1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学理 一、选择题 (共 10 小题，每小题 5 分，满分 50分 ) 1.满足 =i(i 为虚数单位 )的复数 z=( ) A. + i B. - i C. - + i D. - - i 解析： =i， z+i=zi ，即 z= = = - i， 答案 ： B. 2.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1， P2， P3，则 ( ) A. P1=P2 P3 B. P2=P3 P1 C. P1=P3 P2 D. P1=P2=P3 解析：
2、 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个数被抽中的概率都是相等的，即 P1=P2=P3， 答案 ： D 3.已知 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)+g(1)=( ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 解析： 由 f(x)-g(x)=x3+x2+1，将所有 x 替换成 -x，得 f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1， 根据 f(x)=f(-x)， g(-x)=-g(x)，得 f(x)+g(x)=-x3+x2+1，再令 x=1，计算得， f(1)+g(1)=1. 答案 ： C.
3、4. ( x-2y)5的展开式中 x2y3的系数是 ( ) A. -20 B. -5 C. 5 D. 20 解析： 由二项式定理可知： Tr+1= ， 要求解 ( x-2y)5的展开式中 x2y3的系数，所以 r=3， 所求系数为： =-20. 答案 ： A. 5.已知命题 p：若 x y，则 -x -y；命题 q：若 x y，则 x2 y2，在命题 p q； pq ；p ( q)； ( p)q 中，真命题是 ( ) A. B. C. D. 解析： 根据不等式的性质可知，若若 x y，则 -x -y 成立，即 p 为真命题， 当 x=1， y=-1 时，满足 x y，但 x2 y2不成立，即命
4、题 q为假命题， 则 p q 为假命题； pq 为真命题； p ( q)为真命题； ( p)q 为假命题， 答案 ： C. 6.执行如图所示的程序框图，如果输入的 t -2， 2，则输出的 S 属于 ( ) A. -6， -2 B. -5， -1 C. -4， 5 D. -3， 6 解析： 若 0t2 ，则不满足条件输出 S=t-3 -3， -1， 若 -2t 2，则满足条件，此时 t=2t2+1 (1， 9，此时不满足条件，输出 S=t-3 (-2， 6， 综上： S=t-3 -3， 6， 答案 ： D 7.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球
5、的半径等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r，则 8-r+6-r= ， r=2. 答案 ： B. 8.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ( ) A. B. C. D. -1 解析： 设原来的生产总值为 a，平均增长率为 x， 则 a(1+p)(1+q)=a(1+x)2，解得 1+x= ，即 x= -1， 答案 ： D. 9.已知函数 f(x)=sin(x- )，且 f(x)dx=0，则函数 f(x)的图象的一条对称轴是
6、 ( ) A. x= B. x= C. x= D. x= 解析： 函数 f(x)=sin(x-) ， f(x)dx=-cos(x-) =-cos( -) -cos(-) = cos - sin=cos(+ )=0， + =k+ ， k z，即 =k+ ， k z，故可取 = ， f(x)=sin(x- ). 令 x- =k+ ，求得 x=k+ ， k z，则函数 f(x)的图象的一条对称轴为 x= ， 答案 ： A. 10.已知函数 f(x)=x2+ex- (x 0)与 g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a的取值范围是 ( ) A. (- ， ) B. (-
7、， ) C. (- ， ) D. (- ， ) 解析： 由题意可得：存在 x0 (- ， 0)，满足 x02+ex0- =(-x0)2+ln(-x0+a)， 即 ex0- -ln(-x0+a)=0 有负根， 当 x 趋近于负无穷大时， ex0- -ln(-x0+a)也趋近于负无穷大， 且函数 f(x)=ex- -ln(-x+a)为增函数， f(0)= -lna 0， lna ln ， a ， a 的取值范围是 (- ， )， 答案 ： B 二、填空题 (共 3 小题，每小题 5 分，满分 10 分 )(一 )选做题 (请考生在第 11,12,13 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分
