1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学文 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，集合 A=1， 3， 5， 6，则 CUA=( ) A. 1， 3， 5， 6 B. 2， 3， 7 C. 2， 4， 7 D. 2， 5， 7 解析： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，集合 A=1， 3， 5， 6， CUA=2， 4， 7. 答案 ： C. 2. i 为虚数单位， ( )2=( ) A. 1 B. -1 C. i D. -i
2、解析： ( )2= = =-1， 答案 ： B. 3.命题 “ x R， x2x” 的否定是 ( ) A. x R， x2x B. x R， x2=x C. x R， x2x D. x R， x2=x 解析： 根据全称命题的否定是特称命题， 命题的否定是： x0 R， =x0. 故选： D. 4.若变量 x， y 满足约束条件 ，则 2x+y 的最大值是 ( ) A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 解析： 满足约束条件 的可行域如下图中阴影部分所示： 目标函数 Z=2x+y， Z O=0， ZA=4， ZB=7， ZC=4，故 2x+y 的最大值是 7， 答案 ： C 5.随机掷两枚质地均
3、匀的骰子，它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1，点数之和大于5 的概率记为 p2，点数之和为偶数的概率记为 p3，则 ( ) A. p1 p2 p3 B. p2 p1 p3 C. p1 p3 p2 D. p3 p1 p2 解析： 列表得： 一共有 36 种等可能的结果， 两个骰子点数之和不超过 5 的有 6 种情况，点数之和大于 5 的有 26种情况，点数之和为偶数的有 18 种情况， 向上的点数之和不超过 5的概率记为 p1= ，点数之和大于 5的概率记为 p2= ，点数之和为偶数的概率记为 p3= ， p 1 p3 p2 答案 ： C. 6.根据如下样本数据： 得到回归方程为 =
4、bx+a，则 ( ) A. a 0， b 0 B. a 0， b 0 C. a 0， b 0 D. a 0， b 0 解析： 样本平均数 =5.5， =0.25， =-24.5， =17.5， b= - =-1.4， a=0.25 -(-1.4)5.5=7.95， 答案 ： A. 7.在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别为 (0， 0， 2)， (2， 2，0)， (1， 2， 1)， (2， 2， 2)，给出的编号为 ， ， ， 的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 解析： 在坐标系中，标出已知的四个点，根
5、据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为 ， 答案 ： D. 8.设 a， b 是关于 t 的方程 t2cos+tsin=0 的两个不等实根，则过 A(a， a2)， B(b， b2)两点的直线与双曲线 - =1 的公共点的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析： a ， b 是关于 t 的方程 t2cos+tsin=0 的两个不等实根， a+b= - ， ab=0， 过 A(a， a2)， B(b， b2)两点的直线为 y-a2= (x-a)，即 y=(b+a)x-ab， 即 y=- x， 双曲线 - =1 的一条渐近线方程为 y=- x， 过 A(a， a
6、2)， B(b， b2)两点的直线与双曲线 - =1 的公共点的个数为 0. 答案 ： A. 9.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)=x2-3x，则函数 g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为 ( ) A. 1， 3 B. -3， -1， 1， 3 C. 2- ， 1， 3 D. -2- ， 1， 3 解析： f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)=x2-3x， 令 x 0，则 -x 0， f (-x)=x2+3x=-f(x)f (x)=-x2-3x， g (x)=f(x)-x+3g (x)= 令 g(x)=0， 当 x0 时， x2-4x
7、+3=0，解得 x=1，或 x=3， 当 x 0 时， -x2-4x+3=0，解得 x=-2- ， 函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为 -2- ，1， 3 答案 ： D. 10.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求 “ 囷盖 ” 的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，那么，近似公式 V L2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为 ( ) A. B. C. D. 解析：
8、设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，则 L=(2r )2， = (2r )2h， = . 答案 ： B. 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5分，共 35分 . 11.甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行质量检测，若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件 . 解析： 样本容量为 80， 抽取的比例为 = ， 又样本中有 50 件产品由甲设备生产， 样本中 30 件产品由乙设备生产， 乙设备生产的产品总数为 3060=1800 . 答案 ： 1800. 12.若向量 =(1， -3)， | |=| |
