1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学文 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 5分，满分 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ) 1.(5 分 )设集合 S=x|x2 ， T=x|x5 ，则 ST= ( ) A. (- ， 5 B. 2， + ) C. (2， 5) D. 2， 5 解析 ： 集合 S=x|x2 ， T=x|x5 ， ST=x|2x5 ， 答案： D. 2.(5 分 )设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC， BD，则 “ 四边形 ABCD 为菱形 ” 是 “ACBD” 的( ) A. 充分不不要条件 B. 必要不充分条件
2、 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： 四边形 ABCD 的两条对角线为 AC， BD，则 “ 四边形 ABCD 为菱形 ” 那么菱形的对角线垂直，即 “ 四边形 ABCD 为菱形 ” “ACBD” ， 但是 “ACBD” 推不出 “ 四边形 ABCD 为菱形 ” ，例如对角线垂直的等腰梯形，或筝形四边形； 四边形 ABCD 的两条对角线为 AC， BD，则 “ 四边形 ABCD 为菱形 ” 是 “ACBD” 的充分不不要条件 . 答案： A. 3.(5 分 )某几何体的三视图 (单位： cm)如图所示，则该几何体的体积是 ( ) A. 72cm3 B. 90cm3 C.
3、108cm3 D. 138cm3 解析 ： 由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是： 6，4， 3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是 4， 3；高是 3； 其几何体的体积为： V=3 =90(cm3). 答案： B. 4.(5 分 )为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象，可以将函数 y= cos3x 的图象 ( ) A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位 解析 ： 函数 y=sin3x+cos3x= ，故只需将函数 y= cos3x=的图象向右平移 个单位，得到 y= =的图象 . 答案： A
4、. 5.(5 分 )已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是 ( ) A. -2 B. -4 C. -6 D. -8 解析 ： 圆 x2+y2+2x-2y+a=0 即 (x+1)2+(y-1)2=2-a， 故弦心距 d= = .再由弦长公式可得 2-a=2+4， a= -4， 答案： B. 6.(5 分 )设 m、 n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则 ( ) A. 若 mn ， n ，则 m B. 若 m ， ，则 m C. 若 m ， n ， n ，则 m D. 若 mn ， n ， ，则 m 解析 ： A.若 mn
5、 ， n ，则 m 或 m 或 m ，故 A错误 . B.若 m ， ，则 m 或 m 或 m ，故 B错误 . C.若 m ， n ， n ，则 m ，正确 . D.若 mn ， n ， ，则 m 或 m 或 m ，故 D错误 . 答案： C 7.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c，其 0 f(-1)=f(-2)=f(-3)3 ，则 ( ) A. c3 B. 3 c6 C. 6 c9 D. c 9 解析 ： 由 f(-1)=f(-2)=f(-3)得 ，解得 ， f(x)=x3+6x2+11x+c， 由 0 f(-1)3 ，得 0 -1+6-11+3 ，即 6 c9 ， 答案 ： C.