8、) 11.在平面直角坐标系中，倾斜角为 的直线 l 与曲线 C： ， ( 为参数 )交于 A， B 两点，且 |AB|=2，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 l的极坐标方程是 . 解析： 设倾斜角为 的直线 l 的方程为 y=x+b， 曲线 C： ( 为参数 )，即 (x-2)2+(y-1)2=1，表示以 (2， 1)为圆心、半径等于1 的圆 . 由于弦长 |AB|=2，正好等于直径，故圆心 (2， 1)在直线 l 上，故有 1=2+b，解得 b=-1， 故直线 l 的方程为 y=x-1，即 x-y-1=0. 再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得 cos -si
9、n -1=0，即 (cos -sin)=1 答案 ： (cos -sin)=1. 12.如图所示，已知 AB， BC 是 O 的两条弦， AOBC ， AB= ， BC=2 ，则 O 的半径等于 . 解析： 设垂足为 D， O 的半径等于 R，则 AB ， BC 是 O 的两条弦， AOBC ， AB= ， BC=2 ， AD=1 ， R 2=2+(R-1)2， R=1.5. 答案 ： 1.5 13.若关于 x 的不等式 |ax-2| 3 的解集为 x|- x ，则 a= . 解析： 显然， a=0 不满足条件 . 当 a 0 时，由关于 x 的不等式 |ax-2| 3 可得 -3 ax-2
10、3，解得 - x ， 再根据的解集为 x|- x ， ， a 无解 . 当 a 0 时，由关于 x 的不等式 |ax-2| 3 可得 -3 ax-2 3，解得 x - ， 再根据的解集为 x|- x ， ，解得 a=-3， 答案 ： -3. (二 )必做题 (14-16题 ) 14.若变量 x， y 满足约束条件 ，且 z=2x+y 的最小值为 -6，则 k= . 解析： 作出不等式对应的平面区域， (阴影部分 ) 由 z=2x+y，得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 A 时，直线 y=-2x+z 的截距最小，此时 z 最小 . 目标函数为
11、 2x+y=-6， 由 ，解得 ，即 A(-2， -2)， 点 A 也在直线 y=k 上， k= -2， 答案 ： -2. 15.如图所示，正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 a， b(a b)，原点 O为 AD 的中点，抛物线 y2=2px(p 0)经过 C， F 两点，则 = . 解析： 由题意可得 ， ， 将 C， F 两点的坐标分别代入抛物线方程 y2=2px 中，得 a 0， b 0， p 0，两式相比消去 p 得 ，化简整理得 a2+2ab-b2=0， 此式可看作是关于 a 的一元二次方程，由求根公式得 ， 取 ，从而 ， 答案 ： . 16.在平面指教坐标系中，
12、O 为原点， A(-1， 0)， B(0， )， C(3， 0)，动点 D 满足 | |=1，则 | + + |的最大值是 . 解析： 由题意可得，点 D 在以 C(3， 0)为圆心的单位圆上，设点 D 的坐标为 (3+cos ， sin) ， 则 | + + |= = . 4cos+2 sin 的最大值为 =2 ， | + + |的最大值是 = +1， 答案 ： +1. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 17.(12 分 )某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发相互独立 . ( )求至少有
13、一种新产品研发成功的概率； ( )若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望 . 解析： () 利用对立事件的概率公式，计算即可， () 求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可 . 答案 ： () 设至少有一种新产品研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对立事件，则事件 B 为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为 和 . 则 P(B)= ， 再根据对立事件的概率之间的公式可得 P(A)=1-P(B)= ， 故至少有一种新产品研发成功的概率为 .
