1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1.复数 z=(3-2i)i 的共轭复数 等于 ( ) A. -2-3i B. -2+3i C. 2-3i D. 2+3i 解析 ： z= (3-2i)i=2+3i， . 答案 ： C. 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是 ( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四面体 D. 三棱柱 解析 ： 圆柱的正视图为矩形， 答案 ： A 3.等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1=2， S3=12，则 a
2、6等于 ( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 解析 ： 由题意可得 S3=a1+a2+a3=3a2=12， 解得 a2=4， 公差 d=a2-a1=4-2=2， a 6=a1+5d=2+52=12 ， 答案 ： C. 4.若函数 y=logax(a 0，且 a1 )的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由题意可知图象过 (3， 1)，故有 1=loga3，解得 a=3， 选项 A， y=a-x=3-x= 单调递减，故错误； 选项 B， y=x3，由幂函数的知识可知正确； 选项 C， y=(-x)3=-x3，其图象应与 B 关于 x 轴
3、对称，故错误； 选项 D， y=loga(-x)=log3(-x)，当 x=-3 时， y=1，但图象明显当 x=-3 时， y=-1，故错误 . 答案 ： B. 5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值等于 ( ) A. 18 B. 20 C. 21 D. 40 解析 ： 由程序框图知：算法的功能是求 S=21+22+2 n+1+2+n 的值， S=2 1+22+1+2=2+4+1+2=9 15， S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=2015 . 输出 S=20. 答案 ： B. 6.直线 l： y=kx+1 与圆 O： x2+y2=1 相交于 A，
4、 B 两点，则 “k=1” 是 “OAB 的面积为 ” 的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 解析 ： 若直线 l： y=kx+1 与圆 O： x2+y2=1 相交于 A， B 两点， 则圆心到直线距离 d= ， |AB|=2 ， 若 k=1，则 |AB|= ， d= ，则 OAB 的面积为 = 成立，即充分性成立 . 若 OAB 的面积为 ，则 S= = 2 = = ， 解得 k=1 ，则 k=1 不成立，即必要性不成立 . 故 “k=1” 是 “OAB 的面积为 ” 的充分不必要条件 . 答案 ： A. 7.已知函数 f(
5、x)= ，则下列结论正确的是 ( ) A. f(x)是偶函数 B. f(x)是增函数 C. f(x)是周期函数 D. f(x)的值域为 -1， + ) 解析 ： 由解析式可知当 x0 时， f(x)=cosx 为周期函数， 当 x 0 时， f(x)=x2+1，为二次函数的一部分， 故 f(x)不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除 A、 B、 C， 对于 D，当 x0 时，函数的值域为 -1， 1， 当 x 0 时，函数的值域为值域为 (1， + )，故函数 f(x)的值域为 -1， + )，故正确 . 答案 ： D 8.在下列向量组中，可以把向量 =(3， 2)表示出来的是
6、( ) A. =(0， 0)， =(1， 2) B. =(-1， 2)， =(5， -2) C. =(3， 5)， =(6， 10) D. =(2， -3)， =(-2， 3) 解析 ： 根据 ， 选项 A： (3， 2)= (0， 0)+ (1， 2)，则 3= ， 2=2 ，无解，故选项 A 不能； 选项 B： (3， 2)= (-1， 2)+ (5， -2)，则 3=-+5 ， 2=2 -2 ，解得， =2 ， =1 ，故选项 B 能 . 选项 C： (3， 2)= (3， 5)+ (6， 10)，则 3=3+6 ， 2=5+10 ，无解，故选项 C 不能 . 选项 D： (3， 2)=
7、 (2， -3)+ (-2， 3)，则 3=2 -2 ， 2=-3+3 ，无解，故选项 D 不能 . 答案 ： B. 9.设 P， Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点，则 P， Q 两点间的最大距离是 ( ) A. 5 B. + C. 7+ D. 6 解析 ： 设椭圆上的点为 (x， y)，则圆 x2+(y-6)2=2 的圆心为 (0， 6)，半径为 ， 椭圆上的点与圆心的距离为 = 5 ， P ， Q 两点间的最大距离是 5 + =6 . 答案 ： D. 10.用 a 代表红球， b 代表蓝球， c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1 个蓝球中