6、 8.在同一直角坐标系中，函数 f(x)=xa(x0 )， g(x)=logax 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 当 0a 1 时，函数 f(x)=xa(x0 )， g(x)=logax 的图象为： 此时答案 D 满足要求， 当 a 1 时，函数 f(x)=xa(x0 )， g(x)=logax 的图象为： 无满足要求的答案， 答案 ： D 9.(5 分 )设 为两个非零向量 ， 的夹角，已知对任意实数 t， | +t |的最小值为1.( ) A. 若 确定，则 | |唯一确定 B. 若 确定，则 | |唯一确定 C. 若 | |确定，则 唯一确定 D. 若 | |确定
7、，则 唯一确定 解析 ： 由题意可得 ( +t )2= +2 t+ 令 g(t)= +2 t+ 可得 =4 -4 =4 cos -4 0 由二次函数的性质可知 g(t) 0 恒成立 当 t=- =- cos 时， g(t)取最小值 1. 即 g(- cos )=- + = sin2=1 故当 唯一确定时， | |唯一确定， 答案： B 10.(5 分 )如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练，已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小 (仰角 为直线 AP与平面
8、 ABC所成的角 ).若 AB=15m，AC=25m， BCM=30 ，则 tan 的最大角是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 在 RtABC 中， AB=15m， AC=25m，根据勾股定理得： BC= =20m， 过 P 作 PPBC ，交 BC 于点 P ，连接 AP ， tan= ， 设 BP=m ，则 CP=20 -m， BCM=30 ， tan= = ， 当 m=0 时，取得最大值 = ， 则 tan 的最大值为 = . 答案： C. 二、填空题 (本大题共 7 小题，每小题 4分，满分 28 分 ) 11.(4 分 )已知 i 是虚数单位，计算 = . 解析 ： = =
9、 =- - i， 答案 ： - - i. 12.(4 分 )若实数 x， y 满足 ，则 x+y 的取值范围是 . 解析 ： 作出不等式组对应的平面区域如图： (阴影部分 ABC). 设 z=x+y 得 y=-x+z，平移直线 y=-x+z， 由图象可知当直线 y=-x+z 经过点 A(1， 0)时， 直线 y=-x+z 的截距最小，此时 z 最小，为 z=1+0=1， 当直线 y=-x+z 经过点 B)时， 直线 y=-x+z 的截距最大，此时 z 最大， 由 ，解得 ，即 B(2， 1)代入目标函数 z=x+y 得 z=1+2=3. 故 1z3 . 答案 ： 1， 3 13.(4 分 )在
10、某程序框图如图所示，当输入 50 时，则该程序运算后输出的结果是 . 解析 ： 由程序框图知：第一次循环 S=1， i=2； 第二次循环 S=21+2=4 ， i=3； 第三次循环 S=24+3=11 ， i=4； 第四次循环 S=211+4=26 ， i=5； 第五次循环 S=226+5=57 ， i=6， 满足条件 S 50，跳出循环体，输出 i=6. 答案 ： 6. 14.(4 分 )在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖 .甲、乙两人各抽取 1 张，两人都中奖的概率是 . 解析 ： 设一、二等奖各用 A， B 表示，另 1 张无奖用 C 表示，甲、乙两人各抽取 1张的基
11、本事件有 AB， AC， BA， BC， CA， CB 共 6 个，其中两人都中奖的有 AB， BA 共 2个， 答案 ： P= = . 15.(4 分 )设函数 f(x)= ，若 f(f(a)=2，则 a= . 解析 ： 设 t=f(a)，则 f(t)=2， 若 t 0，则 f(t)=-t2=2，此时不成立， 若 t0 ，由 f(t)=2 得， t2+2t+2=2， 即 t2+2t=0，解得 t=0 或 t=-2， 即 f(a)=0 或 f(a)=-2， 若 a 0，则 f(a)=-a2=0，此时不成立，或 f(a)=-a2=-2，即 a2=2，解得 a= . 若 a0 ，由 f(a)=0
12、得， a2+2a+2=0，此时无解， 由 f(a)=-2 得， a2+2a+4=0，此时无解， 综上： a= ， 答案 ： . 16.(4 分 )已知实数 a， b， c 满足 a+b+c=0， a2+b2+c2=1，则 a的最大值是 . 解析 ： a+b+c=0 ， a2+b2+c2=1， b+c= -a， b2+c2=1-a2， bc= (2bc)= (b+c)2-(b2+c2)=a2- b 、 c 是方程： x2+ax+a2- =0 的两个实数根， 0a 2-4(a2- )0 即 a2 - a 即 a 的最大值为 答案 ： . 17.(4 分 )设直线 x-3y+m=0(m0 )与双曲线