14、() 由题可得设企业可获得利润为 X，则 X 的取值有 0， 120， 100， 220， 由独立试验的概率计算公式可得， ， ， ， ， 所以 X 的分布列如下： 则数学期望 E(X)= =140. 18.(12 分 )如图，在平面四边形 ABCD 中， AD=1， CD=2， AC= . ( )求 cosCAD 的值； ( )若 cosBAD= - ， sinCBA= ，求 BC 的长 . 解析： () 利用余弦定理，利用已知条件求得 cosCAD 的值 . () 根据 cosCAD ， cosBAD 的值分别，求得 sinBAD 和 sinCAD ，进而利用两角和公式求得 sinBAC
15、的值，最后利用正弦定理求得 BC. 答案 ： ()cosCAD= = = . ()cosBAD= - ， sinBAD= = ， cosCAD= ， sinCAD= = sinBAC=sin(BAD -CAD)=sinBADcosCAD -cosBADsinCAD= + = ， 由正弦定理知 = ， BC= sinBAC= =3 19.(12 分 )如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等， ACBD=O ， A1C1B 1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形 . ( )证明： O1O 底面 ABCD； ( )若 CBA=60 ，求二面角 C1-OB1-
16、D 的余弦值 . 解析： () 由已知中，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等， ACBD=O ， A1C1B 1D1=O1，四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形 .可得 O1OCC 1BB 1且 CC1AC ， BB1BD ，进而 OO1AC ，OO1BD ，再由线面垂直的判定定理得到 O1O 底面 ABCD； () 设四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为 2a，设 AB为 2，若 CBA=60 ， OA=OC=1， OB=OD=，以 O 为坐标原点，分别以 OB， OC， OO1为 x， y， z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面 BDD1B1和
17、平面 OB1C1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值 . 答案 ： () 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等， 四边形 ABCD 为菱形， 又 ACBD=O ，故 O 为 BD 的中点， 同理 O1也是 B1D1的中点， 又 四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形， O 1OCC 1BB 1且 CC1AC ， BB1BD ， OO 1AC ， OO1BD ， 又 ACBD=O ， AC， BD平面 ABCD， O 1O 底面 ABCD； () 设四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均相等，所以四边形 ABCD 是菱形， ACBD ， 又 O 1O
18、底面 ABCD， OB ， OC， OO1两两垂直， 如图，以 O 为坐标原点， OB， OC， OO1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立直角坐标系 O-xyz. 设 AB=2， CBA=60 ， OA=OC=1 ， OB=OD= ， 则 O(0， 0， 0)， B1( )， C1(0， 1， 2) 易知， =(0， 1， 0)是平面 BDD1B1的一个法向量， 设 =(x， y， z)是平面 OB1C1的一个法向量，则 ，即 取 z=- ，则 x=2， y=2 ，所以 =(2， 2 ， - ) 设二面角 C1-OB1-D 的大小为 ，易知 是锐角，于是： cos=|cos ， |
19、=| |= = ， 故二面角 C1-OB1-D 的余弦值为 . 20.(13 分 )已知数列 an满足 a1=1， |an+1-an|=pn， n N*. ( )若 an是递增数列，且 a1， 2a2， 3a3成等差数列，求 p 的值； ( )若 p= ，且 a2n-1是递增数列， a2n是递减数列，求数列 an的通项公式 . 解析： () 根据条件去掉式子的绝对值，分别令 n=1， 2 代入求出 a2和 a3，再由等差中项的性质列出关于 p 的方程求解，利用 “a n是递增数列 ” 对求出的 p 的值取舍； () 根据数列的单调性和式子 “|a n+1-an|=pn” 、不等式的可加性，求出
20、和 a2n+1-a2n= ，再对数列 an的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前 n 项和公式，求出数列 an的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来 . 答案 ： () 数列 an是递增数列， a n+1-an 0，则 |an+1-an|=pn化为： an+1-an=pn， 分别令 n=1， 2 可得， a2-a1=p， ，即 a2=1+p， ， a 1， 2a2， 3a3成等差数列， 4a 2=a1+3a3，即 4(1+p)=1+3(p2+p+1)， 化简得 3p2-p=0，解得 或 0， 当 p=0 时，数列 an为常数数列，不符合数列 an是递增数列， ； (2)由题