8、取出若干个球的所有取法可由 (1+a)(1+b)的展开式 1+a+b+ab 表示出来，如： “1” 表示一个球都不取、 “a” 表示取出一个红球，而 “ab” 则表示把红球和蓝球都取出来 .以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、 5 个无区别的蓝球、 5 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 ( ) A. (1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B. (1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C. (1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D. (1+a5)(1+b)5(1+c
9、+c2+c3+c4+c5) 解析 ： 所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法中，与取红球的个数和黑球的个数无关，而红球篮球是无区别，黑球是有区别的， 根据分布计数原理，第一步取红球，红球的取法有 (1+a+a2+a3+a4+a5)， 第二步取蓝球，有 (1+b5)， 第三步取黑球，有 (1+c)5， 所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有 (1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5， 答案 ： A. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4分，共 20分 .把答案填在答题卡的相应位置 11.(4 分 )若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最小值为 . 解析
10、 ： 作出不等式对应的平面区域如图， 由 z=3x+y，得 y=-3x+z， 平移直线 y=-3x+z，由图象可知当直线 y=-3x+z，经过点 A(0， 1)时，直线 y=-3x+z 的截距最小，此时 z 最小 .此时 z 的最小值为 z=03+1=1 ， 答案 ： 1 12.(4 分 )在 ABC 中， A=60 ， AC=4， BC=2 ，则 ABC 的面积等于 . 解析 ： ABC 中， A=60 ， AC=4， BC=2 ， 由正弦定理得： ， ，解得 sinB=1， B=90 ， C=30 ， ABC 的面积 = . 答案 ： . 13.(4 分 )要制作一个容器为 4m3，高为
11、1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 (单位：元 ) 解析 ： 设池底长和宽分别为 a， b，成本为 y， 则 长方形容器的容器为 4m3，高为 1m，故底面面积 S=ab=4， y=20S+102(a+b)=20(a+b)+80， a+b2 =4，故当 a=b=2 时， y 取最小值 160，即该容器的最低总造价是 160 元， 答案 ： 160 14.(4 分 )如图，在边长为 e(e 为自然对数的底数 )的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 . 解析 ： 由题意， y=lnx 与 y=ex关于
12、 y=x 对称， 阴影部分的面积为 2 (e-ex)dx=2(ex-ex) =2， 边长为 e(e 为自然对数的底数 )的正方形的面积为 e2， 落到阴影部分的概率为 . 答案 ： . 15.(4 分 )若集合 a， b， c， d=1， 2， 3， 4，且下列四个关系： a=1 ； b1 ； c=2 ； d4 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 (a， b， c，d)的个数是 . 解析 ： 由题意， a=2 时， b=1， c=4， d=3； b=3， c=1， d=4； a=3 时， b=1， c=4， d=2； b=1， c=2， d=4； b=2， c=1， d=4； a=4
13、时， b=1， c=3， d=2； 符合条件的有序数组 (a， b， c， d)的个数是 6 个 . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.(13 分 )已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)- . (1)若 0 ，且 sin= ，求 f( )的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间 . 解析 ： (1)利用同角三角函数关系求得 cos 的值，分别代入函数解析式即可求得 f( )的值 . (2)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间 .