13、 (a 0， b 0)的两条渐近线分别交于点 A， B.若点 P(m， 0)满足 |PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是 . 解析 ： 先求出 A， B 的坐标，可得 AB 中点坐标为 ( ， )，利用点 P(m，0)满足 |PA|=|PB|，可得 =-3，从而可求双曲线的离心率 . 答案 ：双曲线 (a 0， b 0)的两条渐近线方程为 y= x，则 与直线 x-3y+m=0 联立，可得 A( ， )， B(- ， )， AB 中点坐标为 ( ， )， 点 P(m， 0)满足 |PA|=|PB|， =-3， a=2b ， = b， e= . 答案 ： . 三、解答题 (本大题共 5 小题，
14、满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18.(14 分 )在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 4sin2 +4sinAsinB=2+. ( )求角 C 的大小； ( )已知 b=4， ABC 的面积为 6，求边长 c 的值 . 解析 ： ( )ABC 中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得 cos(A+B)=- ，从而得到 cosC= ，由此可得 C 的值 . ( )根据 ABC 的面积为 6= ab sinC 求得 a 的值，再利用余弦定理求得 c=的值 . 答案 ： ( )ABC 中， 4sin 2 +4sinAs
15、inB=2+ ， 4+4sinAsinB=2+ ， -2cosAcosB+2sinAsinB= ，即 cos(A+B)=- ， cosC= ， C= . ( )已知 b=4， ABC 的面积为 6= ab sinC= a4 ， a=3 ， c= = = . 19.(14 分 )已知等差数列 an的公差 d 0，设 an的前 n 项和为 Sn， a1=1， S2S3=36. ( )求 d 及 Sn； ( )求 m， k(m， k N*)的值，使得 am+am+1+am+2+a m+k=65. 解析 ： ( )根据等差数列通项公式和前 n 项和公式，把条件转化为关于公差 d 的二次方程求解，注意
16、d 的范围对方程的根进行取舍； ( )由 ( )求出等差数列 an的通项公式，利用等差数列的前 n 项和公式，对am+am+1+am+2+a m+k=65 化简，列出关于 m、 k 的方程，再由 m， k N*进行分类讨论，求出符合条件的 m、 k 的值 . 答案 ： ( )由 a1=1， S2S3=36 得， (a1+a2)(a1+a2+a3)=36， 即 (2+d)(3+3d)=36，化为 d2+3d-10=0，解得 d=2 或 -5， 又公差 d 0，则 d=2，所以 Sn=n =n2(n N*). ( )由 ( )得， an=1+2(n-1)=2n-1， 由 am+am+1+am+2+
17、a m+k=65 得， ，即 (k+1)(2m+k-1)=65， 又 m， k N*，则 (k+1)(2m+k-1)=513 ，或 (k+1)(2m+k-1)=165 ， 下面分类求解： 当 k+1=5 时， 2m+k-1=13，解得 k=4， m=5； 当 k+1=13 时， 2m+k-1=5，解得 k=12， m=-3，故舍去； 当 k+1=1 时， 2m+k-1=65，解得 k=0，故舍去； 当 k+1=65 时， 2m+k-1=1，解得 k=64， m=-31，故舍去； 综上得， k=4， m=5. 20.(15 分 )如图，在四棱锥 A-BCDE 中，平面 ABC 平面 BCDE，
18、CDE=BED=90 ， AB=CD=2，DE=BE=1， AC= . ( )证明： AC 平面 BCDE； ( )求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值 . 解析 ： ( )如图所示，取 DC 的中点 F，连接 BF，可得 DF= DC=1=BE，于是四边形 BEDF 是矩形，在 RtBCF 中，利用勾股定理可得 BC= = .在 ACB 中，再利用勾股定理的逆定理可得 ACBC ，再利用面面垂直的性质定理即可得出结论 . ( )过点 E 作 EMCB 交 CB 的延长线于点 M，连接 AM.由平面 ABC 平面 BCDE，利用面面垂直的性质定理可得： EM 平面 ACB.因此 EA
19、M 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角 .再利用勾股定理和直角三角形的边角关系即可得出 . 答案 ： ( )如图所示，取 DC 的中点 F，连接 BF，则 DF= DC=1=BE， CDE=BED=90 ， BEDF ， 四边形 BEDF 是矩形， BFDC ， BF=ED=1， 在 RtBCF 中， BC= = . 在 ACB 中， AB=2 ， BC=AC= ， BC 2+AC2=AB2， ACBC ， 又平面 ABC 平面 BCDE， AC 平面 BCDE. ( )过点 E 作 EMCB 交 CB 的延长线于点 M，连接 AM. 又平面 ABC 平面 BCDE， EM 平面 ACB.