21、意可得， |an+1-an|= ， 则 |a2n-a2n-1|= ， |a2n+2-a2n+1|= ， 数列 a2n-1是递增数列，且 a2n是递减数列， a 2n+1-a2n-1 0，且 a2n+2-a2n 0， 则 -(a2n+2-a2n) 0，两不等式相加得 a2n+1-a2n-1-(a2n+2-a2n) 0，即 a2n-a2n-1 a2n+2-a2n+1， 又 |a 2n-a2n-1|= |a2n+2-a2n+1|= ， a 2n-a2n-1 0，即 ， 同理可得： a2n+3-a2n+2 a2n+1-a2n，即 |a2n+3-a2n+2| |a2n+1-a2n|，则 a2n+1-a2
22、n= 当数列 an的项数为偶数时，令 2n=2m(m N*) ， ， ， ， ， 这 2m-1 个等式相加可得，= = ， 则 ；当数列 an的项数为奇数时，令 2n=2m(m N*) ， ， ， ， ， 这 2m 个等式相加可得， - + = - = ，则 ，且当 m=0 时 a1=1 符合，故 ，综上得， . 21.(13 分 )如图， O 为坐标原点，椭圆 C1： + =1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2，离心率为 e1；双曲线 C2： - =1 的左、右焦点分别为 F3， F4，离心率为 e2，已知 e1e2= ，且 |F2F4|= -1. ( )求 C1、 C2的方程；
23、 ( )过 F1作 C1的不垂直于 y 轴的弦 AB， M 为 AB 的中点，当直线 OM 与 C2交于 P， Q 两点时，求四边形 APBQ 面积的最小值 . 解析： () 由斜率公式写出 e1， e2，把双曲线的焦点用含有 a， b 的代数式表示，结合已知条件列关于 a， b 的方程组求解 a， b 的值，则圆锥曲线方程可求； () 设出 AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于 y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到 AB 中点 M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出 AB 的长度，写出 PQ的方程，和双曲线联立后解出 P， Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出 P， Q 到 A
24、B 的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形 APBQ 的面积，再由关于 n 的函数的单调性 求得最值 . 答案 ： () 由题意可知， ，且 . e 1e2= ，且 |F2F4|= -1. ，且 .解得： . 椭圆 C1的方程为 ，双曲线 C2的方程为 ； () 由 () 可得 F2(-1， 0). 直线 AB 不垂直于 y 轴， 设 AB的方程为 x=ny-1， 联立 ，得 (n2+2)y2-2ny-1=0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)，则 . M 在直线 AB 上， . 由焦点弦公式可得： |AB|= . 直线 PQ 的方程为 ， 联立 ，得 .
25、 解得 ，代入 得 . 由 4-n2 0，得 -2 n 2. P ， Q 的坐标分别为 ， 则 P， Q 到 AB 的距离分别为： ，. P ， Q 在直线 A， B 的两端， . 则四边形 APBQ 的面积 . 当 n2=0，即 n=0 时，四边形 APBQ 面积取得最小值 4. 22.(13 分 )已知常数 a 0，函数 f(x)=ln(1+ax)- . ( )讨论 f(x)在区间 (0， + )上的单调性； ( )若 f(x)存在两个极值点 x1， x2，且 f(x1)+f(x2) 0，求 a的取值范围 . 解析： () 利用导数判断函数的单调性，注意对 a 分类讨论； () 利用导数判
26、断函数的极值，注意 a 的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决 . 答案 ： ()f(x)=ln(1+ax) - . f(x)= = ， (1+ax)(x+2) 2 0， 当 1-a0 时，即 a1 时， f(x)0 恒成立，则函数 f(x)在 (0， +)单调递增， 当 a1 时，由 f(x)=0 得 x= ，则函数 f(x)在 (0， )单调递减，在 ( ， +) 单调递增 . () 由 () 知，当 a1 时， f(x)0 ，此时 f(x)不存在极值点 . 因此要使 f(x)存在两个极值点 x1， x2，则必有 0 a 1，又 f(x)的极值点值可能是 x1=， x2=- ， 且由
27、f(x)的定义域可知 x - 且 x -2， - - 且 - -2，解得 a ，则 x1， x2分别为函数 f(x)的极小值点和极大值点， f(x 1)+f(x2)=ln1+ax1- +ln(1+ax2)- =ln1+a(x1+x2)+a2x1x2-=ln(2a-1)2- =ln(2a-1)2+ -2. 令 2a-1=x，由 0 a 1 且 a 得， 当 0 a 时， -1 x 0；当 a 1 时， 0 x 1. 令 g(x)=lnx2+ -2. (i)当 -1 x 0 时， g(x)=2ln(-x)+ -2， g(x)= - = 0， 故 g(x)在 (-1， 0)上单调递减， g(x) g(-1)=-4 0， 当 0 a 时， f(x1)+f(x2) 0； (ii)当 0 x 1.g(x)=2lnx+ -2， g(x)= - = 0， 故 g(x)在 (0， 1)上单调递减， g(x) g(1)=0， 当 a 1 时， f(x1)+f(x2) 0； 综上所述， a 的取值范围是 ( ， 1).
