1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. i 为虚数单位， ( )2=( ) A. -1 B. 1 C. -i D. i 解析： 由于 ，所以 ( )2=(-i)2=-1. 答案： A. 2.若二项式 (2x+ )7的展开式中 的系数是 84，则实数 a=( ) A. 2 B. C. 1 D. 解析： 二项式 (2x+ )7的展开式即 ( +2x)7的展开式中 x-3项的系数为 84， 所以 Tr+1= = ， 令 -7+2r=-3，解得 r=2，代入得：
2、 ，解得 a=1， 答案： C. 3.设 U 为全集， A， B 是集合，则 “ 存在集合 C 使得 A C， B UC” 是 “AB= ” 的 ( ) A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 由题意 A C，则 CUC CUA，当 B UC，可得 “AB= ” ；若 “AB= ” 能推出存在集合 C 使得 A C， B CUC， U 为全集， A， B 是集合，则 “ 存在集合 C 使得 A C， B UC” 是 “AB= ” 的充分必要的条件 . 答案： C. 4.根据如下样本数据，得到回归方程 =bx+a，则 ( ) A.
3、a 0， b 0 B. a 0， b 0 C. a 0， b 0 D. a 0， b 0 解析： 由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以 b 0，且回归方程经过 (3， 4)与 (4， 3.5)附近，所以 a 0. 答案： B. 5.在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别为 (0， 0， 2)， (2， 2，0)， (1， 2， 1)， (2， 2， 2)，给出的编号为 ， ， ， 的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 解析： 在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱
4、锥的正视图和俯视图分别为 ， 答案： D. 6.若函数 f(x)， g(x)满足 f(x)g(x)dx=0，则 f(x)， g(x)为区间 -1， 1上的一组正交函数，给出三组函数： f (x)=sin x， g(x)=cos x； f (x)=x+1， g(x)=x-1； f (x)=x， g(x)=x2， 其中为区间 -1， 1上的正交函数的组数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析： 对于 ： sin xcos xdx= ( sinx)dx= cosx =0， f(x) ， g(x)为区间 -1， 1上的一组正交函数； 对于 ： (x+1)(x-1)dx= (x2-1)
5、dx=( ) 0 ， f(x) ， g(x)不为区间 -1， 1上的一组正交函数； 对于 ： x3dx=( ) =0， f(x) ， g(x)为区间 -1， 1上的一组正交函数， 正交函数有 2 组， 答案： C. 7.由不等式组 确定的平面区域记为 1，不等式组 确定的平面区域记为 2，在 1中随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析： 平面区域 1，为三角形 AOB，面积为 ， 平面区域 2，为四边形 BDCO，其中 C(0， 1)， 由 ，解得 ，即 D( ， )，则三角形 ACD 的面积 S= = ， 则四边形 BDCO 的面积 S= ， 则在 1中
6、随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为 ， 答案： D. 8.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求 “ 囷盖 ” 的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，那么，近似公式 V L2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为 ( ) A. B. C. D. 解析： 设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，则 L=(2r) 2， = (2r) 2h， = . 答案： B. 9.已知 F1， F2是椭
7、圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点 .且 F 1PF2= ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( ) A. B. C. 3 D. 2 解析： 设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1， (a a1)，半焦距为 c， 由椭圆和双曲线的定义可知， |PF1|+|PF2|=2a， |PF1|-|PF2|=2a1， 则 |PF1|=a+a1|， |PF2|=a-a1， F 1PF2= ， 由余弦定理可得 4c2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos ，即 4c2=a2+3a12， 则 4- ，即 ， 利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和
8、的最大值为 . 答案： B 10.已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x0 时， f(x)= (|x-a2|+|x-2a2|-3a2)，若 x R，f(x-1)f (x)，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. - ， B. - ， C. - ， D. - ， 解析： 当 x0 时， f(x)= ， 由 f(x)=x-3a2， x 2a2，得 f(x) -a2； 当 a2 x 2a2时， f(x)=-a2； 由 f(x)=-x， 0xa 2，得 f(x) -a2. 当 x 0 时， . 函数 f(x)为奇函数， 当 x 0 时， . 对 x R，都有 f(x-1)f(x) ， 2a
9、2-(-4a2)1 ，解得： . 故实数 a 的取值范围是 . 答案： B. 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分，共 15分 . 11.设向量 =(3， 3)， =(1， -1)，若 ( + ) ( - )，则实数 = . 解析： 向量 =(3， 3)， =(1， -1)， 向量 | |=3 ， | |= ，向量 =3-3=0， 若 ( + )( - )，则 ( + )( - )= ， 即 18-2 2=0，则 2=9，解得 =3 ， 答案： 3 ， 12.直线 l1： y=x+a 和 l2： y=x+b 将单位圆 C： x2+y2=1 分成长度相等四段弧，则 a2+b2= . 解析