20、 EAM 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角 . 在 RtBEM 中， EB=1， EBM=45 .EM= =MB. 在 RtACM 中， = = . 在 RtAEM 中， = = . 21.(15 分 )已知函数 f(x)=x3+3|x-a|(a 0)，若 f(x)在 -1， 1上的最小值记为 g(a). ( )求 g(a)； ( )证明：当 x -1， 1时，恒有 f(x)g (a)+4. 解析 ： ( )分类讨论，利用导数确定函数的单调性，即可求 g(a)； ( )设 h(x)=f(x)-g(a)，分类讨论，求最值，可以证明 x -1， 1时，恒有 f(x)g (a)+4. 答案 ：
21、 ( )a 0， -1x1 ， 当 0 a 1 时， 若 x -1， a，则 f(x)=x3-3x+3a， f (x)=3x2-3 0，故此时函数在 (-1， a)上是减函数， 若 x (a， 1，则 f(x)=x3+3x-3a， f (x)=3x2+3 0，故此时函数在 (a， 1)上是增函数， g (a)=f(a)=a3. 当 a1 ， f(x)=x3+3|x-a|=x3-3x+3a， f (x)=3x2-3 0，故此时函数在 -1， 1上是减函数， 则 g(a)=f(1)=-2+3a.综上： g(a)= . ( )证明：设 h(x)=f(x)-g(a)， 当 0 a 1 时， g(a)=
22、a3， 若 x a， 1， h(x)=x3+3x-3a-a3， h (x)=3x2+3， h (x)在 a， 1上是增函数， h (x)在 a， 1上的最大值是 h(1)=4-3a-a3，且 0 a 1， h (1)4 ， f (x)g (a)+4. 若 x -1， a， h(x)=x3-3x+3a-a3， h (x)=3x2-3， h (x)在 -1， a上是减函数， h (x)在 -1， a上的最大值是 h(-1)=2+3a-a3， 令 t(a)=2+3a-a3，则 t (a)=3-3a2， t (a)在 (0， 1)上是增函数， t (a) t(1)=4 h (-1) 4， f (x)g
23、 (a)+4. a1 时， g(a)=-2+3a， h (x)=x3-3x+2， h (x)=3x2-3， h (x)在 -1， 1上是减函数， h (x)在 -1， 1上的最大值是 h(-1)=4， f (x)g (a)+4； 综上，当 x -1， 1时，恒有 f(x)g (a)+4. 点评： 利用导数可以解决最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解题的关键 . 22.(14 分 )已知 ABP 的三个顶点在抛物线 C： x2=4y 上， F 为抛物线 C的焦点，点 M为 AB的中点， =3 ， ( )若 |PF|=3，求点 M 的坐标； ( )求 ABP 面积的最大值 . 解析 ： ( )
24、根据抛物线的定义，利用条件 |PF|=3，求建立方程关系即可求点 M 的坐标； ( )设直线 AB 的方程为 y=kx+m，利用直线和抛物线联立结合弦长公式公式以及点到直线的距离公式，利用导数即可求出三角形面积的最值 . 答案 ： ( )由题意知焦点 F(0， 1)，准线方程为 y=-1， 设 P(x0， y0)，由抛物线的定义可知 |PF|=y0+1，解得 y0=2， x 0= ，即 P(2 ， 2)或 P(-2 ， 2)， 由 =3 ，得 M(- ， )或 M( ， ). ( )设直线 AB 的方程为 y=kx+m， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 得 x2-4kx-4m=
25、0， 于是 =16k 2+16m 0， x1+x2=4k， x1x2=-4m， 即 AB 的中点 M 的坐标为 (2k， 2k2+m) 由 =3 ，得 (-x0， 1-y0)=3(2k， 2k2+m-1)， 解得 ，由 ，得 ， 由 0， k 0 得 ， 又 |AB|=4 ， 点 F 到直线 AB 的距离 d= ， S ABP =4SABF =8|m-1| ， 设 f(m)=3m3-5m2+m+1， ( )， 则 f(m)=9m2-10m+1=0，解得 m1= ， m2=1， 于是 f(m)在 ( )是增函数，在 ( ， 1)上是减函数，在 (1， )上是增函数， 又 f( )= ， 当 m= 时， f(m)取得最大值 ，此时 k= ， ABP 面积的最大值为 .