14、答案： (1)0 ，且 sin= ， cos= ， f ( )=cos (sin+cos )- = ( + )- = . (2)f(x)=cosx(sinx+cosx)- =sinxcosx+cos2x- = sin2x+ cos2x= sin(2x+ )， T= = ， 由 2k - 2x+ 2k+ ， k Z，得 k - xk+ ， k Z， f (x)的单调递增区间为 k - ， k+ ， k Z. 17.(13 分 )在平面四边形 ABCD 中， AB=BD=CD=1， ABBD ， CDBD ，将 ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD 平面 BCD，如图 . (1)求证： ABC
15、D ； (2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC所成角的正弦值 . 解析 ： (1)利用面面垂直的性质定理即可得出； (2)建立如图所示的空间直角坐标系 .设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 ，利用线面角的计算公式 sin=|cos |= 即可得出 . 答案： (1) 平面 ABD 平面 BCD，平面 ABD 平面 BCD=BD， AB平面 ABD， ABBD ， AB 平面 BCD，又 CD平面 BCD， ABCD . (2)建立如图所示的空间直角坐标系 . AB=BD=CD=1 ， ABBD ， CDBD ， B (0， 0， 0)， C(1， 1， 0)， A(0，
16、 0， 1)， D(0， 1， 0)， M . =(0， 1， -1)， =(1， 1， 0)， = . 设平面 BCM 的法向量 =(x， y， z)，则 ， 令 y=-1，则 x=1， z=1. =(1， -1， 1). 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 . 则 sin=|cos |= = = . 18.(13 分 )为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 . (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3个均为 1
17、0元，求： 顾客所获的奖励额为 60 元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成 .为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算 且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由 . 解析 ： (1)根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为 60 元的概率，依题意得 X得所有可能取值为 20， 60，分别求出 P(X=60)， P(X=20)，画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学
18、期望； (2)先讨论，寻找期望为 60 元的方案，找到 (10， 10， 50， 50)， (20， 20， 40， 40)两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决 . 答案 ： (1)设顾客所获取的奖励额为 X， 依题意，得 P(X=60)= ，即顾客所获得奖励额为 60 元的概率为 ， 依题意得 X 得所有可能取值为 20， 60， P(X=60)= ， P(X=20)= ，即 X 的分布列为 所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为 E(X)=20 +60 =40 (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元，所以先寻找期望为 60 元的可能方案 . 对于面值由
19、10 元和 50 元组成的情况，如果选择 (10， 10， 10， 50)的方案，因为 60 元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为 60 元， 如果选择 (50， 50， 50， 10)的方案，因为 60 元是面值之和的最小值， 所以数学期望也不可能为 60 元， 因此可能的方案是 (10， 10， 50， 50)记为方案 1， 对于面值由 20 元和 40 元的组成的情况，同理可排除 (20， 20， 20， 40)和 (40， 40， 40， 20)的方案，所以可能的方案是 (20， 20， 40， 40)，记为方案 2， 以下是对这两个方案的分析： 对于方案 1，即方案 (10，
20、10， 50， 50)设顾客所获取的奖励额为 X1，则 X1的分布列为 X1 的数学期望为 E(X1)= . X1 的方差 D(X1)= = ， 对于方案 2，即方案 (20， 20， 40， 40)设顾客所获取的奖励额为 X2，则 X2的分布列为 X2 的数学期望为 E(X2)= =60， X2 的方差 D(X2)=差 D(X1) =. 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 小，所以应该选择方案 2. 19.(13 分 )已知双曲线 E： - =1(a 0， b 0)的两条渐近线分别为 l1： y=2x， l2： y=-2x. (1)求双曲线 E 的离
21、心率； (2)如图， O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1， l2于 A， B两点 (A， B 分别在第一、第四象限 )，且 OAB 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线 E 的方程，若不存在，说明理由 . 解析 ： (1)依题意，可知 =2，易知 c= a，从而可求双曲线 E 的离心率； (2)由 (1)知，双曲线 E 的方程为 - =1，设直线 l 与 x 轴相交于点 C，分 lx 轴与直线 l 不与 x 轴垂直讨论，当 lx 轴时，易求双曲线 E的方程为 - =1.当直线 l不与 x轴垂直时，设直线 l的方程为 y=kx+
22、m，与双曲线 E的方程联立，利用由 SOAB = |OC|y1-y2|=8可证得：双曲线 E 的方程为 - =1，从而可得答案 . 答案： (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 l1： y=2x， l2： y=-2x，所以 =2.所以 =2. 故 c= a， 从而双曲线 E 的离心率 e= = . (2)由 (1)知，双曲线 E 的方程为 - =1. 设直线 l 与 x 轴相交于点 C， 当 lx 轴时，若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则 |OC|=a， |AB|=8， 所以 |OC| |AB|=8， 因此 a4a=8，解得 a=2，此时双曲线 E 的方程为 - =1. 以下证明
