1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学文 一 .选择题 :本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 1.若集合 P=x|2x 4， Q=x|x3 ，则 P Q 等于 ( ) A.x|3x 4 B. x|3 x 4 C. x|2x 3 D. x|2x3 解析 ： P=x|2x 4， Q=x|x3 ， P Q=x|3x 4. 答案： A. 2.复数 (3+2i)i 等于 ( ) A. -2-3i B. -2+3i C. 2-3i D. 2+3i 解析 ： (3+2i)i=3i+2i2=-2+3i. 答案： B. 3.以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方
2、形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 ( ) A. 2 B. C. 2 D. 1 解析 ： 边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为： 121=2 ， 答案： A. 4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 n 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ： 由程序框图知：第一次循环 n=1， 21 1； 第二次循环 n=2， 22=4.不满足条件 2n n2，跳出循环，输出 n=2. 答案： B. 5.命题 “ x 0， + )， x3+x0” 的否定是 ( ) A. x (- ， 0)， x3+x 0 B. x (-
3、 ， 0)， x3+x0 C. x0 0， + )， x03+x0 0 D. x0 0， + )， x03+x00 解析 ： 命题 “ x 0， + )， x3+x0” 是一个全称命题 . 其否定命题为： x0 0， + )， x03+x0 0 答案： C. 6.已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心，且与直线 x+y+1=0 垂直，则 l 的方程是 ( ) A. x+y-2=0 B. x-y+2=0 C. x+y-3=0 D. x-y+3=0 解析 ： 由题意可得所求直线 l 经过点 (0， 3)，斜率为 1， 故 l 的方程是 y-3=x-0，即 x-y+3=0， 答案： D.
4、 7.将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位，得到函数 y=f(x)的函数图象，则下列说法正确的是 ( ) A. y=f(x)是奇函数 B. y=f(x)的周期为 C. y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 D. y=f(x)的图象关于点 (- ， 0)对称 解析 ： 将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位，得 y=sin(x+ )=cosx. 即 f(x)=cosx.f (x)是周期为 2 的偶函数，选项 A， B 错误； cos =cos(- )=0， y=f (x)的图象关于点 (- ， 0)、 ( ， 0)成中心对称 . 答案： D. 8.若函数 y=logax(a 0，
5、且 a1 )的图象如图所示，则下列函数正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由对数函数的图象知，此函数图象过点 (3， 1)，故有 y=loga3=1，解得 a=3， 对于 A，由于 y=a-x是一个减函数故图象与函数不对应， A 错； 对于 B，由于幂函数 y=xa是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故 B 正确； 对于 C，由于 a=3，所以 y=(-x)a是一个减函数，图象与函数的性质不对应， C 错； 对于 D，由于 y=loga(-x)与 y=logax 的图象关于 y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D 错 . 答案： B
6、. 9.要制作一个容积为 4m3，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 ( ) A. 80 元 B. 120 元 C. 160 元 D. 240 元 解析 ： 设池底长和宽分别为 a， b，成本为 y，则 长方形容器的容器为 4m3，高为 1m， 底面面积 S=ab=4， y=20S+102(a+b)=20(a+b)+80， a+b2 =4， 当 a=b=2 时， y 取最小值 160，即该容器的最低总造价是 160 元， 答案： C. 10.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形
7、ABCD 所在平面内任意一点，则等于 ( ) A. B. 2 C. 3 D. 4 解析 ： O 为任意一点，不妨把 A 点看成 O 点，则 = ， M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点， =2 =4 答案： D. 11.已知圆 C： (x-a)2+(y-b)2=1，设平面区域 = ，若圆心 C ，且圆 C 与 x轴相切，则 a2+b2的最大值为 ( ) A. 5 B. 29 C. 37 D. 49 解析 ： 作出不等式组对应的平面区域如图： 圆心为 (a， b)，半径为 1 圆心 C ，且圆 C 与 x 轴相切， b=1 ，则 a2+b2=a2+1， 要使 a2+b2的取得最大值，则只需