9、， =0，则 | |= . 解析： 设 =(x， y)， 向量 =(1， -3)， | |=| |， =0， ，解得 或 . =(3， 1)， (-3， -1). = =(2， 4)或 (-4， 2). = . 答案 ： . 13.在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 A= ， a=1， b= ，则 B= . 解析： 在 ABC 中， A= ， a=1， b= ， 由正弦定理 = 得： sinB= = ， a b， A B， B= 或 . 答案 ： 或 14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 n 的值为 9，则输出的 S 的值为 . 解析： 由
10、程序框图知：算法的功能是求 S=21+22+2 k+1+2+k 的值， 输入 n 的值为 9， 跳出循环的 k 值为 10， 输出 S=21+22+2 9+1+2+90= + 9=2 10-2+45=1067. 答案 ： 1067. 15.如图所示，函数 y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成，若 x R， f(x) f(x-1)，则正实数 a 的取值范围为 . 解析： 由已知可得： a 0，且 f(4a)=a， f(-4a)=-a，若 x R， f(x) f(x-1)， 则 ，解得 a ，故正实数 a 的取值范围为： (0， )， 答案 ： (0， ) 16.某项研究表明：在考虑行车安全
11、的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆 /小时 )与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米 /秒 )、平均车长 l(单位：米 )的值有关，其公式为 F= . ( )如果不限定车型， l=6.05，则最大车流量为 辆 /小时； ( )如果限定车型， l=5，则最大车流量比 ( )中的最大车流量增加 辆 /小时 . 解析： ( )F= = ， v+ 2 =22，当 v=11 时取最小值， F= 1900 ， 故最大车流量为： 1900 辆 /小时； ( )F= = = ， v+ 2 =20， F2000 ， 2000-1900=100(辆 /小时 ) 故最
12、大车流量比 ( )中的最大车流量增加 100 辆 /小时 . 答案 ： 1900， 100 17.已知圆 O： x2+y2=1 和点 A(-2， 0)，若定点 B(b， 0)(b -2)和常数 满足：对圆 O上任意一点 M，都有 |MB|=|MA| ，则： ( )b= ； ( )= . 解析： ( )设 M(x， y)，则 |MB|=|MA| ， (x-b)2+y2= 2(x+2)2+y 2， 由题意，取 (1， 0)、 (-1， 0)分别代入可得 (1-b)2= 2(1+2)2， (-1-b)2= 2(-1+2)2， b= - ， = . ( )由 ( )知 = . 答案 ： - ， . 三
13、、解答题 18.(12 分 )某实验室一天的温度 (单位： )随时间 t(单位： h)的变化近似满足函数关系：f(t)=10- cos t-sin t， t 0， 24). ( )求实验室这一天上午 8 时的温度； ( )求实验室这一天的最大温差 . 解析： ( )直接根据 f(t)的解析式求得 f(8)的值 . ( )根据 f(t)=10-2sin( + t)， t 0， 24)，求得函数 f(t)取得最大值和最小值，从而得到这一天的最大温差 . 答案 ： ( )f (t)=10- cos t-sin t， t 0， 24). f (8)=10- cos -sin =10- (- )- =1
14、0， 故实验室这一天上午 8 时的温度为 10 . ( )f (t)=10- cos t-sin t=10-2sin( + t)， t 0， 24). + t ，故当 + t= ，即 t=14时，函数 f(t)取得最大值为 10+2=12， 当 + t= ，即 t=2 时，函数 f(t)取得最小值为 10-2=8， 故实验室这一天的最大温差为 12-8=4 . 19.(12 分 )已知等差数列 an满足： a1=2，且 a1， a2， a5成等比数列 . ( )求数列 an的通项公式； ( )记 Sn为数列 an的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn 60n+800？若存在，求 n 的
15、最小值；若不存在，说明理由 . 解析： ( )设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得 d，则数列的通项公式可得 . ( )利用 ( )中数列的通项公式，表示出 Sn根据 Sn 60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断 . 答案 ： ( )设数列 an的公差为 d，依题意， 2， 2+d， 2+4d 成比数列，故有 (2+d)2=2(2+4d)， 化简得 d2-4d=0，解得 d=0 或 4， 当 d=0 时， an=2， 当 d=4 时， an=2+(n-1)4=4n-2. ( )当 an=2 时， Sn=2n，显然 2n 60n+800， 此时不存在正整数 n，使得 Sn 60
16、n+800 成立， 当 an=4n-2 时， Sn= =2n2， 令 2n2 60n+800，即 n2-30n-400 0， 解得 n 40，或 n -10(舍去 )， 此时存在正整数 n，使得 Sn 60n+800 成立， n 的最小值为 41， 综上，当 an=2 时，不存在满足题意的正整数 n， 当 an=4n-2 时，存在满足题意的正整数 n，最小值为 41 20.(13 分 )如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E、 F、 P、 Q、 M、 N 分别是棱 AB、 AD、 DD1、 BB1、A1B1、 A1D1的中点，求证： ( )直线 BC1 平面 EFPQ； ( )直线