23、：当直线 l 不与 x 轴垂直时，双曲线双曲线 E 的方程为 - =1 也满足条件 . 设直线 l 的方程为 y=kx+m，依题意，得 k 2 或 k -2； 则 C(- ， 0)，记 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 得 y1= ，同理得 y2= ， 由 SOAB = |OC|y1-y2|得： |- | - |=8，即 m2=4|4-k2|=4(k2-4). 因为 4-k2 0，所以 =4k 2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16)， 又因为 m2=4(k2-4)， 所以 =0 ，即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点 . 因此，存在总与直线 l
24、 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为 - =1. 20.(14 分 )已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数 )的图象与 y 轴交于点 A，曲线 y=f(x)在点 A处的切线斜率为 -1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值； (2)证明：当 x 0 时， x2 ex； (3)证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 x (x0， + )时，恒有 x2 cex. 解析 ： (1)利用导数的几何意义求得 a，再利用导数法求得函数的极值； (2)构造函数 g(x)=ex-x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论； (3)利用 (2)的结论，令 x0= ，则 ex
25、 x2 x，即 x2 cex.即得结论成立 . 答案 ： (1)由 f(x)=ex-ax 得 f (x)=ex-a. 又 f (0)=1-a=-1， a=2 ， f (x)=ex-2x， f (x)=ex-2. 由 f (x)=0 得 x=ln2， 当 x ln2 时， f (x) 0， f(x)单调递减； 当 x ln2 时， f (x) 0， f(x)单调递增； 当 x=ln2 时， f(x)有极小值为 f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4.f(x)无极大值 . (2)令 g(x)=ex-x2，则 g (x)=ex-2x， 由 (1)得， g (x)=f(x)f (ln2)=eln
26、2-2ln2=2-ln4 0，即 g (x) 0， 当 x 0 时， g(x) g(0) 0，即 x2 ex； (3)对任意给定的正数 c，总存在 x0= 0.当 x (x0， + )时， 由 (2)得 ex x2 x，即 x2 cex. 对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 x (x0， + )时，恒有 x2 cex. 在 21-23题中考生任选 2 题作答，满分 7分 .如果多做，则按所做的前两题计分 .作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中 . 选修 4-2：矩阵与变换 21.(7 分 )已知矩阵 A 的逆矩阵 A-1=( ).
27、(1)求矩阵 A； (2)求矩阵 A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量 . 解析 ： (1)利用 AA-1=E，建立方程组，即可求矩阵 A； (2)先根据特征值的定义列出特征多项式，令 f( )=0 解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量 . 答案 ： (1)设 A= ，则由 AA-1=E 得 = ， 解得 a= ， b=- ， c=- ， d= ，所以 A= ； (2)矩阵 A-1的特征多项式为 f( )= =( -2)2-1， 令 f( )=( -2)2-1=0，可求得特征值为 1=1， 2=3， 设 1=1 对应的一个特征向量为 = ， 则由 1=M ，得
28、 x+y=0， 得 x=-y，可令 x=1，则 y=-1， 所以矩阵 M 的一个特征值 1=1 对应的一个特征向量为 ， 同理可得矩阵 M 的一个特征值 2=3 对应的一个特征向量为 . 五、选修 4-4：极坐标与参数方程 22.(7 分 )已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 )，圆 C 的参数方程为( 为常数 ). (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程； (2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围 . 解析 ： (1)消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程； (2)求出圆心到直线的距离 d，再根据直线 l 与圆 C 有公共点 dr 即可求出 . 答案 ： (1)
29、直线 l 的参数方程为 ，消去 t 可得 2x-y-2a=0； 圆 C 的参数方程为 ，两式平方相加可得 x2+y2=16； (2)圆心 C(0， 0)，半径 r=4. 由点到直线的距离公式可得圆心 C(0， 0)到直线 L 的距离 d= . 直线 L 与圆 C 有公共点， d4 ，即 4 ，解得 -2 a2 . 六、选修 4-5：不等式选讲 23.已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为 a. (1)求 a 的值； (2)若 p， q， r 为正实数，且 p+q+r=a，求证： p2+q2+r23 . 解析 ： (1)由绝对值不等式 |a|+|b|a -b|，当且仅当 ab0 ，取等号； (2)由柯西不等式： (a2+b2+c2)(d2+e2+f2) (ad+be+cf)2，即可证得 . 答案 ： (1)|x+1|+|x -2| (x+1)-(x-2)|=3， 当且仅当 -1x2 时，等号成立， f (x)的最小值为 3，即 a=3； (2)由 (1)知， p+q+r=3，又 p， q， r 为正实数， 由柯西不等式得， (p2+q2+r2)(12+12+12) (p1+q1+r1 )2=(p+q+r)2=32=9， 即 p2+q2+r23 .