10、： 由题意可得，圆心 (0， 0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的 ， = =cos45= ， a 2+b2=2， 答案： 2. 13.设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字三位数，将组成 a 的 3个数字按从小到大排成的三位数记为 I(a)，按从大到小排成的三位数记为 D(a)(例如 a=815，则 I(a)=158，D(a)=851)，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a，输出的结果b= . 解析： 由程序框图知：例当 a=123，第一次循环 a=123， b=321-123=198； 第二次循环 a=198， b=981-189=792； 第三次循
11、环 a=792， b=972-279=693； 第四次循环 a=693， b=963-369=594； 第五次循环 a=594， b=954-459=495； 第六次循环 a=495， b=954-459=495， 满足条件 a=b，跳出循环体，输出 b=495. 答案： 495. 三、解答题 14.设 f(x)是定义在 (0， + )上的函数，且 f(x) 0，对任意 a 0， b 0，若经过点 (a， f(a)，(b， -f(b)的直线与 x 轴的交点为 (c， 0)，则称 c 为关于函数 f(x)的平均数，记为 Mf(a，b)，例如，当 f(x)=1(x 0)时，可得 Mf(a， b)=
12、c= ，即 Mf(a， b)为 a， b 的算术平均数 . (1)当 f(x)= (x 0)时， Mf(a， b)为 a， b 的几何平均数； (2)当 f(x)= (x 0)时， Mf(a， b)为 a， b 的调和平均数 ； (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可 ) 解析： (1)设 f(x)= ， (x 0)，在经过点 (a， )、 (b， - )的直线方程中，令 y=0，求得 x=c= ， 从而得出结论 . (2)设 f(x)=x， (x 0)，在经过点 (a， a)、 (b， -b)的直线方程中，令 y=0，求得 x=c= ，从而得出结论 . 答案 ： (1)设 f(x)= ，
13、 (x 0)，则经过点 (a， )、 (b， - )的直线方程为= ， 令 y=0，求得 x=c= ， 当 f(x)= ， (x 0)时， Mf(a， b)为 a， b 的几何平均数 ， (2)设 f(x)=x， (x 0)，则经过点 (a， a)、 (b， -b)的直线方程为 = ， 令 y=0，求得 x=c= ， 当 f(x)=x(x 0)时， Mf(a， b)为 a， b 的调和平均数 ， 15.如图， P 为 O 外一点，过 P 点作 O 的两条切线，切点分别为 A， B，过 PA的中点 Q作割线交 O 于 C， D 两点，若 QC=1， CD=3，则 PB= . 解析： 利用切割线定
14、理可得 QA2=QCQD，可求 QA，可得 PA，利用圆的切线长定理，可得 PB. 答案 ： QA 是 O 的切线， QA 2=QCQD， QC=1 ， CD=3， QA 2=4， QA=2 ， PA=4 ， PA ， PB 是 O 的切线， PB=PA=4. 16.已知曲线 C1的参数方程是 (t 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 =2 ，则 C1与 C2交点的直角坐标为 . 解析： 把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得 C1与 C2交点的直角坐标 . 答案 ：把曲线 C1的参数方程是 (t 为参数
15、)，消去参数化为直角坐标方程为 x2=3y2 (x0 ， y0). 曲线 C2的极坐标方程是 =2 ，化为直角坐标方程为 x2+y2=4. 解方程组 ，求得 ， C 1与 C2交点的直角坐标为 ( ， 1)， 17.(11 分 )某实验室一天的温度 (单位： )随时间 t(单位： h)的变化近似满足函数关系： f(t)=10- ， t 0， 24) ( )求实验室这一天的最大温差； ( )若要求实验室温度不高于 11 ，则在哪段时间实验室需要降温？ 解析： () 利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为 f(t)10-2sin( t+ )， t 0，24)，利用正弦函数的定义域和值域求得 f(x
16、)的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差 . () 由题意可得，当 f(t) 11 时，需要降温，由 f(t) 11，求得 sin( t+ ) - ，即 t+ ，解得 t 的范围，可得结论 . 答案 ： ()f(t)=10 - =10-2sin( t+ )， t 0， 24)， t+ ，故当 t- = 时，函数取得最大值为 10+2=12， 当 t+ = 时，函数取得最小值为 10-2=8， 故实验室这一天的最大温差为 12-8=4. () 由题意可得，当 f(t) 11 时，需要降温，由 () 可得 f(t)=10-2sin( t+ )， 由 10-2sin( t+ ) 11，求得 s
17、in( t+ ) - ，即 t+ ， 解得 10 t 18，即在 10 时到 18 时，需要降温 . 18.(12 分 )(已知等差数列 an满足： a1=2，且 a1， a2， a5成等比数列 . ( )求数列 an的通项公式； ( )记 Sn为数列 an的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn 60n+800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由 . 解析： () 设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得 d，则数列的通项公式可得 . () 利用 () 中数列的通项公式，表示出 Sn根据 Sn 60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断 . 答案 ： () 设数列
18、an的公差为 d，依题意， 2， 2+d， 2+4d 成比数列，故有 (2+d)2=2(2+4d)， 化简得 d2-4d=0，解得 d=0 或 4， 当 d=0 时， an=2， 当 d=4 时， an=2+(n-1)4=4n-2. () 当 an=2 时， Sn=2n，显然 2n 60n+800， 此时不存在正整数 n，使得 Sn 60n+800 成立， 当 an=4n-2 时， Sn= =2n2， 令 2n2 60n+800，即 n2-30n-400 0， 解得 n 40，或 n -10(舍去 )， 此时存在正整数 n，使得 Sn 60n+800 成立， n 的最小值为 41， 综上，当