8、 a 最大即可， 由图象可知当圆心 C 位于 B 点时， a 取值最大， 由 ，解得 ，即 B(6， 1)， 当 a=6， b=1 时， a2+b2=36+1=37，即最大值为37， 答案： C 12.在平面直角坐标系中，两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)间的 “L -距离 ” 定义为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1， F2的 “L -距离 ” 之和等于定值(大于 |F1F2|)的点的轨迹可以是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设 F1(-c， 0)， F2(c， 0)， 再设动点 M(x， y)，动点到定点 F1
9、， F2的 “L -距离 ” 之和等于 m(m 2c 0)， 由题意可得： |x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m，即 |x+c|+|x-c|+2|y|=m. 当 x -c， y0 时，方程化为 2x-2y+m=0； 当 x -c， y 0 时，方程化为 2x+2y+m=0； 当 -cx c， y0 时，方程化为 y= ； 当 -cx c， y 0 时，方程化为 y=c- ； 当 xc ， y0 时，方程化为 2x+2y-m=0； 当 xc ， y 0 时，方程化为 2x-2y-m=0. 结合题目中给出的四个选项可知，选项 A 中的图象符合要求 . 答案： A. 二、填空题 :本大题共 4
10、 小题，每小题 4分，共 16分 13.(4 分 )如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 . 解析 ： 正方形的面积 S=1，设阴影部分的面积为 S， 随机撒 1000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分， 几何槪型的概率公式进行估计得 ，即 S=0.18， 答案： 0.18 14.(4 分 )在 ABC 中， A=60 ， AC=2， BC= ，则 AB 等于 . 解析 ： 在 ABC 中， A=60 ， AC=b=2， BC=a= ， 由余弦定理得： a2=b2+c2-2bccosA，即 3=4+c2-2c，解得： c
11、=1，则 AB=c=1， 答案： 1 15.(4 分 )函数 f(x)= 的零点个数是 . 解析 ： 当 x0 时，由 f(x)=0 得 x2-2=0，解得 x= 或 x= (舍去 )， 当 x 0 时，由 f(x)=0 得 2x-6+lnx=0，即 lnx=6-2x， 作出函数 y=lnx 和 y=6-2x 在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有 1 个零点， 故函数 f(x)的零点个数为 2， 答案： 2 16.(4 分 )已知集合 a， b， c=0， 1， 2，且下列三个关系： a2 ； b=2； c0有且只有一个正确，则 100a+10b+c 等于 . 解析 ： 由 a， b，
12、 c=0， 1， 2得， a、 b、 c 的取值有以下情况： 当 a=0 时， b=1、 c=2 或 b=2、 c=1，此时不满足条件； 当 a=1 时， b=0、 c=2 或 b=2、 c=0，此时不满足条件； 当 a=2 时， b=1、 c=0，此时不满足条件； 当 a=2 时， b=0、 c=1，此时满足条件； 综上得， a=2、 b=0、 c=1，代入 100a+10b+c=201， 答案： 201. 三 .解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 . 17.(12 分 )在等比数列 an中， a2=3， a5=81. ( )求 an； ( )设 bn=log3an，求数列 bn的前
13、n 项和 Sn. 解析 ： ( )设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求； ( )把 ( )中求得的 an代入 bn=log3an，得到数列 bn的通项公式，由此得到数列 bn是以 0为首项，以 1 为公差的等差数列，由等差数列的前 n 项和公式得答案 . 答案 ： ( )设等比数列 an的公比为 q， 由 a2=3， a5=81，得 ，解得 . ； ( ) ， bn=log3an， .则数列 bn的首项为 b1=0， 由 bn-bn-1=n-(n-1)=1，可知数列 bn是以 1 为公差的等差数列 . . 18.(12 分 )已知函数 f(x)=2cosx(si
14、nx+cosx). ( )求 f( )的值； ( )求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间 . 解析 ： ( )利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f(x)= sin(2x+ )+1，从而求得f( )的值 . ( )根据函数 f(x)= sin(2x+ )+1，求得它的最小正周期 .令 2k - 2x+ 2k+， k Z，求得 x 的范围，可得函数的单调递增区间 . 答案 ： ( ) 函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)=sin2x+1+cos2x= sin(2x+ )+1， f ( )= sin( + )+1= sin +1= +1=2. ( ) 函数 f(x)= sin(2
15、x+ )+1，故它的最小正周期为 = . 令 2k - 2x+ 2k+ ， k Z，求得 k - xk+ ， 故函数的单调递增区间为 k - ， k+ ， k Z. 19.(12 分 )如图，三棱锥 A-BCD 中， AB 平面 BCD， CDBD . ( )求证： CD 平面 ABD； ( )若 AB=BD=CD=1， M 为 AD 中点，求三棱锥 A-MBC 的体积 . 解析 ： ( )证明 CD 平面 ABD，只需证明 ABCD ； ( )利用转换底面， VA-MBC=VC-ABM= SABM CD，即可求出三棱锥 A-MBC的体积 . 答案： ( )AB 平面 BCD， CD平面 BC
