总存在两个 “H 数列 ”b n和 cn，使得 an=bn+cn(n N*)成立 . 解析 ： (1)利用 “ 当 n2 时， an=Sn-Sn-1，当 n=1时， a1=S1” 即可得到 an，再利用 “H” 数列的意义即可得出 . (2)利用等差数列的前 n 项和即可得出 Sn，对 n N*， m N*使 Sn=am，取 n=2 和根据 d 0即可得出； (3)设 an的公差为 d，构造数列： bn=a1
21、-(n-1)a1=(2-n)a1， cn=(n-1)(a1+d)，可证明 bn和 cn是等差数列 .再利用等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、 “H” 的意义即可得出 . 答案 ： (1)当 n2 时， an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1， 当 n=1 时， a1=S1=2. 当 n=1 时， S1=a1. 当 n2 时， Sn=an+1. 数列 an是 “H” 数列 . (2)Sn= = ， 对 n N*， m N*使 Sn=am，即 ， 取 n=2 时，得 1+d=(m-1)d，解得 ， d 0， m 2，又 m N*， m=1 ， d= -1. (3)设 an的公差为 d
22、，令 bn=a1-(n-1)a1=(2-n)a1， 对 n N*， bn+1-bn=-a1， cn=(n-1)(a1+d)， 对 n N*， cn+1-cn=a1+d， 则 bn+cn=a1+(n-1)d=an，且数列 bn和 cn是等差数列 . 数列 bn的前 n 项和 Tn= ， 令 Tn=(2-m)a1，则 . 当 n=1 时， m=1；当 n=2 时， m=1. 当 n3 时，由于 n 与 n-3 的奇偶性不同，即 n(n-3)为非负偶数， m N*. 因此对 n N*，都可找到 m N*，使 Tn=bm成立，即 bn为 H数列 . 数列 cn的前 n 项和 Rn= ， 令 cm=(m
23、-1)(a1+d)=Rn，则 m= . 对 n N*， n(n-3)为非负偶数， m N*. 因此对 n N*，都可找到 m N*，使 Rn=cm成立，即 cn为 H数列 .因此命题得证 . 三、附加题 （ 本大题包括选做题和必做题两部分 ） (一 )选择题 （ 本题包括 21、 22、 23、 24 四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分 ） 【选修 4-1：几何证明选讲】 21.(10 分 )如图， AB 是圆 O 的直径， C， D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点，证明： OCB=D . 解析 ： 利用 OC=OB，可得 OCB=B ，利用同弧所对的圆周角相
24、等，即可得出结论 . 答案 ： OC=OB ， OCB=B ， B=D ， OCB=D . 【选修 4-2：矩阵与变换】 22.(10 分 )已知矩阵 A= ， B= ，向量 = ， x， y 为实数，若 A =B ，求 x， y 的值 . 解析 ： 利用矩阵的乘法，结合 A =B ，可得方程组，即可求 x， y 的值 . 答案 ： 矩阵 A= ， B= ，向量 = ， A =B ， ， x= - ， y=4. 【选修 4-3：极坐标及参数方程】 23.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 )，直线 l与抛物线 y2=4x 相交于 A， B 两点，求线段 AB
25、 的长 . 解析 ： 直线 l 的参数方程化为普通方程，与抛物线 y2=4x 联立，求出 A， B 的坐标，即可求线段 AB 的长 . 答案 ：直线 l 的参数方程为 ，化为普通方程为 x+y=3， 与抛物线 y2=4x 联立，可得 x2-10x+9=0， 交点 A(1， 2)， B(9， -6)， |AB|= =8 . 【选修 4-4：不等式选讲】 24.已知 x 0， y 0，证明 (1+x+y2)(1+x2+y)9xy . 解析 ： 由均值不等式可得 1+x+y23 ， 1+x2+y ，两式相乘可得结论 . 答案 ：由均值不等式可得 1+x+y23 ， 1+x2+y 分别当且仅当 x=y
26、2=1， x2=y=1 时等号成立， 两式相乘可得 (1+x+y2)(1+x2+y)9xy . (二 )必做题 （ 本部分包括 25、 26 两题，每题 10 分，共计 20 分 ） 25.(10 分 )盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球， 3 个黄球和 2个绿球，这些球除颜色外完全相同 . (1)从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P； (2)从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1， x2， x3，随机变量 X 表示 x1， x2， x3中的最大数，求 X的概率分布和数学期望 E(X). 解析 ： (1)先求出取 2 个球的所有
27、可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可； (2)先判断 X 的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可 . 答案： (1)一次取 2 个球共有 =36 种可能， 2 个球颜色相同共有 =10 种可能情况 取出的 2 个球颜色相同的概率 P= . (2)X 的所有可能值为 4， 3， 2，则 P(X=4)= ， P(X=3)= ， 于是 P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)= ， X 的概率分布列为 故 X 数学期望 E(X)= . 26.(10 分 )已知函数 f0(x)= (x 0)，设 fn(x)为 fn-1(x)的导数， n
28、N*. (1)求 2f1( )+ f2( )的值； (2)证明：对任意 n N*，等式 |nfn-1( )+ fn( )|= 都成立 . 解析 ： (1)由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0(x)=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得： 2f1(x)+xf2(x)=-sinx，把 x= 代入式子求值； (2)由 (1)得， f0(x)+xf1(x)=cosx 和 2f1(x)+xf2(x)=-sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、
29、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把 x= 代入所给的式子求解验证 . 答案 ： (1)f 0(x)= ， xf 0(x)=sinx，则两边求导， xf0(x)= (sinx) ， f n(x)为 fn-1(x)的导数， n N*， f 0(x)+xf1(x)=cosx， 两边再同时求导得， 2f1(x)+xf2(x)=-sinx， 将 x= 代入上式得， 2f1( )+ f2( )=-1， (2)由 (1)得， f0(x)+xf1(x)=cosx=sin(x+ )， 恒成立两边再同时求导得， 2f1(x)+xf2(x)=-sinx=sin(x+ )， 再对上式两边同时求导得， 3f2
30、(x)+xf3(x)=-cosx=sin(x+ )， 同理可得，两边再同时求导得， 4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2 )， 猜想得， nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+ )对任意 n N*恒成立， 下面用数学归纳法进行证明等式成立： 当 n=1 时， 成立，则上式成立； 假设 n=k(k 1 且 k N*)时等式成立，即 ， kf k-1(x)+xfk(x)=kf k-1 (x)+fk(x)+xfk (x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x) 又 = = = ， 那么 n=k(k 1 且 k N*)时 .等式也成立， 由 得， nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+ )对任意 n N*恒成立， 令 x= 代入上式得， nfn-1( )+ fn( )=sin( + )=cos = ， 所以，对任意 n N*，等式 |nfn-1( )+ fn( )|= 都成立 .