19、an=2 时，不存在满足题意的正整数 n， 当 an=4n-2 时，存在满足题意的正整数 n，最小值为 41 19.(12 分 )如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E， F， M， N 分别是棱 AB， AD， A1B1，A1D1的中点，点 P， Q 分别在棱 DD1， BB1上移动，且 DP=BQ= (0 2) ( )当 =1 时，证明：直线 BC1 平面 EFPQ； ( )是否存在 ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 . 解析： () 建立坐标系，求出 =2 ，可得 BC1FP ，利用线面平行的判定定
20、理，可以证明直线 BC1 平面 EFPQ； () 求出平面 EFPQ 的一个法向量、平面 MNPQ 的一个法向量，利用面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论 . 答案 ： () 以 D 为原点，射线 DA， DC， DD1分别为 x， y， z 轴的正半轴，建立坐标系，则 B(2，2， 0)， C1(0， 2， 2)， E(2， 1， 0)， F(1， 0， 0)， P(0， 0， ) ， =(-2， 0， 2)， =(-1， 0， ) ， =(1， 1， 0) =1 时， =(-2， 0， 2)， =(-1， 0， 1)， =2 ， BC 1FP ， F
21、P 平面 EFPQ， BC1 平面 EFPQ， 直线 BC1 平面 EFPQ； () 设平面 EFPQ 的一个法向量为 =(x， y， z)，则 ， 取 =( ， - ， 1). 同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 =( -2， 2- ， 1)， 若存在 ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则 =( -2)-(2 -)+1=0 ， =1 . 存在 =1 ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角 . 20.(12分 )计划在某水库建一座至多安装 3台发电机的水电站，过去 50年的水文资料显示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和 .单
22、位：亿立方米 )都在 40以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立 . ( )求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率； ( )水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系： 若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损 800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 解析： () 先求出年 入流量 X 的概率，
23、根据二项分布，求出未来 4 年中，至少有 1 年的年入流量超过 120 的概率； () 分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到 . 答案 ： () 依题意， p1=P(40 X 80)= ， ， 由二项分布，未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 =() 记水电站的总利润为 Y(单位，万元 ) (1)安装 1 台发电机的情形， 由于水库年入流总量大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y=5000，E(Y)=50001=5000 ， (2)安装 2 台发电机的情形， 依题意，当 40 X 80 时，一台发电机运行，此时 Y=
24、5000-800=4200， 因此 P(Y=4200)=P(40 X 80)=p1= ， 当 X80 时，两台发电机运行，此时 Y=50002=10000 ，因此， P(Y=10000)=P(X80)=P 2+P3=0.8， 由此得 Y 的分布列如下 所以 E(Y)=42000.2+100000.8=8840. (2)安装 3 台发电机的情形， 依题意，当 40 X 80 时，一台发电机运行，此时 Y=5000-1600=3400， 因此 P(Y=3400)=P(40 X 80)=p1=0.2， 当 80X120 时，两台发电机运行，此时 Y=50002 -800=9200，因此，P(Y=92
25、00)=P(80X120)=p 2=0.7， 当 X 120 时，三台发电机运行，此时 Y=50003=15000 ，因此， P(Y=15000)=P(X 120)=p3=0.1，由此得 Y 的分布列如下 所以 E(Y)=34000.2+92000.7+150000.1=8620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台 . 21.(14 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F(1， 0)的距离比它到 y轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为 C. ( )求轨迹 C 的方程； ( )设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2， 1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好
26、有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围 . 解析： () 设出 M 点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到 M 的轨迹 C 的方程； () 设出直线 l 的方程为 y-1=k(x+2)，和 () 中的轨迹方程联立化为关于 y 的一元二次方程，求出判别式，再在直线 y-1=k(x+2)中取 y=0 得到 .然后分判别式小于 0、等于 0、大于 0 结合 x0 0 求解使直线 l与轨迹 C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围 . 答案 ： () 设 M(x， y)，依题意得： |MF|=|x|+1，即 ， 化简得， y2=2|x|+2x. 点 M
27、的轨迹 C 的方程为 ； () 在点 M 的轨迹 C 中，记 C1： y2=4x(x0) ， C2： y=0(x 0). 依题意，可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). 由方程组 ，可得 ky2-4y+4(2k+1)=0. 当 k=0 时，此时 y=1，把 y=1 代入轨迹 C 的方程，得 . 故此时直线 l： y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 ( ). 当 k0 时，方程 ky2-4y+4(2k+1)=0 的判别式为 = -16(2k2+k-1). 设直线 l 与 x 轴的交点为 (x0， 0)， 则由 y-1=k(x+2)，取 y=0 得 . 若 ，解得 k -1 或 k .