17、 AC1 平面 PQMN. 解析： ( )要证直线 BC1 平面 EFPQ，只需证 BC1FP ，且 BC1平面 EFPQ 即可，由 AD1BC 1，FPAD 1即可证出； ( )要证直线 AC1 平面 PQMN，只需证出 MNAC 1，且 PNAC 1即可 . 答案 ： ( )在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，连接 AD1， AD 1BC 1，且 F、 P 分别是 AD、 DD1的中点， FP ， AD 1BC1FP ， 又 FP 平面 EFPQ，且 BC1平面 EFPQ， 直线 BC1 平面 EFPQ； ( )如图，连接 AC、 BD，则 ACBD ， CC 1 平面 ABCD， B
18、D 平面 ABCD， CC 1BD ； 又 ACCC 1=C， BD 平面 ACC1， 又 AC1 平面 ACC1， BDAC 1； 又 M 、 N 分别是 A1B1、 A1D1的中点， MNBD ， MNAC 1； 同理可证 PNAC 1，又 PNMN=N ， 直线 AC1 平面 PQMN. 21.(14 分 ) 为圆周率， e=2.71828 为自然对数的底数 . ( )求函数 f(x)= 的单调区间； ( )求 e3， 3e， e ， e， 3 ， 3这 6 个数中的最大数与最小数 . 解析： ( )先根据分式求导法则，再解对数不等式即可； ( )可先将 6 个数分组，比较各组内数的大小
19、后，再比较组与组之间的数的大小，而数的大小比较，可以考虑函数 y=lnx， y=ex， y= x的单调性 . 答案 ： ( )函数 f(x)的定义域为 (0， + ).由 f(x)得 . 当 f(x) 0，即 0 x e 时， f(x)单调递增；当 f(x) 0，即 x e 时， f(x)单调递减， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 (0， e)，单调递减区间为 (e， + ). ( )e 3 ， eln3 eln ， lne ln3 ， 从而有 ln3e ln e， lne ln3 . 于是，根据函数 y=lnx， y=ex， y= x在定义域上单调递增， 可得 3e e 3， e3 e
20、3 ， 这 6 个数的最大数在 3与 3 之中，最小数在 3e与 e3之中 . 由 ( )知， f(x)= 在 e， + )上单调递减， 即 得 综上可知， 6 个数中的最大数是 3 ，最小数是 3e. 22.(14 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F(1， 0)的距离比它到 y轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为 C. ( )求轨迹 C 的方程； ( )设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2， 1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围 . 解析： ( )设出 M 点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到 M 的轨迹 C
21、 的方程； ( )设出直线 l 的方程为 y-1=k(x+2)，和 ( )中的轨迹方程联立化为关于 y 的一元二次方程，求出判别式，再在直线 y-1=k(x+2)中取 y=0 得到 .然后分判别式小于 0、等于 0、大于 0 结合 x0 0 求解使直线 l与轨迹 C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围 . 答案 ： ( )设 M(x， y)，依题意得： |MF|=|x|+1，即 ， 化简得， y2=2|x|+2x. 点 M 的轨迹 C 的方程为 ； ( )在点 M 的轨迹 C 中，记 C1： y2=4x(x0 )， C2： y=0(x 0). 依题意，可设直线 l 的
22、方程为 y-1=k(x+2). 由方程组 ，可得 ky2-4y+4(2k+1)=0. 当 k=0 时，此时 y=1，把 y=1 代入轨迹 C 的方程，得 . 故此时直线 l： y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 ( ). 当 k0 时，方程 ky2-4y+4(2k+1)=0 的判别式为 = -16(2k2+k-1). 设直线 l 与 x 轴的交点为 (x0， 0)，则由 y-1=k(x+2)，取 y=0得 . 若 ，解得 k -1 或 k . 即当 k 时，直线 l与 C1没有公共点，与 C2有一个公共点， 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点 . 若 或 ，解得 k=-1 或 k= 或 . 即当 k=-1 或 k= 时，直线 l 与 C1只有一个公共点，与 C2有一个公共点 . 当 时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2无公共点 . 故当 k=-1 或 k= 或 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点 . 若 ，解得 -1 k - 或 0 k . 即当 -1 k - 或 0 k 时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2有一个公共点 . 此时直线 l 与 C 恰有三个公共点 . 综上，当 k 0 时，直线 l 与 C 恰有一个公共点； 当 k -1， 时，直线 l 与 C 恰有两个公共点； 当 k 时，直线 l 与轨迹 C 恰有三个公共点 .