16、D， ABCD ， CDBD ， ABBD=B ， CD 平面 ABD； ( )AB 平面 BCD， BD平面 BCD， ABBD . AB=BD=1 ， S ABD = ， M 为 AD 中点， S ABM = SABD = ， CD 平面 ABD， V A-MBC=VC-ABM= SABM CD= . 20.(12 分 )根据世行 2013 年新标准，人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家；人均 GDP 为1035-4085 美元为中等偏下收入国家；人均 GDP 为 4085-12616 美元为中等偏上收入国家；人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家 .某城市有 5 个
17、行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表： ( )判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准； ( )现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率 . 解析 ： ( )利用所给数据，计算该城市人均 GDP，即可得出结 论； ( )利用古典概型概率公式，即可得出结论 . 答案 ： ( )设该城市人口总数为 a，则该城市人均 GDP 为=6400 该城市人均 GDP 达到中等偏上收入国家标准； ( )从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，共有 =10 种情况，抽到的 2 个行政区人均 GDP都达到中等偏
18、上收入国家标准，共有 =3 种情况， 抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率 . 21.(12 分 )已知曲线 上的点到点 F(0， 1)的距离比它到直线 y=-3 的距离小 2. ( )求曲线 的方程； ( )曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A.直线 y=3 分别与直线 l及 y 轴交于点 M， N，以 MN 为直径作圆 C，过点 A 作圆 C 的切线，切点为 B，试探究：当点 P 在曲线 上运动 (点P 与原点不重合 )时，线段 AB 的长度是否发生变化？证明你的结论 . 解析 ： ( )设 S(x， y)曲线 上的任意一点，利用抛物线的定义，判
19、断 S 满足配额我想的定义，即可求曲线 的方程； ( )通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出 A、 M 的坐标， N 的坐标，以 MN 为直径作圆 C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点 P 在曲线 上运动 (点 P 与原点不重合 )时，线段 AB 的长度不变 . 答案 ： ( )设 S(x， y)曲线 上的任意一点， 由题意可得：点 S 到 F(0， 1)的距离与它到直线 y=-1 的距离相等， 曲线 是以 F 为焦点直线 y=-1 为准线的抛物线， 曲线 的方程为： x2=4y. ( )当点 P 在曲线 上运动 (点 P 与原点不重合 )时，线段 AB的长度不变， 证明如下：
20、由 ( )可知抛物线的方程为 y= ， 设 P(x0， y0)(x00 )则 y0= ，由 y 得切线 l的斜率 k= = 切线 l 的方程为： ，即 . 由 得 ， 由 得 ， 又 N(0， 3)，所以圆心 C( )，半径 r= 点 P 在曲线 上运动 (点 P 与原点不重合 )时，线段 AB的长度不变 . 22.(14 分 )已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数 )的图象与 y 轴交于点 A，曲线 y=f(x)在点 A处的切线斜率为 -1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值； (2)证明：当 x 0 时， x2 ex； (3)证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当
21、x (x0， + )时，恒有 x2 cex. 解析 ： (1)利用导数的几何意义求得 a，再利用导数法求得函数的极值； (2)构造函数 g(x)=ex-x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论； (3)利用 (2)的结论，令 x0= ，则 ex x2 x，即 x2 cex.即得结论成立 . 答案 ： (1)由 f(x)=ex-ax 得 f (x)=ex-a. 又 f (0)=1-a=-1， a=2 ， f (x)=ex-2x， f (x)=ex-2. 由 f (x)=0 得 x=ln2， 当 x ln2 时， f (x) 0， f(x)单调递减； 当 x ln2 时， f (x) 0， f(x)单调递增； 当 x=ln2 时， f(x)有极小值为 f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4.f(x)无极大值 . (2)令 g(x)=ex-x2，则 g (x)=ex-2x， 由 (1)得， g (x)=f(x)f (ln2)=eln2-2ln2=2-ln4 0，即 g (x) 0， 当 x 0 时， g(x) g(0) 0，即 x2 ex； (3)对任意给定的正数 c，总存在 x0= 0.当 x (x0， + )时， 由 (2)得 ex x2 x，即 x2 cex. 对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 x (x0， + )时，恒有 x2 cex.