28、即当 k 时，直线 l与 C1没有公共点，与 C2有一个公共点， 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点 . 若 或 ，解得 k=-1 或 k= 或 . 即当 k=-1 或 k= 时，直线 l 与 C1只有一个公共点，与 C2有一个公共点 . 当 时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2无公共点 . 故当 k=-1 或 k= 或 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点 . 若 ，解得 -1 k - 或 0 k . 即当 -1 k - 或 0 k 时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2有一个公共点 . 此时直线 l 与 C 恰有三个公共点 . 综上，当 k 0 时，直线 l
29、与 C 恰有一个公共点； 当 k -1， 时，直线 l 与 C 恰有两个公共点； 当 k 时，直线 l 与轨迹 C 恰有三个公共点 . 点评： 本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方 22.(14 分 ) 为圆周率， e=2.71828 为自然对数的底数 . ( )求函数 f(x)= 的单调区间； ( )求 e3， 3e， e ， e， 3 ， 3这 6 个数中的最大数和最小数； ( )将 e3， 3e， e ， e， 3 ， 3这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论 . 解析： () 先求函数定义域，然后在定义域内解不等式 f(x) 0， f(x)
30、 0 即可得到单调增、减区间； () 由 e 3 ，得 eln3 eln ， lne ln3 ，即 ln3e ln e， lne ln3 .再根据函数 y=lnx， y=ex， y= x在定义域上单调递增，可得 3e e 3， e3 e 3 ，从而六个数的最大数在 3与 3 之中，最小数在 3e与 e3之中 .由 e 3 及 () 的结论，得 f() f(3) f(e)，即 ，由此进而得到结论； () 由 () 可知， 3e e 3 3 ， 3e e3，又由 () 知， ，得 e e ，故只需比较 e3与 e和 e 与 3的大小 .由 () 可得 0 x e 时， .，令 x= ，有 ln ，
31、从而 2-ln ，即得 ln . ，由 还可得 ln e lne3， 3ln ，由此易得结论； 答案 ： () 函数 f(x)的定义域为 (0， +) ， f(x)= ， f(x)= ， 当 f(x) 0，即 0 x e 时，函数 f(x)单调递增； 当 f(x) 0，即 x e 时，函数 f(x)单调递减 . 故函数 f(x)的单调递增区间为 (0， e)，单调递减区间为 (e， +). ()e 3 ， eln3 eln ， lne ln3 ，即 ln3e ln e， lne ln3 . 于是根据函数 y=lnx， y=ex， y= x在定义域上单调递增，可得 3e e 3， e3 e 3
32、， 故这六个数的最大数在 3与 3 之中，最小数在 3e与 e3之中 . 由 e 3 及 () 的结论，得 f() f(3) f(e)，即 ， 由 ，得 ln 3 ln3 ， 3 3； 由 ，得 ln3e lne3， 3 e e3. 综上， 6 个数中的最大数是 3 ，最小数是 3e. () 由 () 知， 3e e 3 3 ， 3e e3， 又由 () 知， ，得 e e ， 故只需比较 e3与 e和 e 与 3的大小 . 由 () 知，当 0 x e 时， f(x) f(e)= ，即 . 在上式中，令 x= ，又 ，则 ln ， 从而 2-ln ，即得 ln . 由 得， eln e(2- ) 2.7(2 - ) 2.7(2 -0.88)=3.024 3，即 eln 3，亦即 ln e lne3， e 3 e. 又由 得， 3ln 6- 6-e ，即 3ln ， e 3. 综上可得， 3e e3 e e 3 3 ，即 6 个数从小到大顺序为 3e， e3， e， e ， 3， 3 .
